第15講同態(tài)與不變子群(編輯修改稿)
2025-10-10 09:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 . 注意 2： 習(xí)慣上稱 ? 為 ? 的導(dǎo)出同態(tài)。 三、子群與子群的完全原象 設(shè) BAf ?: 是映射：都知道： 3 的象是 a ，而稱 3 是 a 的逆象（原象），但 a 的逆象不僅 3 一個，還有 1和 4，于是令 }4,3,1{?? ，則稱 ? 是 a 的完全原象，通常將 ? 記為 )(1 af? 同理 }6,5,4,3,1{},{1 ?? daf —— 由 a和 d 的全部逆象作成的 A 的子集。 定義 2： 設(shè) GG?:? 是群同態(tài)映射，若 GH? ，那么由子群 H 中的元素在 G 內(nèi)的全部逆象構(gòu)成的集合叫做 H 的完全原象記為 )(1 H?? ，即 })(|{)(1 HgGgH ???? ?? . 注意 3： 再強調(diào)一下： )(1 H?? 是 G 的一個子集，它由 H 中的每個元素在 ? 之 下的一切逆象組成。符號 )(1 H?? 不意味 ? 存在逆映射，用 1?? 只是表示求 ? 之下的全部逆象而已。 定理 3— 4. 設(shè) GG?:? 是群同態(tài)滿射 ,于是有下列結(jié)果 (1) 若 GH? ,那么 ? ? GH ?? . (2) 若 GH? ,那么 ? ? GH ?? . (3) 若 ? ? GHGH ??? ?1? ,并 ker? ? ? ?H1???? (4) 若 ? ? GHGH ?? 1?? ? 且 ker? ? ? ?H1???? . 證明 : (1) ? ? ? ? ggHgGgH ????? ?? 使? 表示 H 在 ? 下的象 .于是 ? ? HyxHyx ????? , ? 使 ? ? ? ?yxx ?? ?? , ,進而 , ? ? ? ? ? ?xyyxyx ??? ?? ,因為 HxyGH ??? ? ?Hx ??? ?1 . 由上知 ? ? GH ?? . (2) ? GH? , 由 (1) ? ? GH ??? , 另外 , ? ? GgHx ???? ,? , ? ? ? ?ggxxGgHx ?? ??????? ,使 和 于是 ? ? ? ? ? ? ? ?111 ??? ?? gx ggxggxg ???? ，因為 HgxgGH ?? ?1? ? ? ? ? ? ?HgxgHgx g ??? ???? ?? 11 即 ? ? GH ?? . 注意 4. 在 (1)的證明中 ,沒有用到 ? 是滿射的條件 ,但在 (2)中用到了 . (3) ? ?Hyx 1, ??? ? ,那么 ? ? ? ? ., HyyHxx ???? ?? 于是 ? ? ? ? ? ? Hyxyxxy ??? ??? ? ? ? ?HxyGH 1???? ?? 另外 , ? ? ? ? Hxxx ??? ??? 111 ?? ? ?GH?? ? ?Hx 11 ?? ?? ? 由上知 ? ? GH ??1? ，且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?HHHeaa 11 k e rk e r ?? ???????? ????? （ 4） ,GH?? 由 （ 3） ? ? GH ?? ?1? ? ?Hx 1??? ? ， Gg?? . 則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111 ??? ?? gxggxgg x g ????? Hgxg ?? ?1 ,? ? ? ?Hg xgGH 11 ?? ?? ??? , ? ? GH ?1?? . 注意 5. (3)和 (4)的證明都沒有用到 ? 是滿射的條件 . 思考 1 設(shè) GG?:? 是群同態(tài) ,且 ? ?.ker ??N ,則 (1)設(shè) .Ga? , 那么 ? ?? ? ,1 aa ?? ?? 對嗎 ? (2)設(shè) Ga? , 那么 ? ?? ? aa ??1?? 對嗎 ? (3)設(shè) GH? , 那么 ? ?? ? HH ?? ?? 1 對嗎 ? (4)設(shè) GH? ,那么 ? ?? ? HH ??1?? 對嗎 ? 答 : (2)和 (4)是正確的 ,而 (1)和 (3)是不正確的 . 為了更地解答 (1)和 (3),我們有下列結(jié)論 : 結(jié)論 4 設(shè) GG~? , 則 ? ??ker?
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