常系數(shù)線性微分方程-資料下載頁(yè)
2025-05-15 07:56本頁(yè)面
【正文】 DDDdtdydtyddtydyx??????????????用 D 表示對(duì)自變量 t 求導(dǎo)的運(yùn)算 ,dtddtdD ?即.)1()1()( ykDDDyx kk ???? ?將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量 t的常系數(shù) 線性微分方程 . 求出這個(gè)方程的解， t把 換為 ， xln 即得到原方程的解 . 一般地， 例 求歐拉方程 223 34 xyxyxyx ????????? 的通解． 解 作變量變換 ,ln xtex t ?? 或原方程化為 ,34)1()2)(1( 2 teDyyDDyDDD ??????即 ,332 223 teDyyDyD ???或 .332 22233tedtdydtyddtyd ??? (1) 方程 (1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程為 ,032 2233??? dtdydt yddt yd其特征方程 ,032 23 ??? rrr特征方程的根為 .3,1,0 321 ???? rrr所以齊次方程的通解為 .33213321 xCxCCeCeCCY tt ????? ?設(shè)特解為 ,22 bxbey t ???代入原方程，得 .21??b所給歐拉方程的通解為 .21 23321 xxCxCCy ????,22xy ???即)0(024222 ???? xydxdyxdxydx例 2（ 04年研究生入學(xué)考試題） 的通解為 歐拉方程 tex ?dtdyxdtdyedxdtdtdydxdy t 1???? ?][111 22222222dtdydtydxdxdtdtydxdtdyxdxyd ??????【 解 】 令 則 代入原方程，整理得 02322??? ydtdydt yd221221 xcxcececy tt ???? ??通解為 xt ln?小結(jié) 歐拉方程解法思路 變系數(shù)的線性微分方程 常系數(shù)的線性微分方程 變量代換 注意：歐拉方程的形式． xtex t ln?? 或練 習(xí) 題 2 .ln433。ln2ln222。0122222xxxyyxyxxxyyxyxyyxyx????????????????????．．．：求下列歐拉方程的通解練習(xí)題 2 答案 .ln61ln3.41)ln( ln212.1322221222121xxxxxCxCyxxxCxCyxCCy???????????．．．
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