【正文】 ? 順序記下 LS回歸中殘差 ｅ t=Yt–?t的符號(hào) ， 如果殘差 ｅ t 0， 則記為“ +”， 若殘差 ｅ t 0， 則為 “ ?” ， 如此一個(gè)殘差序列 ｅ t, t=1,2,3,… ,n便可獲得一個(gè)符號(hào)序列 ， 比如 ? “ ++?+????++?++? ?”， ? 符號(hào)序列中 ， 連續(xù)同號(hào)的符號(hào)串 ， 稱(chēng)為一個(gè)游程或者一個(gè)連串 ， 一個(gè)游程中符號(hào)的個(gè)數(shù) ， 叫做游程的長(zhǎng)度 。 可以證明 ， 如果誤差項(xiàng) ｕ t不存在序列相關(guān) ρe=0， 則符號(hào)序列中符號(hào) “ +”或 “ ?” 的出現(xiàn) ， 應(yīng)該是完全隨機(jī)的；連串過(guò)多或者過(guò)少 ， 都是違反隨機(jī)原則的 ， 應(yīng)有 ρ e≠0。 利用符號(hào)檢驗(yàn)方法 ， 可以判斷 ， 如果連串過(guò)少 ， 就表明有正的自相關(guān)；如果連串過(guò)多 ， 就表明有負(fù)的自相關(guān) 。 ? 符號(hào)檢驗(yàn)的具體方法參見(jiàn)第六章 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 167。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? DW檢驗(yàn) ? DW檢驗(yàn) ， 也叫德賓 —沃森檢驗(yàn)法 (DurbinWaston test)。 該方法對(duì)檢驗(yàn)是否存在一階自相關(guān) ， 尤其有效 。 ? DW檢驗(yàn)法的統(tǒng)計(jì)量 d定義為 ? () ? 其中 n代表樣本大小 。 因?yàn)?， 和 只相差一期觀察值 ， 它們是近似相等的 ， 因此令 ， 則 ()式可寫(xiě)成 ? () ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 ??????????????? ????? nttntttnttnttnttnttteeeeeeeed12212212212221 2)(??nt te2 2)1(21221??????? nttnttteeed?? ?nt te2 21?? ? ?? ? nt tnt t ee 2 2 12 2 167。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? 定義樣本的一階自相關(guān)系數(shù) γe為 ? () ? 它是 ρe的一個(gè)估計(jì)式 。 利用 ()式 ， 可以把 () 式寫(xiě)成 ? () ? d的變化范圍為 0到 4。 ? 可見(jiàn) ， 如果不存在一階自相關(guān) ， 有 γe=0， d≈2；如果存在完全的正自相關(guān) γe=+1， 于是 d≈0， 因此 ， d愈接近于 0， 則存在正自相關(guān)的可能性比較大 ， 在殘差圖上各個(gè) ｅ t將聚集在一起 ， 其差分勢(shì) |ｅ tｅ t1|表現(xiàn)必很小；如果 γe=1， 則連續(xù)的殘差中有完全的負(fù)自相關(guān) ， 從而 d≈4， 因此 ，d愈接近于 4， 則愈能證實(shí)存在負(fù)自相關(guān) ， 其殘差表現(xiàn)是一個(gè)正的 ｅ t之后往往會(huì)有一個(gè)負(fù)的 ｅ t， 于是 |ｅ tｅ t1||ｅ t|。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 ??????? nttnttteeeee1221? ??)1(2)?1(2 eed ?? ???? 167。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? 為了進(jìn)一步判定在各種情況下 ， 是否存在正的或負(fù)的自相關(guān)的問(wèn)題 ，DurbinWaston對(duì)任意的樣本容量 n和多達(dá) 5個(gè)解釋變量的情形 ， 給出了d的分布及 d的兩個(gè)值 dL（ 下界 ） 和 dU（ 上界 ） 。 如果 d值落在 [0, dL]范圍內(nèi) ， 則認(rèn)為存在正自相關(guān)；如果 d值落入 [dU, 4dU]范圍內(nèi) ， 則認(rèn)為存在負(fù)自相關(guān)；而當(dāng) d落入 [dU , 4dU]范圍內(nèi)時(shí) ， 則認(rèn)定不存在自相關(guān)；但當(dāng) d落入 [dL, dU]或者 [4dL, 4dU]范圍內(nèi)時(shí) ， 則不能認(rèn)定是否存在自相關(guān) 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 不確定區(qū)域→ 不確定區(qū)域→ 圖 7－ 5 DurbinWaston 統(tǒng)計(jì) f(d) d 拒絕 H0 ，存在正自相關(guān) 0 H0： ρ e=0, H1： ρ e≠0。 拒絕 H0 ，存在負(fù)自相關(guān) 2 4 不拒絕 H0 dL dU 4dL 4dU 167。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? DW雙側(cè)檢驗(yàn)的具體步驟： ? ⑴ 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) ? H0： ρ e=0， H1： ρ e≠0。 ? ⑵ 計(jì)算樣本殘差 ｅ t， 計(jì)算() 式 d統(tǒng)計(jì)量 。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 根據(jù) ?， 查 d統(tǒng)計(jì)量表求臨界值 dL?/2， dU?/2， 若ddL?/2或者 d4dU?/2， 拒絕 H0選擇 H1存在自相關(guān)；若 dU?/2d4dU?/2， 則接受 H0， 表示不存在自相關(guān)；如果 dL?/2ddU?/2， 或者 4dL?/2d4dU?/2， 檢驗(yàn)結(jié)果不確定 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 不確定區(qū)域→ 不確定區(qū)域→ 圖 7－ 5 DurbinWaston 統(tǒng)計(jì) f(d) d 拒絕 H0 ，存在正自相關(guān) 0 H0： ρ e=0, H1： ρ e≠0。 拒絕 H0 ，存在負(fù)自相關(guān) 2 4 不拒絕 H0 dL dU 4dL 4dU 167。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? 【 例 77】 利用例 7 例 7 例 76的有關(guān)數(shù)據(jù) ， 試對(duì)消費(fèi)與可支配收入的回歸估計(jì)方程進(jìn)行 DW雙側(cè)檢驗(yàn) 。 ? 解：利用最小二乘估計(jì)方法 ， 得回歸估計(jì)方程的所有估計(jì)參數(shù) ? ?X = +, S=, γ2= ? () () d= ? 其中 ()和 ()為回歸系數(shù) ?1， ?2估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差 ， 而 d為 DW檢驗(yàn)法的統(tǒng)計(jì)量 。 ? 對(duì)于 n=20， 包括常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)的自變量個(gè)數(shù) k=2， 查 DW統(tǒng)計(jì)量 d表 ， 在 ?=5%顯著水平上 ， 得 dL= dU=， 因?yàn)?d= dL= dU= ， 故不能做出是否存在自相關(guān)的決定 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 圖 76 消費(fèi)函數(shù)殘差序列 et圖 1 15 2 t 10 16 3 4 5 6 7 8 9 et 6 12 11 13 14 17 殘差變動(dòng)趨勢(shì) 18 19 20 4 2 0 2 4 6 返回 167。 一元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? 回歸預(yù)測(cè)的基本公式為 ? () ? 式中 ， X0是給定的 X具體數(shù)值； ?0是 X0給定時(shí) Y的預(yù)測(cè)值 。 回歸預(yù)測(cè)是一種有條件的預(yù)測(cè) ， 在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí) ， 必須先給出 X0的具體數(shù)值 。 當(dāng)給出 X0屬于樣本內(nèi)的數(shù)值時(shí) ，利用 ()式計(jì)算 ?0稱(chēng)為內(nèi)插檢驗(yàn)或者事后預(yù)測(cè) 。 當(dāng)給出 X0屬于樣本之外的數(shù)值時(shí) ，利用 ()式計(jì)算 ?0稱(chēng)為外推預(yù)測(cè)或者事前預(yù)測(cè) 。 通常所說(shuō)的預(yù)測(cè)就是指事前預(yù)測(cè) 。 ? 預(yù)測(cè)誤差 ? ?0是根據(jù)樣本回歸方程計(jì)算的 ， 它是樣本觀察值的函數(shù) ， 因而也是一隨機(jī)變量 。 ?0與所要預(yù)測(cè)的 Y的真值之間 ， 必然存在一定的誤差 。 這個(gè)誤差的來(lái)源 ， 一般可以概括為以下四個(gè)方面： ? ⑴ 模型結(jié)構(gòu)誤差所造成的誤差 。 這一誤差 ， 可以用總體的方差 ?2來(lái)評(píng)價(jià) 。 ? ⑵ 回歸系數(shù)的估計(jì)值同其真值不一致所造成的誤差 。 這一誤差 ， 可以用回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量的方差 來(lái)評(píng)價(jià) 。 這個(gè)方差值的大小 ， 通常用來(lái)衡量模型的穩(wěn)定性 。 ? ⑶ 自變量 X的設(shè)定值同其實(shí)際值的偏離所造成的誤差 。 ? ⑷ 未來(lái)時(shí)期 ?1， ? 2發(fā)生變化所造成的誤差 。 ? 在以上造成預(yù)測(cè)誤差的原因中 ， ⑶ 、 ⑷ 、 兩項(xiàng)不屬于回歸方程本身的問(wèn)題 ， 而且也難以事先予以估計(jì)和控制 。 因此 ， 在下面的討論中 ， 假定只存在 ⑴ 、 ⑵ 、 兩種誤差 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 0210 ??? XY ?? ??2?2? 21, ?? ?? 167。 一元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? 設(shè) X0給定時(shí) Y的真值為 Y0， 有 ? Y0= ?1+ ?2X0 +u0 , () ? 則有 ? () ? 式中 ， e0是預(yù)測(cè)的殘差 。 利用期望值與方差的運(yùn)算規(guī)則 ， 以及前面給出的回歸系數(shù)最小二乘估計(jì)量的期望值與方差 ， 可以證明 ? () ? 在此基礎(chǔ)上 ， 可以證明 ， ?0是 Y0的最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)預(yù)測(cè) ， 即在高斯假定得到滿足的條件下 ， () 式就是 Y0的最佳預(yù)測(cè)方式 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 0022110210021000)?()?()??()(?uXXuXYYe????????????????????))(11()(0)(20200XXLXXneV a reE??????? 167。 一元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? Y0的區(qū)間估計(jì)： ? 由 ()、 ()式可知 ， 在高斯假定條件下 ， e0服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 即 ? e0 ~N (0， Var(e0)) () ? 由于 Var(e0)中的 ?2是未知的 ， 通常用其無(wú)偏估計(jì)量 S2來(lái)代替 。 如果用 Se0來(lái)表示預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值 ， ? () ? 數(shù)學(xué)上可以證明 ? (Y0?0)/Se0 ~ t(n2) () ? 對(duì)于給定的置信度為 1 ?， 有 ? Pro{?0 t ?/2 (n2) Se0 ≤ Y0 ≤ ?0 + t ?/2 (n2) Se0}=1 ?， () ? 于是可以得出 Y0的 1 ?的置信區(qū)間為 ? ?0t?/2 (n2) Se0 ≤ Y0 ≤ ?0 + t?/2 (n2) Se0， () ? 式中 ， t?/2 (n2)是置信度為 1 ?、 自由度為 n2的 t分布的臨界值 。 該區(qū)間以 ?0為中點(diǎn) ，長(zhǎng)度為 2 t ?/2 (n2) Se0。 中點(diǎn) ?0隨 X0線性地變化；其長(zhǎng)度在處最短； X0越遠(yuǎn)離 ， 長(zhǎng)度就越長(zhǎng) 。 因此 ， 置信區(qū)間的上限與下限曲線對(duì)稱(chēng)地落在回歸直線兩側(cè) ， 而呈喇叭型 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 XXe LXXnSS200)(11 ?????圖 7－ 7 回歸預(yù)測(cè)的置信區(qū)間 Y X ? ?+ t?/2 (n2)Se ? t?/2 (n2)Se X0 0 返回 167。 多元線性回歸分析 ? 167。 標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型 ? 167。 多元線性回歸模型的估計(jì) ? 167。 多元線性回歸模型的檢驗(yàn) ? 167。 多元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)與回歸的基本概念 ? 167。 相關(guān)分析 ? 167。 一元線性回歸分析 ? 167。 多元線性回歸分析 (new) ? 167。 回歸診斷與殘差分析 (new)