代數(shù)結(jié)構(gòu)同態(tài)的方法及應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-07-23 03:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 在f下確有唯一的象，故f是到的映射。任取，則f(,故f是到的滿射。易見f是到的同態(tài)映射。例3 證明：（1）無限循環(huán)群與任何循環(huán)群同態(tài)；（2）兩個(gè)有限循環(huán)群與同態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)︱︱︱︱︱。證明：（1）設(shè)=＜＞為無限循環(huán)群，=＜＞為任一循環(huán)群，則︱︱=∞，故=，當(dāng)且僅當(dāng)。定義： f： 其中，均為整數(shù)。則當(dāng)=時(shí)，有f()=f()，即f是到的映射。又由︱︱=∞可知f是滿射且f()f()===f（）即f保持運(yùn)算，故～。（2）設(shè)～，︱︱=m，︱︱=n。則由同態(tài)基本定理知/，其中為到的同態(tài)滿射的核。因此︱/︱=，又︱/︱=（ ：）從而由Lagrange定理知n︱m，即︱︱︱︱︱。反之，若︱︱︱︱︱，n︱m，則m=nt，由于為循環(huán)群，故有t階子群。顯見為交換群，從而其子群為正規(guī)子群。又/為n階循環(huán)群及為n階循環(huán)群,故有f：/又存在到的自然同態(tài)g：～/，令h=fg,則h：～。例4設(shè)f是到的滿同態(tài)，是的一個(gè)不變子群，=f()={ ︱，f()}，則是的一個(gè)不變子群，并且//。解：由同態(tài)基本定理知，g是到/的滿同態(tài)，g是自然同態(tài)， 又f是到的滿同態(tài)，故gf=h是到/的滿同態(tài)， Kerh={︱，h()}。如果能證明Kerh= f()，則由同態(tài)基本定理，問題獲證。下面我們來證明這個(gè)事實(shí)。對于中的任意元素，h()=（gf）()=g（f()）= f()。設(shè) f()，則f()f()=h()=。即 Kerh，亦即f()Kerh。反之，設(shè) Kerh，則h()=f()=f() f()，即f()Kerh，從而Kerh= f()，即=Kerh是的不變子群，且h是/到/的滿同態(tài).例5 設(shè)f是到的滿同態(tài)，分別是，的不變子群，且f()，g是到/的滿同態(tài)，h是到/的滿同態(tài)，則存在/到/的滿同態(tài)j，使得hf=jg,換言之，由到/的同態(tài)映射可以經(jīng)過不同的途徑。（吳99 11）證明：命j： f()，則j為/到/的映射，并且j是/到/的滿同態(tài)。對任意，我們由(hf)()=h(f())=f(),(jg)()=j(g())=j()=f()(hf)()= (jg)(), hf= jg當(dāng)f()=時(shí)，是否有j是/到/的同構(gòu)映射？設(shè)f是到的滿同態(tài)，我們研究的子群與的子群之間的關(guān)系。我們已經(jīng)知道，若是的子群，則f()是的子群。，是的不同子群，是否有f()與f()是的不同子群？這個(gè)命題一般不成立。例如，f:是=（，+）到=()(的周期為6)的滿同態(tài)。=（，+）有無限多個(gè)子群，因任取整數(shù)，就有一個(gè)以為生成元的子群，=()，并且，若，則子群=(),即有無限多個(gè)子群，而=(),的周期為6, 只有四個(gè)子群{},{,},{,},.但～，從而存在的不同子群，使f()=f()。事實(shí)上，取=(4), =(10), 這是的兩個(gè)不同的子群，而f()={,}，f()={,}。我們注意到Kerf=K=(6),而的含有的子群恰好有四個(gè)，即(2),(3),(6),。對于的兩個(gè)含有的子群,來說，當(dāng)時(shí)，有f()f()。這個(gè)事實(shí)一般也成立。例6 設(shè)G為群，f()=為G上單同態(tài)，其中n≥2且為自然數(shù)，則g()=。為G上同態(tài)映射。進(jìn)一步地，若g()=為G上單映射或滿映射時(shí)，則G為交換群。證明：G，由于f()=為G上同態(tài)映射，故有。即， 而f()=為群G上單映射，因此有= (1)即=，這就是說G中任一元素的n—1次冪都可與另外元素交換。又由于f()=為G上同態(tài)映射，故有()=，從而有()== (2)即g()=g()g()。因此，(2)及，的任意性知g()=為G上同態(tài)映射。當(dāng)g()=為G上單同態(tài)映射時(shí)，由(1)我們易得==()又由于g()=為G上單映射，故=，從而=，因此G是交換群。 當(dāng)g()=為G上滿同態(tài)映射時(shí)，∈G，∈G，使=，而G中任一元素的n—1次冪都可與另外元素交換，故。因此G是交換群。結(jié)論綜上所述，只有在準(zhǔn)確理解群的概念、子群的概念、和不變子群的概念以及子群的判別方法和不變子群的判別方法基礎(chǔ)上，我們才能更好的研究群同態(tài)概念以及群同態(tài)的基本定理，并且運(yùn)用群同態(tài)基本定理解決代數(shù)問題。這對于工程技術(shù)人員、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，有著重要的學(xué)習(xí)意義和應(yīng)用價(jià)值。致謝在此，我衷心地感謝教育培養(yǎng)過我的老師以給我?guī)椭耐瑢W(xué)，他們循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。在這期間，我的指導(dǎo)老師喬老師始終給我耐心的指導(dǎo)，我還要感謝我的畢業(yè)設(shè)計(jì)指導(dǎo)老師喬占科老師，是他在我做整個(gè)畢業(yè)設(shè)計(jì)的過程中給了我很大的指導(dǎo)和幫助，我才能按時(shí)地完成此次畢業(yè)設(shè)計(jì)。經(jīng)過這次畢業(yè)設(shè)計(jì)也使我學(xué)到了很多在課本上學(xué)不到的寶貴的東西。同時(shí)，我還要感謝幫助過我的那些同學(xué)，是他們寶貴的建議使我能順利地完成論文的設(shè)計(jì)。最后，我也衷心地感謝各位評審本論文的專業(yè)老師們，感謝你們能夠抽出寶貴的時(shí)間審閱本論文。參考文獻(xiàn)[1] :高等教育出版社,1979.[2] 楊子胥. ：高等教育出版社，1999.[3] ：復(fù)旦大學(xué)出版社,1997.[4] ：北京：高等教育出版社，2000.[5] Jacobson N. Basic algebra(Ⅱ). and Company,1980.附錄 X 譯文一個(gè)重要的問題是決定是否給定的兩個(gè)群體 和 ，并以某種方式相同。例如，我們有調(diào)查，對所有置換的X ={1,2,3}的群體。所有的Y ={}的排列組是一組不同的排列組合，因?yàn)閧1,2,3}是比排列不同的{}。但是，即使和不同，他們肯定承受彼此非常相似（）。觀念的同態(tài)
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