【正文】 20xx 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 編 號 專 用 頁 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）： 賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）： 評 閱 人 評 分 備 注 全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）： 全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）： 嫦娥三號軟著路軌道設(shè)計與控制策略 摘要 本文主要為分階段研究嫦娥三號的軟著陸軌道設(shè)計與最優(yōu)控制策略。 建立模型一 確定 近月點(diǎn) 和遠(yuǎn)月點(diǎn)的 位置 ，以及嫦娥三號速度 大小與方向 。首先以月球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)計算 的作用力 可知地球影響較小，故忽略不計。然后將嫦娥三號軟著陸看作拋物線的運(yùn)動過程，計算在最大推力下的減速運(yùn)動，求得月面偏移距離為 km，由此計算出偏移角度為 176。 。從而得出近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度分別為 （ 176。 W， 176。 N） 和 （ 176。 E，176。 S） 。最后在軟著陸的橢圓軌道上，由動力勢能和重力勢能的變化，計算出嫦娥三號在遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)的速度分別為 1700??/??和 1615??/??， 沿軌道切線方向 。 建立模型二和模型 三 確定著陸軌道和在 6 個階段的最 優(yōu)控制策略 。 模型二主要 對主減速階段和快速調(diào)整階段進(jìn)行初步分析。 模型三分六個階段確定軌道和最優(yōu)控制策略，主減速階段建立目標(biāo)函數(shù) 燃料 ???， 假設(shè)推力 ??????????????最大 ,將 最優(yōu)燃耗軟著陸問題轉(zhuǎn)化為最短時間控制問題，然后 采用擬牛頓法和四階 Admas 預(yù)測 校正 得到 ??? = ； 快速調(diào)整階段采用重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)， 在假設(shè)條件下對嫦娥三號進(jìn)行受力分析，得到嫦娥三號的動力學(xué)模型，然后通過開關(guān)控制得到燃耗最優(yōu)控制，并畫出仿真圖；粗避障階段采用多項式制導(dǎo)， 通過初始狀態(tài)和末端狀態(tài)反解多項式系數(shù)進(jìn)而求取標(biāo)稱軌跡 ， 然后 將避障區(qū)域網(wǎng)格化，比較網(wǎng)格內(nèi)的方差大小確定最優(yōu)區(qū)域范圍 ； 精避障階段 需 在滿足本文提出的避障原則式 (18)下 搜索全局最優(yōu)解，以網(wǎng)格區(qū)域總體得分 ζ作為目標(biāo)函數(shù) ， 得到最優(yōu)區(qū)域為坐標(biāo) (544,278)附近 ，并以螺旋搜索法搜索安全半徑的個數(shù) 。 其余 階段 僅對其做簡單物理分析后繪制出六個階段的著陸軌道。 建立模型四 做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析 。首先以模型二為基礎(chǔ)進(jìn)行誤差分析，當(dāng) 主減速階段的推力 ??????????????、初始質(zhì)量 ??2變化時，計算嫦娥三號質(zhì)量 ??2和燃料消耗速率的變化趨勢。再以模型三為基礎(chǔ)進(jìn)行分析， 對初始高度變化前后主減速階段的 ??????????????的 偏角 ??和 ??1和著陸軌道進(jìn)行對比分析并計算誤差。 然后進(jìn)行敏感性分析 ，主要利用蒙特卡洛分析著陸軌道的粗避障階段和精避障階段月面不同地形高度，對嫦娥三號降落時所需調(diào)整概率大小的影響，接著分析嫦娥三號著陸占地面積大小對著陸調(diào)整概率 P的影響。 關(guān)鍵字： 拋物線、燃料 ?、擬牛頓法、 Admas、網(wǎng)格化、蒙特卡洛模擬 1 嫦娥三號于 20xx年 12月 2日 1時 30分成功發(fā)射， 12月 6日 抵達(dá) 月球軌道 。嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為 ，其安裝在下部的主減速發(fā)動機(jī)能夠產(chǎn)生 1500N到 7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即 單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力 ）為 2940m/s， 可以 滿足調(diào)整 速度 的 控制 要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)，在給定主減速發(fā)動機(jī)的推力方向后，能夠自動通過多 個發(fā)動機(jī)的脈沖組合實現(xiàn) 各種 姿態(tài) 的調(diào)整控制。嫦娥三 號的 預(yù)定著陸點(diǎn) 為 ， ， 海拔 為 2641m。 嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn) 15km，遠(yuǎn)月點(diǎn) 100km 的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為 6 個階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量 減少軟著陸過程的燃料消耗 。 根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題： （ 1） 確定著陸 準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn) 和遠(yuǎn)月點(diǎn)的 位置 ，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。 （ 2） 確定嫦娥三號的著陸軌道和在 6個階段的最 優(yōu)控制策略。 （ 3）對于你們設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。 本文所研究的問題一主要為基礎(chǔ)計算和物理知識 ,首先我們需要根據(jù) 預(yù)定的著陸點(diǎn)的經(jīng)緯度確定軌道 ，然后通過拋物線的運(yùn)動計算出在月球著陸時的水平路程，然后計算出偏移角度，據(jù)此確定近月點(diǎn)的經(jīng)緯度 ， 而嫦娥三號 的著陸軌道為過月球中心點(diǎn)的橢圓軌道，所以 遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度和近月點(diǎn)對稱， 則可以由近月點(diǎn)計算出遠(yuǎn)月點(diǎn) 的經(jīng)緯度 。最后因為在著陸軌道上 衛(wèi)星的能量守恒， 則可以通過勢能和動能的轉(zhuǎn)換來計算嫦娥三號的速度和方向 。 本文所研究的問題二主要為過程的最優(yōu)控制和建立嫦娥三號軟著陸軌道。 因為嫦娥三號的軟著陸主要分為六個階段，所以此問應(yīng)分為六個階段來求解。主減速階段采用燃料最優(yōu)制導(dǎo)律來分析， 建立著陸坐標(biāo)系 ，將 最優(yōu)燃耗軟著陸問題轉(zhuǎn)化為最短時間控制問題，然后 得到目標(biāo)函數(shù) ；快速調(diào)整階段采用重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)，對嫦娥三號進(jìn)行受力分析，得到嫦娥三號的動力學(xué)模型，然后 計算出 燃耗最優(yōu)控制，并畫出仿真圖；粗避障階段采用多項式制導(dǎo)， 首先列出加速度、速度、位移的 多 項式，然后通過初始狀態(tài)和末端狀態(tài)反解多項式系數(shù)進(jìn)而求取標(biāo)稱軌跡；精避障階段首先設(shè)定 嫦娥三號的 體型 大小， 然后處理數(shù)據(jù)的數(shù)量級 不同 ，最后 在整個降落區(qū)域的范圍內(nèi)搜索最優(yōu)著陸點(diǎn) ；由于在緩速下降和自由落體階段中，發(fā)動機(jī)已經(jīng)關(guān)閉，故僅對其做簡單物理分析。最后通過整個分析得出總的著陸軌道。 本文所研究的問題三主要為 著陸軌道和控制策略做誤差分析和敏感度分析，2 需要對問題二所設(shè)計的著陸軌道和控制策略中的 發(fā)動機(jī)推力、初始速度、初始高度進(jìn)行誤差分析。 然后進(jìn)行敏感度分析，即 對 著陸軌道的粗避障階段和精避障階段月面不同地形高度對嫦娥三號 降落時所需調(diào)整概率大小的影響， 最后分析嫦娥三號著陸占地面積大小對著陸調(diào)整概率 P的影響。 假設(shè)一：嫦娥三號與月球均不受其他行星及衛(wèi)星的影響 假設(shè)二：不考慮月球繞地及其他星球的公轉(zhuǎn) 和月球的自轉(zhuǎn) 假設(shè)三 ：將月球近似的看做標(biāo)準(zhǔn)球體 假設(shè)四：嫦娥衛(wèi)星的燃料消耗主要是在著陸的主減速階段 假設(shè)五： 軟著陸的四、五、六階段 著陸 軌跡基本在同一平面內(nèi) 與公式 的約定和說明 = 2 ： G= 10。11為引力常量， m、 M 分別為兩物體質(zhì)量， R為兩物體距離 ， 為兩物體間的作用力 = m ： ??為物體質(zhì)量， 為物體在 ??作用下產(chǎn)生的加速度 ????： 軟著陸起始速度 ??： 加速度 X： 平拋產(chǎn)生的距離 ??????： 物體的動能（ i = 1,2?） ??????： 物體的重力勢能（ i = 1,2?） ??????????????： 嫦娥三號的推力 λ ： 偏好系數(shù) ζ： 降落地點(diǎn)總體得分 ??： 第 ??段離散段的平均加速度 由于本文使用參數(shù)和公式較多，其他公式和符號在 具體 模型中再做說明。 模型的假設(shè) 由萬有引力公式 ?? = 2 計算 ??， 再由牛頓第二定律 ?? = ?? 計算地球和月球在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)處的重力加速度。 表 1 地球及月球在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的重力加速度 （單位 ： / ） 近月點(diǎn) 遠(yuǎn)月點(diǎn) 地球 月球 由上表可知，地球在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的 重力加速度 數(shù)值很小 ， 即地球?qū)︽隙? 三號與月球影響很小， 故可忽略不計。所以 本模型只考慮月球?qū)︽隙鹑柕挠绊憽? 模型的分析 根據(jù)附件 2給出的軟著陸過程 示意圖 ，即嫦娥三號將在近月點(diǎn) 15 公里處以拋物線下降，相對速度從每秒 公里逐漸降為零。整個過程大概需要 750 秒，我們將其看作 勻減速 運(yùn)動 過程 。 利用 matlab 繪制嫦娥三號繞月飛行的三維動態(tài)圖，更直觀的反應(yīng)嫦娥三號的環(huán)月飛行 ，如 圖 3（ 源程序見附錄）： 圖 2 嫦娥三號繞月軌道坐標(biāo) 圖 圖 3 嫦娥三號環(huán)月飛行 同時由