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正文內(nèi)容

基于matlab的gps水準(zhǔn)擬合方法及應(yīng)用(編輯修改稿)

2025-02-14 16:16 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 高擬合精度。依上述分析m的值主要是和測(cè)區(qū)長度以及測(cè)區(qū)的復(fù)雜程度有關(guān)。一種情況為控制點(diǎn)為n+l個(gè),若所取的項(xiàng)數(shù)也為n+l項(xiàng)時(shí),其方程組的矩陣可以寫成以下式子: (34)是多項(xiàng)式的系數(shù),若要求解待定點(diǎn)的高程異常值,先要確定多項(xiàng)式的系數(shù),根據(jù)上式,用高斯消元法能求定出各項(xiàng)系數(shù)。那么多項(xiàng)式可以明確的確定出來,把待定點(diǎn)代入到(31)中求解出該點(diǎn)的高程異常值,從而求出該點(diǎn)正常高。一種情況是控制點(diǎn)為個(gè),可是所取的項(xiàng)數(shù)項(xiàng)時(shí),這種情況就比前一種情況復(fù)雜,因?yàn)檫@種情況中已知數(shù)大于未知個(gè)數(shù)。這時(shí)利用最小二乘法求解系數(shù)。公式如下: (35)在限定離差的和為最小值的原則下,解得(31)式中的待定系數(shù)。具體過程是:求出離差的平方和: (36)再分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),并令其等于0,得到: (37)即即m次多項(xiàng)式系數(shù)應(yīng)該滿足以下方程組: (38)上式方程是一個(gè)系數(shù)矩陣為正定對(duì)稱矩陣。只有一組解,也就是說上式方程解出是唯一的。把解代入到式(31),就得到了解算高程異常值的方程組。之后就可以求解待定點(diǎn)的高程異常值。在選取多項(xiàng)式擬合似大地水準(zhǔn)面時(shí),對(duì)于m的選取并不是值越大效果越好,存在關(guān)于常數(shù)值的問題。當(dāng)m取值大時(shí),常數(shù)值會(huì)發(fā)生不穩(wěn)定的現(xiàn)象。這對(duì)于擬合是不利的。所以,在選取m值時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況,適當(dāng)取值。當(dāng)GPS點(diǎn)布設(shè)成一定區(qū)域面時(shí),此時(shí),如果采用線性擬合,就不能夠詳盡的考慮待定點(diǎn)的周圍局部地貌實(shí)際情況和己知點(diǎn)的分布,由于坐標(biāo)中的x、y兩個(gè)數(shù)據(jù)沒有充分考慮,所以擬合結(jié)果可能不可靠。此時(shí),可以用數(shù)學(xué)曲面擬合法求定待定點(diǎn)的正常高。其原理是:根據(jù)測(cè)區(qū)中已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程異常值,用數(shù)值法擬合,擬合出測(cè)區(qū)似大地水準(zhǔn)面,再內(nèi)插出待求點(diǎn)的高程異常,從而求出待求點(diǎn)的正常高。多項(xiàng)式曲面擬合法是近年來使用的主要擬合方法。設(shè)點(diǎn)的與平面坐標(biāo)(),有以下關(guān)系: (39)或 (310)其中為中的趨勢(shì)值,為誤差 設(shè) (311)當(dāng)控制點(diǎn)有n個(gè),所取的項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)時(shí),則可以寫成如下方程組矩陣: (312)其中: 對(duì)于每一個(gè)已知點(diǎn),均可以列出以上方程,在條件下,可求解系數(shù)陣: (313)再由已知高程異常的權(quán)陣情況下,式(313)可改寫成: (314)系數(shù)求出后,再按(312)求出待定點(diǎn)的高程異常。多面函數(shù)擬合法本質(zhì)是數(shù)學(xué)曲面逼近的方法。其基本思想:用數(shù)學(xué)表面逼近所測(cè)區(qū)域的大地水準(zhǔn)面,通常認(rèn)為任何表面,無論這個(gè)表面是否是有規(guī)則的,都能通過一定的方法構(gòu)造出來一個(gè)有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面逼近其表面。通過構(gòu)造數(shù)學(xué)表面,用數(shù)學(xué)表達(dá)式高精度的逼近并且代替其真實(shí)表面。也就是說每個(gè)插值點(diǎn)都可以和已知點(diǎn)建立起來相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,然后將這些函數(shù)關(guān)系式迭加在一起,那么稱這個(gè)迭加函數(shù)為多面函數(shù),由于這是每個(gè)插值點(diǎn)與已知數(shù)據(jù)建立的函數(shù)關(guān)系,因此多面函數(shù)具有計(jì)算最佳擬合值的特點(diǎn),正因如此,多面函數(shù)曲面擬合法就能夠更準(zhǔn)確的擬合出未知點(diǎn)的高程擬合值。多面函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為: (315)多面函數(shù)式中包含了待定系數(shù),核函數(shù),其中核函數(shù)是關(guān)于的函數(shù),核函數(shù)的中心在處。理論上講核函數(shù)是可以任意構(gòu)造的,在實(shí)際應(yīng)用中,通常用以下幾種函數(shù)來充當(dāng)核函數(shù)。錐面 (316)雙曲面 (317)倒曲面 (318)三次曲面 (319)在上述各式中,表示內(nèi)插點(diǎn)坐標(biāo),表示的是已知點(diǎn)的坐標(biāo),那么核函數(shù)中的表示的是內(nèi)插點(diǎn)到已知點(diǎn)的水平距離,式中的參數(shù)為光滑系數(shù)。其具體的解算過程為:以核函數(shù)為雙曲面為例,說明多項(xiàng)式曲面擬合法具體求解過程,設(shè)測(cè)區(qū)內(nèi)的己知點(diǎn)個(gè)數(shù)為n個(gè),求解(315)中的系數(shù)(),其矩陣形式為(320)所示: (320)其中 由方程組可解得系數(shù)()的唯一解: (321)求解未知點(diǎn)的高程異常值,根據(jù)公式(320)和(321)即可得到求解公式: (322) 根據(jù)以上求解過程可知,(322)式中的己知點(diǎn)的高程異常值直接關(guān)系到未知點(diǎn)的高程異常值的計(jì)算結(jié)果,因此,若果想要更好的結(jié)算出未知點(diǎn)的高程異常值,必須認(rèn)真選取己知點(diǎn),并且使所選的已知點(diǎn)的高程異常值相差比較大,因?yàn)檫@些點(diǎn)能最好的描述地形變化特征,即高程異常值的分布特征。這些特征點(diǎn)的選擇一般在地勢(shì)高和地勢(shì)較低的地方。選擇多面函數(shù)求解測(cè)區(qū)內(nèi)的點(diǎn)的高程異常值的時(shí)候,需要注意的是以及核函數(shù)的選取的問題,由于其取值是自主取值,為了能達(dá)到擬合最佳效果,就要逐步的試驗(yàn)進(jìn)而改進(jìn),然后選定一個(gè)最佳取值。多項(xiàng)式曲線擬合使用起來非常方便,但是它有自身的局限性,即使使用這種方法的時(shí)候,所測(cè)路線不能太長,要限制控制點(diǎn)到測(cè)點(diǎn)的距離不能太遠(yuǎn),通常把距離控制在300米以內(nèi)。這個(gè)要求是因?yàn)槭褂枚囗?xiàng)式曲線方法擬合似大地水準(zhǔn)面,如果它擬合的范圍太大,點(diǎn)位的高程異常變化就越復(fù)雜,削高補(bǔ)低的方法不能滿足我們所要求的精度。若多項(xiàng)式階數(shù)的增大,也會(huì)使擬合出的曲線振蕩的更厲害,從而造成擬合的誤差增大。這些造成了上述多項(xiàng)式曲線擬合的缺陷,但是在路線較短的情況下,這種方法有足夠的精度來擬合GPS點(diǎn)的正常高程。 多項(xiàng)式曲面擬合適用于在地勢(shì)較為平坦的地區(qū),當(dāng)己知高程異常的點(diǎn),密度適當(dāng),分布比較均勻時(shí),該法計(jì)算高程異常的精度,可達(dá)厘米級(jí)。在山區(qū),大地水準(zhǔn)面的起伏較大,按上述方法建立的模型,其模型誤差往往比較大,誤差以及算得高程異常的精度,將難以達(dá)到代替三、四等水準(zhǔn)測(cè)量的要求。 當(dāng)GPS點(diǎn)布設(shè)成一定區(qū)域面時(shí),可以用數(shù)學(xué)曲面擬合法求定待定點(diǎn)的正常高。其原理是:根據(jù)測(cè)區(qū)中已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)高程異常值,用數(shù)值法擬合,擬合出測(cè)區(qū)似大地水準(zhǔn)面,再內(nèi)插出待求點(diǎn)的高程異常,從而求出待求點(diǎn)的正常高。13南京工業(yè)大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第四章 案例分析在實(shí)際的工程中,由于區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化并沒有普及,因此幾何的高程擬合方法仍然有比較廣泛的應(yīng)用,但這種方法一般適用于高程異常變化比較平緩的地區(qū)(如平原地區(qū)),其擬合的準(zhǔn)確度可達(dá)到一個(gè)分米以內(nèi)。對(duì)于高程變化劇烈的地區(qū)(如山區(qū)),這種方法準(zhǔn)確度有限,主要是因?yàn)樵谶@些地區(qū),高程異常的已知點(diǎn)很難將高程異常的特征表現(xiàn)出來。所謂已知點(diǎn)的高程異常值,一般是通過水準(zhǔn)測(cè)定正常高、通過GPS測(cè)定大地高獲得的。在實(shí)際工作中,通常采用在水準(zhǔn)點(diǎn)上布設(shè)GPS點(diǎn)或GPS 點(diǎn)進(jìn)行水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)的方法來實(shí)現(xiàn),為了獲得好的擬合結(jié)果要求采用盡量多的已知點(diǎn),它們應(yīng)均勻分布,并且最好能夠?qū)⒄麄€(gè)GPS網(wǎng)包圍起來。由于基于所建立的模型的內(nèi)插的精度要優(yōu)于外推精度,因此要盡量避免外推,亦即區(qū)域的邊界范圍應(yīng)盡量有控制點(diǎn)分布。 高程異常已知點(diǎn)的數(shù)量若要用零次多項(xiàng)式進(jìn)行高程擬合,需要一個(gè)以上的已知點(diǎn)來確定一個(gè)參數(shù),若要用一次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合,需要三個(gè)以上的已知點(diǎn)來確定三個(gè)參數(shù),以此類推,盡量已知點(diǎn)的數(shù)量多些、分布均勻些效果最好。 GPS擬合精度分析(1) 內(nèi)符合精度根據(jù)參與擬合點(diǎn)的高程異常值和擬合后得到的高程異常值,用求的殘差,按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)的內(nèi)符合精度 式中為參與計(jì)算的己知點(diǎn)數(shù)。(2) 外符合精度根據(jù)參與檢核點(diǎn)的高程異常值和計(jì)算后得到的高程異常值,用求的殘差按下式計(jì)算 GPS 水準(zhǔn)的內(nèi)符合精度 式中為參與計(jì)算的己知點(diǎn)數(shù)。 MATLAB是美國MATHWORK公司自20 世紀(jì)80 年代中期推出的數(shù)學(xué)軟件,優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其發(fā)展成為多學(xué)科、多種工作平臺(tái)的功能強(qiáng)大的大型軟件。目前MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)、自動(dòng)控制理論、概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號(hào)處理、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等大學(xué)課程的基本教學(xué)輔助工具。應(yīng)用于GPS水準(zhǔn)高程擬合MATLAB有如下優(yōu)勢(shì):(1) 適合矩陣計(jì)算的高效的數(shù)值計(jì)算算法。(2) 可以自定義函數(shù)。(3) 具有強(qiáng)大的繪圖能力。(4) 事先定義好的,具有可以解決多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域問題的工具箱( Toolboxes模塊) ?;谏鲜鲈?,又由于測(cè)繪平差的矩陣特點(diǎn),采用MATLAB處理測(cè)繪數(shù)據(jù)具有廣闊的前景。正是基于這個(gè)背景,本文給出了采用MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)GPS大地水準(zhǔn)面精化時(shí)常用的幾種大地水準(zhǔn)面擬合方法,并利用實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)這些方法的適用性進(jìn)行了驗(yàn)證,得出了有用的結(jié)論與建議。在MATLAB中實(shí)現(xiàn)GPS高程擬合的具體流程圖見圖41坐標(biāo)數(shù)據(jù)預(yù)處理(把數(shù)據(jù)表示成矩陣形式,數(shù)據(jù)中心化)代入數(shù)值求各模型的擬合高程異常值ζ采用最小二乘法求解各擬合模型的系數(shù)比較已測(cè)點(diǎn)高程異常值,并求殘差求未測(cè)點(diǎn)高程異常值,并作檢核內(nèi)精度評(píng)估外精度評(píng)估比較選擇最優(yōu)模型,輸出結(jié)果。圖61在MATLAB中實(shí)現(xiàn)
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