第15講同態(tài)與不變子群-資料下載頁(yè)
2025-08-26 09:12本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】變子群，都可極其自然地得到一個(gè)新的群——商群NG。都不會(huì)懷疑與商群具有密切的聯(lián)系。而本節(jié)的基本內(nèi)容就是要揭示這。該定理確立了不變子群與商群在。群的理論中的重要地位。在本節(jié)中，我們將會(huì)學(xué)會(huì)重新看待“同態(tài)象”。忽略了G中的某些元素間的差異而又維持了中的運(yùn)算關(guān)系。在同構(gòu)意義下意味著G的一個(gè)商群與的一個(gè)子群一樣。系就是本節(jié)的重點(diǎn)。為紐帶建立了一套同態(tài)理論。所以領(lǐng)會(huì)其理論的實(shí)質(zhì)和掌握每個(gè)知識(shí)。點(diǎn)的要領(lǐng)是關(guān)鍵所在。是一個(gè)群同態(tài)映射，（即。），那么G的單位元e的全部原象（逆象）。.由x的任意性知}{eN?對(duì)上述的同態(tài)滿射""xNx????以這樣稱呼，除了?的對(duì)應(yīng)法則極其自然外，還告誡我們G與NG之。些性質(zhì)去推測(cè)群G的一些性質(zhì)。一般來說，商群要比G簡(jiǎn)單些，（因。們?cè)谘芯縂上帶來方便。 )()(ggN是群同態(tài)單射（按定理2的證明方法）。是能使三角關(guān)系圖交換：
【正文】 4 )()( 1 HKer ??? ?? fNGLH ??? ? ),()(1? 是滿射 . 如果),(, 21 NGLHH ? ，且 )()()()( 2121 HHHfHf ?? ??? ,用 1?? 作用等式兩端知 )]([)]([ 2111 HH ???? ?? ? ，由結(jié)論 4（ ⅱ ） 21 HH ?? ， ∴ f 是單射。 綜合上述知， )(),(: GLNGLf ? 是雙射。其中： )(HH f ?? ?? . （ 1 ）若 21 HH? . 自 然有 )()( 21 HH ?? ? .∴ )()( 21 HfHf ? . 而若)()( 21 HfHf ? 即 )()( 21 HH ?? ? ∴ 自然有 )]([)]([ 2111 HH ???? ?? ? 由結(jié)論4(ⅱ ) 21 HH ?? ∴ )()( 2121 HfHfHH ??? （ 2）當(dāng) GH? ,由定理 3(2) GHfGH ?? )()( ?? ? . 當(dāng) GHHf ?)()( ?? .由定理 4(4) GH ?)]([1 ?? ?? ,但 HH ?? )]([1 ?? ∴ GH? ∴ GHfGH △)(?? . （ 3） HH ?? )]([1 ??? .由 SHT 可直接得到此結(jié)論 . 六 商群的子群 .以及群的第一和第二同構(gòu)定理 結(jié)論 6. 設(shè) GN? ,那么對(duì)于 商 群 NG 而言 ,我們有 （ 1） NG 的任一個(gè)子群都可寫成 NH 的形式 ,其中 HN? .反之 ,若 GH? 且 HN? ,那么 NH 必是 NG 的子群 . （ 2） GHGH ?? 21 , .且 21 , HNHN ?? ,當(dāng) 21 HH ? 時(shí) ,必有 NHNH 21 ? . （ 3）設(shè) GHN ?? ,那么 NGNHGH ?? ? . 證明：（ 1）由于有自然同態(tài) NGG?～ ,今取 S 為 NG 的任一個(gè)子群 . GS ?? ? )(1? 且 HSN △?? ? )(1? .于是可證 HNH? .那么 SSH ?? ? )]([)( 1??? 又 NHHhhNnHhhnHNH ?????????? }|)({},|)({)()( ???? ,? NHS? . 反之 ,若 GH? 且 HN? ,? HNH? ,且 NGHNH ?? )()( ?? . 但 NHHhhH ??? }|)(){( ?? . ? NGNH ? . （ 2）設(shè) 21,HH 如題設(shè) ,那么 NHNHHHHH 212121 )()( ????? ?? 反之 ,若 NHNH 21 ? .即 )]([)]([)()( 211121 HHHH ?????? ?? ??? 即 21 HH ? ∴ NHNHHH 2121 ??? 上述的逆反命題知 NHNHHH 2121 ????。 （ 3）設(shè) GH? .且 HN? . HGH ?)(?? .而 NHH ?)(? .∴ NGNH ? 反之若 NGNH ? .由定理 4 GNH △)(1?? ? .但 )]([)( 11 HNH ??? ?? ? ∴ GH? . 第一同構(gòu)定理 :設(shè) GH? 且 GK? ,若 HK? ,那么 KHKGHG ? …………(* ) 若 K 與 H 中沒有包含關(guān)系 ,則有 HHKHGHKG ? (或KHkKGHKG ? ) ……(**) 說明 因 KGG?～ 而 GHK ?? .由結(jié)論 6 KHH ?? )(? 且 )( GHKGKH ??? ∴HHHGHGG ?? ～～ 而 HKer ?)( ?? .由 FHT *??? KHKGHG 成立 另，因 GHKGKGH ??? ?, 。而 HKHHKH ??? 。 ∴HHKHGHGG ?? ～～ 。而知 HKKer ?)( ?? ，由 FHTHHKHGHKG ?? . 第二同構(gòu)定理 .設(shè) KH? 且 GK? .那么 KHHKHK ?? . 說明 . GHKKGK ?? ??? , HKH ?? KGG?～? 故 KHKH ?)(? . ∴ KHKH ?～ 但 KHKer ??)(? ∴ KHKKHH ?? .
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