數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文群同態(tài)與逆同態(tài)的幾點探究-文庫吧
2025-04-23 10:18 本頁面
【正文】 ...................... 10 數(shù)學與統(tǒng)計學院 20xx 屆畢業(yè)論文 1 0 引言 什么是群同態(tài)和逆同態(tài) 設想有兩位學生，一位中國學生，一位英國學生在一起做計算，當中國學生數(shù)“一，二，三，四 …… ”時，英國學生卻說“ one ， two， three， four…… ”。雖然他們說的是不同的語言，但我們知道，他們所做的是同一件事 —— 數(shù)數(shù)。同樣，當中國學生在紙上寫下“一加一等 于二”，英國學生在紙上寫下“ one plus one equals two”時，雖然他們用的是不同的文字，但我們知道，他們也正在做同一件事情 —— 進行數(shù)的加法，并且計算的是同一算式，我們?yōu)槭裁粗浪麄冏龅氖峭患履?？那是因為，我們在中文與英文之間建立了一種一一對應關系，比如說“一”對應“ one”，“二”對應“ two”，“三”對應“ three”，“四”對應“ four”，以及“加”對應“ plus”，“等于”對應“ equal”等等，而且每一對應中的兩個詞表示的是同一概念。根據(jù)這個對應我們可以把中文的句子統(tǒng)一的翻譯 為英文中的句子，不僅如此，我們還可以借助一種語言來完成原來要求在另一種語言下完成的工作，如此，一旦英國學生完成了算式“ two plus three equals five”中國學生不用計算就可以知道“二加三等于五”，這就是說，上述對應關系不僅建立了中文的詞與英文的詞之間的聯(lián)系，而且當我們用詞組合成句子時，這種聯(lián)系依然保持不變。兩者的區(qū)別也僅僅在于對同一概念使用了不同的術語和記號，類似的情況也出現(xiàn)在群論中，經(jīng)常會遇到這樣一些群，他們表面上看起來是那樣不同，他們的元素不同，運算也不同。但我們卻可以在他們的元素之 間建立一種一一對應的關系。而且這種對應關系還保持元素間的運算關系。由于群的性質(zhì)是由他的元素和元素之間的運算所唯一確定的，這樣，借助于這種一一對應的關系，我們就可以把一個群中所證明的結(jié)論翻譯為另一個群中對應的結(jié)論，而不必在這個群中另證一遍。換言之，這兩個群有完全相同的結(jié)構(gòu)，所不同的僅僅是表述他們的元素及運算它們的術語和記號，這樣做的意義當然是十分明顯的。 怎樣認識群同態(tài)和逆同態(tài) 認識一件事物，通常有三種途徑：一是有局部到整體，而是由整體到局部，三是從一事物同類事物的聯(lián)系與區(qū)別中去了解事物，近世代數(shù)中也常常采用 這樣的研究方法，而其中的同態(tài)與同構(gòu)則采用第三種方法。在數(shù)學上，數(shù)學對象之間的聯(lián)系往往是通過某種特殊的映射來反映的，這些映射不但建立了兩個數(shù)學對象的元素之間的聯(lián)系，而且也要能反映出這兩個數(shù)學對象的某種結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，比如，線性代數(shù)中的線性映射就有這一特點，它既建立了兩個線性空間的元素之間的對應關系，同時也保持了雙方的某些運數(shù)學與統(tǒng)計學院 20xx 屆畢業(yè)論文 2 算性質(zhì)，群同構(gòu)的概念也具有這一特性。但是，群同構(gòu)的概念對于討論群之間的關系來說條件太強了，它首先要求群與群元素之間有一個一一對應的關系。因此我們可以說群同態(tài)是群同構(gòu)的自然推廣，通過群同態(tài)我們可 了解一個群，商群以及它的同態(tài)象之間的密切聯(lián)系，而這種聯(lián)系，無論對于群論本身，還是對于群的應用，都是極為重要的。 群同態(tài)的和逆同態(tài)意義 如果說兩國之間有政治關系 ,經(jīng)濟關系等等許多關系 ,則對于兩個群之間就有同態(tài)關系 .單同態(tài)意味著甲群與乙群的一個子群一樣 (同構(gòu) ),滿同態(tài)說明乙群就是甲群的商群 ,非單非滿的同態(tài) ,則說甲群的一個商群與乙群的一個商群是一樣的 ,這樣的同態(tài)關系是群的僅有關系而子群和商群是這種關系僅涉及的兩種語言。 眾所周知，群論在數(shù)論中起著何等重要的作用。 群的同態(tài)與同構(gòu)都是研究群與群之間關系的重要手 段。同構(gòu)映射是群之間保持運算的映射，存在同構(gòu)映射的兩個群可以看成同一個群，因為它們有相同的群結(jié)構(gòu)。代數(shù)中最基本與最重要的課題就是搞清楚各種代數(shù)體系在同構(gòu)意義下的分類。 而同態(tài)映射只要求保持運算，顯然它比同構(gòu)映射更靈活，它能研究兩個不同構(gòu)的群之間的聯(lián)系。 群 同態(tài)基本定理告訴我們， 一定找得到 G 的一個不變子群 N ，使得 G 的性質(zhì)和商群 /GN的完全一樣，此定理是群論中最重要的定理之一，它是研究群與群之間關系的有利工具 。 在處理一些同構(gòu)問題時，我們也常常反過用這個定理，也就是說先構(gòu)造出滿同態(tài)。保持運算的映射既然能研究兩個代數(shù)體系之間的一些關系，那么對于復雜一些的代數(shù)體系我們就可以用一些簡單的去研究它們。另外，群的 逆 同構(gòu)和 逆 同態(tài)也是研究群的重要手段。 本文從新的角度 ,即用逆同態(tài)來研究群中元素之間的關系 ,同時探討了逆同態(tài)與同態(tài)的聯(lián)系與區(qū)別。 數(shù)學與統(tǒng)計學院 20xx 屆畢業(yè)論文 3 1 預備知識 定義 設 ? ?,G 和 ? ?,G 是兩個群 ,f 是 G 到 G 的一個映射，如果對任意 a， b ∈ G ，若 f 滿足 f ? ? ? ? ? ?a b f a f b? ，則稱 f 是群的同態(tài)映射 .（ homomorphism）；若同態(tài)映射 f 是滿射，則稱 f 是群的同態(tài)滿射（或滿同態(tài)） (e
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