【正文】 附件二所給的 嫦娥三號著陸區(qū)域和著陸點(diǎn)示意圖 可知，只要保證嫦娥三號的著陸區(qū)域在虹灣著陸區(qū)，則認(rèn)為著陸成功 。 為保證嫦娥三號以最大概率降落到 精準(zhǔn)的著陸點(diǎn) 和 虹灣著陸區(qū) ，經(jīng)分析后得出， 選擇以北緯 176。 作為軟著陸 的繞月軌道 。 在 這種確定緯度的繞月軌道 中 ，月球?qū)︽隙鹑?的萬有引力，可以分解為兩個(gè)方向。一個(gè)是繞月 的向心力，一個(gè)是 與繞行面相切的力，則 選擇 最終狀態(tài)為繞赤道運(yùn)行 更為準(zhǔn)確 。 故根據(jù)實(shí)際分析，嫦娥三號 的繞月平面應(yīng)與南北極軸重合。 圖 4 嫦娥三號 繞月飛行軌道分析 模型的 建立與 計(jì)算 據(jù)了解，嫦娥三號主發(fā)動機(jī)是目前中國航天器上最大推力的發(fā)動機(jī)，能夠產(chǎn)生從 1500 牛到 7500 牛的可調(diào)節(jié)推力，故可根據(jù)推力范圍求取嫦娥三號的加速度范圍。 并 用最大的加速度計(jì)算平拋產(chǎn)生的距離。 主減速段 看作 平拋運(yùn)動 ： 起始速度 ???? = 103 ?? ??? 加速度的取值范圍 ≤ ?? ≤ ?? ??2? 4 平拋產(chǎn)生的距離 x = ????22????= ????（ ?? = ?? ??2? ） 圖 5 嫦娥三號拋物示意圖 由上圖，并結(jié)合計(jì)算所得的拋物距離，得到準(zhǔn)備著陸的點(diǎn)與軟著陸點(diǎn)相差176。，即可算出近月點(diǎn)的經(jīng)緯度，同時(shí)根據(jù)對稱性，又可求得遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度。 由附件所給條件可知距離月球 表面 15km時(shí)，速度的大小為 1700??/??，則此速度看作近月點(diǎn)速度， 在穩(wěn)定的軌道下， 從近月 點(diǎn)到遠(yuǎn)月點(diǎn)可看作 重力勢能和動能 相互轉(zhuǎn)換的過程 ， 而遠(yuǎn)月點(diǎn)距離地球表面為 100km，可以計(jì)算重力勢能的變化，即可算出遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度： ????2 = ????1 ?(????2 ?????1) Ev1 = mv122 Ev2 = v222 (1) ????2 = ??122 ?( 月 ( :??) ? 月 ( :??)) 根據(jù)以上公式可得出近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度 （速度方向沿軌道切線方向） ，連同經(jīng)緯度，如下表所示： 表 6 近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)位置與速度 近月點(diǎn) 遠(yuǎn)月點(diǎn) 經(jīng)緯度 （ 176。 W， 176。 N） （ 176。 E， 176。 S） 速度 1700??/?? 1615??/?? 模型的分析 本模型 主要 對 主減速階段和快速調(diào)整階段 進(jìn)行初步分析 首先分析嫦娥三號在此階段的的受力情況，假設(shè)受力與豎直方向 的 夾角為 ??： 5 圖 7 主減速階段受力分析圖 圖 8 不考慮質(zhì)量變化時(shí)的受力分析 利用動量守恒定律可得： ∫ ??????????????????????????7500 = ??1????1 ???2????2 (2) ∫ (?????????????????????? ?(??1 ?∫ ?????????????2940 ??????0 )??)7500 ???? = ??2????1 (3) 由題目和附件可知，嫦娥三號在運(yùn)行過程中有燃料的消耗，本模型分為兩種情況考慮，一種為考慮質(zhì)量變化，另一種為不考慮質(zhì)量變化。 由于主減速階段燃料消耗很大，故作為質(zhì)量變化考慮；而快速調(diào)整階段速度很小，質(zhì)量變化很小，故作為質(zhì)量不變考慮。 考慮質(zhì)量變化 （主減速階段） ， 推力大小 thrust = mve ?? = ?????????????2940 ??2 = ??1?∫ ?????????????2940 ????7500 此階段的 燃料的消耗 量 為 ??1 ???2 不考慮質(zhì)量變化 （快速調(diào)整階段） ：由于 ????2值較小，可以通過姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)進(jìn)行微調(diào) ,假設(shè)此階段質(zhì)量的變化較小，則可以假設(shè)質(zhì)量基本保持不變 。 通過受力分析，可得到以下分析式： ?????????????? ???2?? = ??2 ??2 = ????2/ 最后得到燃料消耗為 ??3 = ????????????????2/???? = ??2(?? + )????2/( ????) = ??2????2(1+ ??/ )/???? (4) 模型的建立 建立目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)，計(jì)算最少的燃料消耗 。 由分析階段的計(jì)算可以得出總?cè)剂舷牧浚? ?? = ??1 ? ??2 +??3 = (??1?∫ ?????????????2940 ????7500 )????2(1+ ??/ )/???? +∫ ?????????????2940 ????7500 (5) 由表達(dá)式可以畫出總?cè)剂舷牧颗c質(zhì)量和時(shí)間的關(guān)系 6 圖 9 總?cè)剂舷牧颗c時(shí)間的關(guān)系 由圖可以看出，嫦娥三號的質(zhì)量隨時(shí)間遞增而減少，而燃料的消耗隨著時(shí)間遞增而增加 。 模型三的建立 本模型 為分階段深入分析嫦娥三號的著陸軌道和在 6 個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。 主減速階段 制導(dǎo)控制律 （燃料最優(yōu)率制導(dǎo) [2]） ? 模型的準(zhǔn)備 擬牛頓法是求解非線性優(yōu)化問題最有效的方法之一 。 擬牛頓法只要求每一步迭代時(shí)知道目標(biāo)函數(shù)的梯度。通過測量梯度的變化，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的模型使之足產(chǎn)生 超線性收斂 性。 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前迭代 xk的二次模型和割線公式 mk(p) = f(xk) + ?f(xk)Tp +pT2 Bk:1p 預(yù)估 — 校正算法的方法包括 三步四階 Adams外插法和三步四階 Adams內(nèi)插法為了 保證計(jì)算得精度，本文采用內(nèi)插法 ????:4 ?????:3 = ??24(55????:3 ?59????:2 +37????:1 ?9????) ????:4 ?????:3 = ??24(9????:4+19????:3 ?5????:2 +????:1) ? 模型的分析 與建立 嫦娥三號 主減速階段 從距離月球表面 15km開始，由初速度為 v1 = 103 m s? 開始主減速。 建立二維模型描述嫦娥三號在此階段的運(yùn)動 。 令月心 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) , y 指向動力下降段的開始制動點(diǎn) , x 向著陸器的開始運(yùn)動方向，見下圖： 7 圖 10 著陸坐標(biāo)系 由坐標(biāo)系可建立嫦娥三號的質(zhì)心動力學(xué)方程，描述如方程組（ 6） ： { ?? = ???? = (?? )???????? ? ????2 + ????2?? = ???? = ?*(?? )???????? +2????+/???? = ???/?????? （ 6） 式中 : ??, ??, ??和 ?? 分別為嫦娥三號 的月心距、極角、角速度和質(zhì)量 。 ??為嫦娥三號 沿 ??方向上的速度 。 ??為制動發(fā)動機(jī)的推力 (固定的常值或 0) 。 ??????為其比沖 。 μ為月球引力常數(shù) 。 ??為發(fā)動機(jī)推力與當(dāng)?shù)厮骄€的夾角即推力方向角。 動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌道 的 近月點(diǎn)確定 ,終端條件為嫦娥三號 在月面實(shí)現(xiàn)軟著陸。令初始時(shí)刻 ??0 = 0,終端時(shí)刻 ???? 不定 ,則 此過程的約束條件可以表示為方程組（ 7） ： {??(????) = R +h??(????) = 53??/????(????) = 0 （ 7） ? 對 ????的求解 月球軟著陸的最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)就是要在滿足上述初始條件和終端約束 條件 的前提下 , 調(diào)整推力大小和方向 ,使得嫦娥三號 實(shí)現(xiàn)燃料最優(yōu)軟著陸 ,則設(shè)燃料最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)為表達(dá)式（ 8） ： ?? = ∫ ?????? = ????????0(0) ???(????) （ 8） 8 在 無奇異情況下 ,推力應(yīng)為開關(guān)控制 。 要么以最大推力工作 ,要么以 最小推力工作 。但為了簡化問題 ,采用常值推力假設(shè) ， 即認(rèn)為制動發(fā)動機(jī)一直以最大推力工作 。 這一方法一方面有 利于優(yōu)化 ， 另一方面可降低發(fā)動機(jī)復(fù)雜性 。 采用常值推力假設(shè)后 ,月球最優(yōu)燃耗軟著陸問題轉(zhuǎn)化為最短時(shí)間控制問題 ,即尋找實(shí)現(xiàn)軟著陸的最短時(shí)間 ????，求解步驟如下 : step1： 確定一終端時(shí)間 ????,滿足條件 ???? 750s step2： 求解無約束最優(yōu)控制問題 狀態(tài)方程 式 ,終端時(shí)間為 ????，性能指標(biāo)為： J? = 12 (???? ???0)2 + 12????2 + 12 (????????)2 （ 9） 其中下標(biāo) ??表示在 ????時(shí)刻的取值。 step3： 根據(jù) 終端能量特性修正 tf