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正文內(nèi)容

代數(shù)結(jié)構(gòu)同態(tài)的方法及應(yīng)用(編輯修改稿)

2024-07-23 03:30 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 在f下確有唯一的象,故f是到的映射。任取,則f(,故f是到的滿射。易見f是到的同態(tài)映射。例3 證明:(1)無限循環(huán)群與任何循環(huán)群同態(tài);(2)兩個(gè)有限循環(huán)群與同態(tài),當(dāng)且僅當(dāng)︱︱︱︱︱。證明:(1)設(shè)=<>為無限循環(huán)群,=<>為任一循環(huán)群,則︱︱=∞,故=,當(dāng)且僅當(dāng)。定義: f: 其中,均為整數(shù)。則當(dāng)=時(shí),有f()=f(),即f是到的映射。又由︱︱=∞可知f是滿射且f()f()===f()即f保持運(yùn)算,故~。(2)設(shè)~,︱︱=m,︱︱=n。則由同態(tài)基本定理知/,其中為到的同態(tài)滿射的核。因此︱/︱=,又︱/︱=( :)從而由Lagrange定理知n︱m,即︱︱︱︱︱。反之,若︱︱︱︱︱,n︱m,則m=nt,由于為循環(huán)群,故有t階子群。顯見為交換群,從而其子群為正規(guī)子群。又/為n階循環(huán)群及為n階循環(huán)群,故有f:/又存在到的自然同態(tài)g:~/,令h=fg,則h:~。例4設(shè)f是到的滿同態(tài),是的一個(gè)不變子群,=f()={ ︱,f()},則是的一個(gè)不變子群,并且//。解:由同態(tài)基本定理知,g是到/的滿同態(tài),g是自然同態(tài), 又f是到的滿同態(tài),故gf=h是到/的滿同態(tài), Kerh={︱,h()}。如果能證明Kerh= f(),則由同態(tài)基本定理,問題獲證。下面我們來證明這個(gè)事實(shí)。對(duì)于中的任意元素,h()=(gf)()=g(f())= f()。設(shè) f(),則f()f()=h()=。即 Kerh,亦即f()Kerh。反之,設(shè) Kerh,則h()=f()=f() f(),即f()Kerh,從而Kerh= f(),即=Kerh是的不變子群,且h是/到/的滿同態(tài).例5 設(shè)f是到的滿同態(tài),分別是,的不變子群,且f(),g是到/的滿同態(tài),h是到/的滿同態(tài),則存在/到/的滿同態(tài)j,使得hf=jg,換言之,由到/的同態(tài)映射可以經(jīng)過不同的途徑。(吳99 11)證明:命j: f(),則j為/到/的映射,并且j是/到/的滿同態(tài)。對(duì)任意,我們由(hf)()=h(f())=f(),(jg)()=j(g())=j()=f()(hf)()= (jg)(), hf= jg當(dāng)f()=時(shí),是否有j是/到/的同構(gòu)映射?設(shè)f是到的滿同態(tài),我們研究的子群與的子群之間的關(guān)系。我們已經(jīng)知道,若是的子群,則f()是的子群。,是的不同子群,是否有f()與f()是的不同子群?這個(gè)命題一般不成立。例如,f:是=(,+)到=()(的周期為6)的滿同態(tài)。=(,+)有無限多個(gè)子群,因任取整數(shù),就有一個(gè)以為生成元的子群,=(),并且,若,則子群=(),即有無限多個(gè)子群,而=(),的周期為6, 只有四個(gè)子群{},{,},{,},.但~,從而存在的不同子群,使f()=f()。事實(shí)上,取=(4), =(10), 這是的兩個(gè)不同的子群,而f()={,},f()={,}。我們注意到Kerf=K=(6),而的含有的子群恰好有四個(gè),即(2),(3),(6),。對(duì)于的兩個(gè)含有的子群,來說,當(dāng)時(shí),有f()f()。這個(gè)事實(shí)一般也成立。例6 設(shè)G為群,f()=為G上單同態(tài),其中n≥2且為自然數(shù),則g()=。為G上同態(tài)映射。進(jìn)一步地,若g()=為G上單映射或滿映射時(shí),則G為交換群。證明:G,由于f()=為G上同態(tài)映射,故有。即, 而f()=為群G上單映射,因此有= (1)即=,這就是說G中任一元素的n—1次冪都可與另外元素交換。又由于f()=為G上同態(tài)映射,故有()=,從而有()== (2)即g()=g()g()。因此,(2)及,的任意性知g()=為G上同態(tài)映射。當(dāng)g()=為G上單同態(tài)映射時(shí),由(1)我們易得==()又由于g()=為G上單映射,故=,從而=,因此G是交換群。 當(dāng)g()=為G上滿同態(tài)映射時(shí),∈G,∈G,使=,而G中任一元素的n—1次冪都可與另外元素交換,故。因此G是交換群。結(jié)論綜上所述,只有在準(zhǔn)確理解群的概念、子群的概念、和不變子群的概念以及子群的判別方法和不變子群的判別方法基礎(chǔ)上,我們才能更好的研究群同態(tài)概念以及群同態(tài)的基本定理,并且運(yùn)用群同態(tài)基本定理解決代數(shù)問題。這對(duì)于工程技術(shù)人員、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),有著重要的學(xué)習(xí)意義和應(yīng)用價(jià)值。致謝在此,我衷心地感謝教育培養(yǎng)過我的老師以給我?guī)椭耐瑢W(xué),他們循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。在這期間,我的指導(dǎo)老師喬老師始終給我耐心的指導(dǎo),我還要感謝我的畢業(yè)設(shè)計(jì)指導(dǎo)老師喬占科老師,是他在我做整個(gè)畢業(yè)設(shè)計(jì)的過程中給了我很大的指導(dǎo)和幫助,我才能按時(shí)地完成此次畢業(yè)設(shè)計(jì)。經(jīng)過這次畢業(yè)設(shè)計(jì)也使我學(xué)到了很多在課本上學(xué)不到的寶貴的東西。同時(shí),我還要感謝幫助過我的那些同學(xué),是他們寶貴的建議使我能順利地完成論文的設(shè)計(jì)。最后,我也衷心地感謝各位評(píng)審本論文的專業(yè)老師們,感謝你們能夠抽出寶貴的時(shí)間審閱本論文。參考文獻(xiàn)[1] :高等教育出版社,1979.[2] 楊子胥. :高等教育出版社,1999.[3] :復(fù)旦大學(xué)出版社,1997.[4] :北京:高等教育出版社,2000.[5] Jacobson N. Basic algebra(Ⅱ). and Company,1980.附錄 X 譯文一個(gè)重要的問題是決定是否給定的兩個(gè)群體 和 ,并以某種方式相同。例如,我們有調(diào)查,對(duì)所有置換的X ={1,2,3}的群體。所有的Y ={}的排列組是一組不同的排列組合,因?yàn)閧1,2,3}是比排列不同的{}。但是,即使和不同,他們肯定承受彼此非常相似()。觀念的同態(tài)
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