數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文群同態(tài)與逆同態(tài)的幾點(diǎn)探究-資料下載頁
2025-05-18 10:18本頁面
【導(dǎo)讀】教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處。體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別.設(shè)想有兩位學(xué)生，一位中國學(xué)生，一位英國學(xué)生在一起做計(jì)算，當(dāng)中國學(xué)生數(shù)“一，與英文之間建立了一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如說“一”對(duì)應(yīng)“one”，“二”對(duì)應(yīng)“two”，“equal”等等，而且每一對(duì)應(yīng)中的兩個(gè)詞表示的是同一概念。系依然保持不變。兩者的區(qū)別也僅僅在于對(duì)同一概念使用了不同的術(shù)語和記號(hào)，類似的。且這種對(duì)應(yīng)關(guān)系還保持元素間的運(yùn)算關(guān)系。結(jié)論翻譯為另一個(gè)群中對(duì)應(yīng)的結(jié)論，而不必在這個(gè)群中另證一遍。換言之，這兩個(gè)群有。意義當(dāng)然是十分明顯的。一事物同類事物的聯(lián)系與區(qū)別中去了解事物，近世代數(shù)中也常常采用這樣的研究方法，而其中的同態(tài)與同構(gòu)則采用第三種方法。在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系往往是通過某
【正文】 y x x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 綜上由群同態(tài)定義可知 , ??是 G 上的同態(tài)映射 . 同理 , ??也是 G 上的同態(tài)映射 . 定理 若 G 是有限交換群 ,則 G 上的同態(tài)也是逆同態(tài) . 證明： 設(shè) ? 是群 G 上的同態(tài)映射 ,e 是 G 的單位元 . ? (e )=e , ? ? ? ? ? ? ? ?x y y x y x? ? ? ???, 由逆同態(tài)定義可知 ,? 是 G 到 G 的逆同態(tài) . 定理 有 限循環(huán)群上的自同態(tài)與逆同態(tài)等價(jià) ,自同構(gòu)與逆同構(gòu)等價(jià) . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20xx 屆畢業(yè)論文 8 因?yàn)橛邢扪h(huán)群必為有限交換群 . 例 1 設(shè) G = a 是 n 階循環(huán)群 ,Z 是正整數(shù) ,定義 ? ?: , 0 , 1 , ... 1 .iizz a a i n? ?? 證明 : (1) z? 是 G 上的自同態(tài)且為逆同態(tài) . (2) z? 是 G 上的自同構(gòu)且為逆同構(gòu) ,當(dāng)且僅當(dāng) ? ?,1nz? . 證明： (1)z? 是 G 到 G 上的映射 . 0 1ea??是 G 中單位元 . ? ? ? ?0 1zz e a e? ? ? ?。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?iji j i j z z i z j i jz z z za a a a a a a a? ? ? ???? ? ? ?。 所以 z? 是自同態(tài) ,又 G 為有限循環(huán)群 ,故 z? 也為逆同態(tài) . (2)充分性 ? ? ? ? ? ? ? ? 1i j i jz z z za a a a e? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?z i jijz a e a e n i j z? ??? ? ? ? ? ? 若 ? ?,1nz? ,則 ? ?n i j? .從而得到 .i j i ja e a a? ??即 可知 z? 是單射 ,有限集上的單射必為雙射 ,因此 z? 為自同構(gòu) .又 z? 為逆同態(tài)映射故 z? 逆同構(gòu) . 必要性 若 z? 為逆同構(gòu) , ? ?,nz t? . ? ?nn zz ntt tz a a a e??? ? ? ?????. 由于 ? ?z ee? ? 且 z? 具有單射性 ,因此 ntae? ,從而得到 nnt,即 ? ?,1nz? 定理 設(shè) ? 是群 G 上的同態(tài)映射 , 定義 ? ? ? ? 11 ,x x x G?? ?? ? ? ?，則 1?? 是群 G 上的逆同態(tài)，反之，若 ? 是群 G 上的逆同態(tài) ,定義 ? ? ? ? 11 ,x x x G?? ?? ? ? ?則 1?? 是群 上的同態(tài) . 證明：設(shè) ? 是群 G 上的同態(tài)，則有： ? ? ? ? 1 11 。e e e e?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 11 1 1 , , 。x y x y x y y x y x x y G? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????? 故 1?? 為逆同態(tài) . 設(shè) ? 是群 G 上的逆同態(tài)，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20xx 屆畢業(yè)論文 9 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1111 1 11 1 1。, , .e e e ex y x y y x x y x y x y G??? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????? 由以上的定理可知 ,群的同態(tài)與逆同態(tài)可以建立對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,群的逆同態(tài)研究可以歸于群同態(tài)的研究 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20xx 屆畢業(yè)論文 10 參考文獻(xiàn) [1]任禎琴 ,張良 ,郭繼東 .群上的逆同態(tài) .伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 ),20xx. [2]牛鳳文 ,近世代數(shù)基礎(chǔ) [M]長春 :吉林大學(xué)出版社 ,. [3]胡冠章 ,應(yīng)用近世代數(shù) [M]北京 :清華大學(xué)出版社 ,. [4]牛鳳文 ,抽象代數(shù) [M]武昌 :武漢大學(xué)出版社 ,. [5]張海權(quán) ,游宏 ,抽象代數(shù) [M]長春 :東北師范大學(xué)出版社 ,1993. 98101. [6]張禾瑞 ,近世代數(shù)基礎(chǔ) [M]北京 :高等教育出版社 , 79。113 116. [7]劉紹學(xué) ,近世代數(shù)基礎(chǔ) [M]北京 :高等教育出版社 ,. [8]韓士安 ,林磊 .近世代數(shù) [M]北京 :科學(xué)出版社 ,. [9]李倩倩 ,劉志剛 ,楊立英 .群的基本同態(tài)定理的應(yīng)用 [J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ,20xx. [10]趙興杰 .子群陪集與群同態(tài)基本定理的一種幾何模型 [J].數(shù) 學(xué)雜志 ,. [11]陳國慧 .同態(tài)基本定理的應(yīng)用 [J]:海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ,. [12]楊子胥 .近世代數(shù) [M]北京 高等教育出版社 ,.
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