數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文群同態(tài)與逆同態(tài)的幾點(diǎn)探究-文庫(kù)吧
2025-04-23 10:18 本頁(yè)面
【正文】 ...................... 10 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20xx 屆畢業(yè)論文 1 0 引言 什么是群同態(tài)和逆同態(tài) 設(shè)想有兩位學(xué)生，一位中國(guó)學(xué)生，一位英國(guó)學(xué)生在一起做計(jì)算，當(dāng)中國(guó)學(xué)生數(shù)“一，二，三，四 …… ”時(shí)，英國(guó)學(xué)生卻說(shuō)“ one ， two， three， four…… ”。雖然他們說(shuō)的是不同的語(yǔ)言，但我們知道，他們所做的是同一件事 —— 數(shù)數(shù)。同樣，當(dāng)中國(guó)學(xué)生在紙上寫(xiě)下“一加一等 于二”，英國(guó)學(xué)生在紙上寫(xiě)下“ one plus one equals two”時(shí)，雖然他們用的是不同的文字，但我們知道，他們也正在做同一件事情 —— 進(jìn)行數(shù)的加法，并且計(jì)算的是同一算式，我們?yōu)槭裁粗浪麄冏龅氖峭患履?？那是因?yàn)椋覀冊(cè)谥形呐c英文之間建立了一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如說(shuō)“一”對(duì)應(yīng)“ one”，“二”對(duì)應(yīng)“ two”，“三”對(duì)應(yīng)“ three”，“四”對(duì)應(yīng)“ four”，以及“加”對(duì)應(yīng)“ plus”，“等于”對(duì)應(yīng)“ equal”等等，而且每一對(duì)應(yīng)中的兩個(gè)詞表示的是同一概念。根據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)我們可以把中文的句子統(tǒng)一的翻譯 為英文中的句子，不僅如此，我們還可以借助一種語(yǔ)言來(lái)完成原來(lái)要求在另一種語(yǔ)言下完成的工作，如此，一旦英國(guó)學(xué)生完成了算式“ two plus three equals five”中國(guó)學(xué)生不用計(jì)算就可以知道“二加三等于五”，這就是說(shuō)，上述對(duì)應(yīng)關(guān)系不僅建立了中文的詞與英文的詞之間的聯(lián)系，而且當(dāng)我們用詞組合成句子時(shí)，這種聯(lián)系依然保持不變。兩者的區(qū)別也僅僅在于對(duì)同一概念使用了不同的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)，類似的情況也出現(xiàn)在群論中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些群，他們表面上看起來(lái)是那樣不同，他們的元素不同，運(yùn)算也不同。但我們卻可以在他們的元素之 間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。而且這種對(duì)應(yīng)關(guān)系還保持元素間的運(yùn)算關(guān)系。由于群的性質(zhì)是由他的元素和元素之間的運(yùn)算所唯一確定的，這樣，借助于這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們就可以把一個(gè)群中所證明的結(jié)論翻譯為另一個(gè)群中對(duì)應(yīng)的結(jié)論，而不必在這個(gè)群中另證一遍。換言之，這兩個(gè)群有完全相同的結(jié)構(gòu)，所不同的僅僅是表述他們的元素及運(yùn)算它們的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)，這樣做的意義當(dāng)然是十分明顯的。 怎樣認(rèn)識(shí)群同態(tài)和逆同態(tài) 認(rèn)識(shí)一件事物，通常有三種途徑：一是有局部到整體，而是由整體到局部，三是從一事物同類事物的聯(lián)系與區(qū)別中去了解事物，近世代數(shù)中也常常采用 這樣的研究方法，而其中的同態(tài)與同構(gòu)則采用第三種方法。在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系往往是通過(guò)某種特殊的映射來(lái)反映的，這些映射不但建立了兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的元素之間的聯(lián)系，而且也要能反映出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的某種結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，比如，線性代數(shù)中的線性映射就有這一特點(diǎn)，它既建立了兩個(gè)線性空間的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)也保持了雙方的某些運(yùn)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20xx 屆畢業(yè)論文 2 算性質(zhì)，群同構(gòu)的概念也具有這一特性。但是，群同構(gòu)的概念對(duì)于討論群之間的關(guān)系來(lái)說(shuō)條件太強(qiáng)了，它首先要求群與群元素之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此我們可以說(shuō)群同態(tài)是群同構(gòu)的自然推廣，通過(guò)群同態(tài)我們可 了解一個(gè)群，商群以及它的同態(tài)象之間的密切聯(lián)系，而這種聯(lián)系，無(wú)論對(duì)于群論本身，還是對(duì)于群的應(yīng)用，都是極為重要的。 群同態(tài)的和逆同態(tài)意義 如果說(shuō)兩國(guó)之間有政治關(guān)系 ,經(jīng)濟(jì)關(guān)系等等許多關(guān)系 ,則對(duì)于兩個(gè)群之間就有同態(tài)關(guān)系 .單同態(tài)意味著甲群與乙群的一個(gè)子群一樣 (同構(gòu) ),滿同態(tài)說(shuō)明乙群就是甲群的商群 ,非單非滿的同態(tài) ,則說(shuō)甲群的一個(gè)商群與乙群的一個(gè)商群是一樣的 ,這樣的同態(tài)關(guān)系是群的僅有關(guān)系而子群和商群是這種關(guān)系僅涉及的兩種語(yǔ)言。 眾所周知，群論在數(shù)論中起著何等重要的作用。 群的同態(tài)與同構(gòu)都是研究群與群之間關(guān)系的重要手 段。同構(gòu)映射是群之間保持運(yùn)算的映射，存在同構(gòu)映射的兩個(gè)群可以看成同一個(gè)群，因?yàn)樗鼈冇邢嗤娜航Y(jié)構(gòu)。代數(shù)中最基本與最重要的課題就是搞清楚各種代數(shù)體系在同構(gòu)意義下的分類。 而同態(tài)映射只要求保持運(yùn)算，顯然它比同構(gòu)映射更靈活，它能研究?jī)蓚€(gè)不同構(gòu)的群之間的聯(lián)系。 群 同態(tài)基本定理告訴我們， 一定找得到 G 的一個(gè)不變子群 N ，使得 G 的性質(zhì)和商群 /GN的完全一樣，此定理是群論中最重要的定理之一，它是研究群與群之間關(guān)系的有利工具 。 在處理一些同構(gòu)問(wèn)題時(shí)，我們也常常反過(guò)用這個(gè)定理，也就是說(shuō)先構(gòu)造出滿同態(tài)。保持運(yùn)算的映射既然能研究?jī)蓚€(gè)代數(shù)體系之間的一些關(guān)系，那么對(duì)于復(fù)雜一些的代數(shù)體系我們就可以用一些簡(jiǎn)單的去研究它們。另外，群的 逆 同構(gòu)和 逆 同態(tài)也是研究群的重要手段。 本文從新的角度 ,即用逆同態(tài)來(lái)研究群中元素之間的關(guān)系 ,同時(shí)探討了逆同態(tài)與同態(tài)的聯(lián)系與區(qū)別。 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20xx 屆畢業(yè)論文 3 1 預(yù)備知識(shí) 定義 設(shè) ? ?,G 和 ? ?,G 是兩個(gè)群 ,f 是 G 到 G 的一個(gè)映射，如果對(duì)任意 a， b ∈ G ，若 f 滿足 f ? ? ? ? ? ?a b f a f b? ，則稱 f 是群的同態(tài)映射 .（ homomorphism）；若同態(tài)映射 f 是滿射，則稱 f 是群的同態(tài)滿射（或滿同態(tài)） (e
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