【導(dǎo)讀】｛Z=3｝=｛X=1，Y=2｝，求（X，Y）的概率密度。例3-24設(shè)X，Y獨(dú)立，且X～N（0，1），Y～N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。（一）知道二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。判斷離散性隨機(jī)變量X，Y是否獨(dú)立。判斷連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y的獨(dú)立性。某些方面特征的數(shù)值稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。本章主要研究隨機(jī)變量的期望、方差、協(xié)方。差、相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征。從本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。這是由于60分出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多于。100分的頻率小，能正確計(jì)算平均值。若X取值為可列無限多個(gè)x1，x2，…這時(shí)才要求無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。很明顯，X的期望EX體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。試比較他們成績(jī)的好壞。很明顯乙的成績(jī)遠(yuǎn)不如甲。二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望np，有著明顯的概率意義。比如擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)出現(xiàn)正面概率。今后在上面三種情形下，期望EX不必用定義計(jì)算，可以直接套用公式。下面介紹離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

　　

【正文】 故（ ）式成立。下證（ ），注意到 ，而 ， 于是 ， 兩邊各除以 n1，即得（ ）式。 值得讀者注意的是：本 定理的結(jié)論與總體服從什么分布無關(guān)。 樣本矩及其函數(shù) 樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計(jì)量。 定義 64 設(shè) x1， x2， … ， xn 是樣本，則統(tǒng)計(jì)量 （ ） 稱為樣本 k 階原點(diǎn)矩，特別地，樣本一階原點(diǎn)矩 就是樣本均值。統(tǒng)計(jì)量 （ ） 稱為樣本 k 階中心矩。常見的是 k=2 的場(chǎng)合，此時(shí)稱為二階樣本中心矩。本書中我們將其記為 sn2，以區(qū)別樣本方差 S2。 極大順序統(tǒng)計(jì)量和極小順序統(tǒng)計(jì)量 44 定義 65 設(shè)總體 X 具有分布函數(shù) F（ x），分布密度 f（ x） , x1， x2， … ， xn 為其樣本，我們分別稱 X（ 1） =min{x1,x2,…x n},x（ n） =max{x1,x2,…x n}為極小順序統(tǒng)計(jì)量和極大順序統(tǒng)計(jì)量。 定理 63 若 x(1),x(n)分別為極小、極大順序統(tǒng)計(jì)量，則 （ 1） x(1)的分布函數(shù) F1(x)=1(1F（ x))n,x（ 1） 的分布密度 f1(x)=n(1F(x))n1f(x) （ 2） x（ n） 的分布函數(shù) Fn(x)=[F(x)]n,x(n)的分布密度 fn(x)=n[F(x)]n1f(x) 證明 先求出 x（ 1） 及 x（ n） 的分布函數(shù) F1（ x）及 Fn（ x）： ， ， 分別對(duì) F1（ x）， Fn（ x）求導(dǎo)即得 正態(tài)總體的抽樣分布 有很多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)總體的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量（其抽樣分布分別為 x2 分布， t 分布和 F 分布）在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有 “明確的表達(dá)式 ”，它們被稱為統(tǒng)計(jì)中的 “三大抽樣分布 ”。 1. x2 分布（卡方分布） 定義 66 設(shè) X1， X2， … ， Xn獨(dú)立同分布于 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（ 0， 1）， 則 x2=x12+…x n2 的分布稱為自由度為 n 的 x2 分布，記為 x2～ x2（ n）。 x2（ n）分布的密度函數(shù)見圖 64 當(dāng)隨機(jī)變量 x2～ x2（ n）時(shí)，對(duì)給定的 α（ 0α1） ,稱滿足 p{x2xα2（ n） }= α的 xα2（ n） }是自由度為 n的開方分布的 α分位數(shù)。分位數(shù) xα2（ n） }可以從附表 4 中查到。例如 n=10， 45 α=，那么從附表 4 中查得 x2(10)= p(x)2(10)=p{x2= 注：請(qǐng)讀者注意 x2～ x2（ n）時(shí)， n 是自由度，不是容量。 分布 定義 67 設(shè) x1～ x2(m)， x2～ x2(n)X1 與 X2 獨(dú)立，則稱 的分布是自由度 為 m 與 n 的 F 分布，記為 F～ F（ m， n），其中 m 稱為分子自由度， n 稱為分母自由度。 自由度為 m 與 n 的 F 分布的密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)分布（見圖 65）。 當(dāng)隨機(jī)變量 F～ F（ m， n）時(shí)，對(duì)給定的 α（ 0α1），稱滿足 P{FFα}（ m,n） =α的數(shù) Fα（ m,n）是自由度為 m 與 n 的 F 分布的 α分位數(shù)。 當(dāng) F～ F（ m， n）時(shí)，有下面性質(zhì)（不證） ， 這說明 （ ） 對(duì)小的 α，分位為 Fα（ m,n）可以從附表 5 中查到，而分位數(shù) F1α（ m,n）則可通過（ ）式得到。 【例 68】若取 m=10,則 n=5,α=，那么從附表 5 上（ m=n1,n=n2）查得 （ 10,5） = 利用（ ）式可得到 【答疑編號(hào)： 10060202 針對(duì)該題提問】 分布 定義 68 設(shè)隨機(jī)變量與 X1 與 X2 獨(dú)立且 X1～ N（ 0， 1）， X2～ X2（ n）， 46 則稱 的分布為自由度為 n 的 t 的分布，記為 t～ t（ n） . t 分布密度函數(shù)的圖像是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的 分布（圖 66），與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形態(tài)類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。 圖 66 t 分布與 N（ 0,1）的密度函數(shù) 當(dāng)隨機(jī)變量 t～ t（ n）時(shí)，稱滿足 P{ttα（ n） }=α 的 tα（ n）是自由度為 n 的 t 分布的 α分位數(shù)， 分位數(shù) tα（ n）可以從附表 3 中查到，例如當(dāng) n=10, α=，從附表 3 上查得 （ 10） = 由于 t 分布的密度函數(shù)關(guān)于 0 對(duì)稱，故其分位數(shù)有如下關(guān)系： t1α（ n） = tα（ n） 例如， （ 10） =（ 10） = 當(dāng) n 很大時(shí)，（ n≥30） ,t 分布可以用 N（ 0， 1）近似 P（ ttα） =1α,p（ tt1α） =1α， ∴ t1α=tα 來自一般正態(tài)總體的樣本均值 和樣本方差 S2 的抽樣分布是應(yīng)用最廣的抽樣分布，下面我們加以介紹。 定理 64 設(shè) X1,X2,…X n 是來自正態(tài)總體 N（ μ,σ2）的樣本， 其樣本均值和樣本方差分別為： 47 則有 （ 1） 與 s2 相互獨(dú)立； （ 2） 特別，若 （不證） 推論：設(shè)， σ21=σ22=σ2 并記 則 （不證） 本章小結(jié) 本章的基本要求是 （一）知道總體、樣本、簡(jiǎn)單樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念 （二）知道統(tǒng)計(jì)量 和 s2的下列性質(zhì)。 E（ s2） =σ2 （三）若 x 的分布函數(shù)為 F（ x），分布函數(shù)為 f（ x），則樣本（ x1,x2,…x n）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（ x1） F（ x2） …F （ xn）樣本（ x1,x2,…x n）的聯(lián)合分布密度為 f（ x1） f（ x2） …f（ xn），樣本（ x1,x2,…x n）的概率函數(shù)， p（ x1,x 2 ,…x n） =p（ X=x1） p（ X=x2） …p （ X=xn）因而順序統(tǒng)計(jì)量 x（ 1） ， …x （ n） 中 X（ 1） 的分布函數(shù)為 1（ 1F（ x）） n X（ n） 的分布函數(shù)為 [F（ x） ]n （四）掌握正態(tài)總體的抽樣分布 若 X～ N（ μ， σ2）則有 （ 1） 48 （ 2） （ 3） （ 4）若 = 當(dāng) 時(shí)， 。 （五）知道樣本原點(diǎn)矩與樣本中心矩的概念 本章作業(yè) 教材 142 頁(yè)，習(xí) 題 自測(cè)題 6 一 , 第四章 參數(shù)估計(jì) 從本章開始我們介紹統(tǒng)計(jì)推斷，所謂統(tǒng)計(jì)推斷就是由樣本推斷總體，統(tǒng)計(jì)推斷包括參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩部分，它們是統(tǒng)計(jì)推斷最基本而且是互相有聯(lián)系的兩部分，本章介紹統(tǒng)計(jì)推斷的第一部分參數(shù)估計(jì)。 參數(shù)通常指總體分布中的特征值 和 和各種分布中的參數(shù)，例如二點(diǎn)分布 B（ 1， P）中的 p，泊松分布 P（ ）中的 ，正態(tài)分布 N（ 、 ）的 、 等，習(xí)慣用 表示參數(shù)，通常參數(shù) 是未知的。 參數(shù)估計(jì)的形式有兩類，設(shè) x1,x2,…,x n 是來自總體的樣本。我們用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的取值作為參數(shù) 的估計(jì)值，則 稱為 的點(diǎn)估計(jì)（量），就是參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)，如果對(duì)參數(shù) 的估計(jì)需要對(duì)估計(jì)作出可靠性判斷，就需要對(duì)這一可靠性給出可靠性區(qū)間或置信區(qū)間，叫區(qū)間估計(jì)。 49 下面首先介紹點(diǎn)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)的幾種方法 直接用來估計(jì)未知參數(shù) 的統(tǒng)計(jì)量 稱為參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)量，簡(jiǎn)稱為點(diǎn)估計(jì)，人們可以運(yùn)用各種方法構(gòu)造出很多 的 估計(jì)，本節(jié)介紹兩種最常用的點(diǎn)估計(jì)方法。它們是：矩法和極大似然法。 替換原理和矩法估計(jì) 用下面公式表示 的方法叫矩法 例 7－ 1 對(duì)某型號(hào)的 20 輛汽車記錄每 5L 汽油的行駛里程（ km），觀測(cè)數(shù)據(jù)如下： 這是一個(gè)容量為 20 的樣本觀測(cè)值，對(duì)應(yīng)總體是該型號(hào)汽車每 5L 汽油的行駛里程，其分布形式尚不清楚，可用矩法估計(jì)其均值，方差，本例中經(jīng)計(jì)算有 ＝ ， ＝ 由此給出總體均值，方差的估計(jì)分別為即 【答疑編號(hào)： 10070101 針對(duì)該題提問】 矩法估計(jì)的統(tǒng)計(jì)思想（替換原理）十分簡(jiǎn)單明確，眾人都能接受，使用場(chǎng)合甚廣。 例 7－ 2 設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 x1,…,x n 是樣本，由于 ，亦即 ，故 的矩法估計(jì)為 例 7－ 3 設(shè) x1,…,x n 是來自服從區(qū)間（ 0， ）上的均勻分布 的樣本， ＞ 0 為未知參數(shù)。求 的矩估計(jì) 。 【答疑編號(hào)： 10070102 針對(duì)該題提問】 解：易知總體 X 的均值為 由矩法 的矩估計(jì)為 比如，若樣本值為 ， ， ， 1， ， ， ，則 的估計(jì)值 50 ＝ 2 （ +++1+++）＝ 2 例 7－ 4 在一批產(chǎn)品取樣 n 件，發(fā)現(xiàn)其中有 m 件次品，試用此樣本求該批產(chǎn)品的次品率 p 的矩估計(jì)。 【答疑編號(hào)： 10070103 針對(duì)該題提問】 解：因?yàn)? ∴ 例如抽樣總數(shù) n=100，其中次品 m=5. 則 例 7－ 5 電話總機(jī)在一分鐘間隔內(nèi)接到呼喚次數(shù) X～ P（ ）。觀察一分種接到呼喚次數(shù)共觀察 40 次，結(jié)果如下 接到呼喚次數(shù) 0 1 2 3 4 5 觀察次數(shù) 5 10 12 8 3 2 求未知參數(shù) 的矩估計(jì) 【答疑編號(hào)： 10070104 針對(duì)該題提問】 解：（ 1） ∵ X～ P（ ） ∴ EX= 由矩法 ∴ （ 2）計(jì)算 （ 05+110+212+38+43+52）＝ 2 ∴ ＝ 2 極大似然估計(jì) 為了敘述極大似然原理的直觀想法，先看例 7－ 6 例 7－ 6 設(shè)有外表完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有 99 個(gè)白球和 1個(gè)黑球，乙箱中有 99個(gè)黑球和 1 個(gè)白球，現(xiàn)隨機(jī)地抽取一箱，并從中隨機(jī)抽取一球，結(jié)果取得白球，問這球是從哪一個(gè)箱子中取出的？ 【答疑編號(hào)： 10070105 針對(duì)該題提問】 解：不管是哪一個(gè)箱子，從箱子中任取一球都有兩個(gè)可能的結(jié)果： A表示取出白球， B表示取出黑球，如果我們?nèi)〕龅氖羌紫?，則 A 發(fā)生的概率為 ，而如果取出的是乙箱，則 A發(fā)生的概率為 ，現(xiàn)在一次試驗(yàn)中結(jié)果 A發(fā)生了，人們的第一印象就是： “此白球（ A）最像從甲箱取出的 ”，或者是說，應(yīng)該認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)事件 A出現(xiàn)有利，從而可以推斷這球是從甲箱中取出的， 這個(gè)推斷很符合人們的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，這里 “最像 ”就是 “極大似然 ”之意。 本例中假設(shè)的數(shù)據(jù)很極端，一般地，我們可以這樣設(shè)想，在兩個(gè)箱子中各有 100 個(gè)球，甲箱中白球的比例是 P1，乙箱中白球的比例是 P2，已知 P1＞ P2，現(xiàn)隨機(jī)地抽取一個(gè)箱子并從中抽取一球，假定取到的是白球，如果我們要在兩個(gè)箱子中進(jìn)行選擇，由于甲箱中白球的比例高于乙箱，根據(jù)極大似然原理，我們應(yīng)該推斷該球來自甲箱。 下面分別給出離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的極大似然估計(jì)求未知參數(shù) 的估計(jì) 的步驟 （一）離散型隨機(jī)變量 第一步，從總體 X 取出 樣本 x1,x2,…,x n 51 第二步，構(gòu)造似然函數(shù) L（ x1,x2,…,x n， ）＝ P（ X＝ x1） P（ X＝ x2） …P （ X＝ xn） 第三步，計(jì)算 ln L（ x1,x2,…,x n， ）并化簡(jiǎn) 第四步，當(dāng) ＝ 時(shí) ln L（ x1,x2,…,x n， ）取最大值則取 ＝ 常用方法是微積分求最值的方法。 （二）連續(xù)型隨機(jī)變量 若 X～ f（ x, ） 第一步 從總體 X 取出樣本 x1,x2,…,x n 第二步 構(gòu)造似然函數(shù) L（ x1,x2,…,x n， ）＝ f（ x1， ） f（ x2， ） …f （ xn， ） 第三步 計(jì)算 ln L（ x1,x2,…,x n， ）并化簡(jiǎn) 第四步 當(dāng) ＝ 時(shí) ln L（ x1,x2,…,x n， ）取最大值則取 ＝ 常用方法是微積分求最值的方法 例 7－ 7 設(shè)總體 X～ B（ 1， P）即 設(shè) P（ A）＝ ，從總體 X 中抽樣 x1,x2,…,x n，問最大似然法求 【答疑編號(hào)： 10070106 針對(duì)該題提問】 解：當(dāng) X～ B（ 1， P）時(shí)，應(yīng)有 ∴ P（ X＝ 1）＝ P， P（ X＝ 0） =