【文章內(nèi)容簡介】 高擬合精度。依上述分析m的值主要是和測區(qū)長度以及測區(qū)的復(fù)雜程度有關(guān)。一種情況為控制點(diǎn)為n+l個(gè)，若所取的項(xiàng)數(shù)也為n+l項(xiàng)時(shí)，其方程組的矩陣可以寫成以下式子: （34）是多項(xiàng)式的系數(shù)，若要求解待定點(diǎn)的高程異常值，先要確定多項(xiàng)式的系數(shù)，根據(jù)上式，用高斯消元法能求定出各項(xiàng)系數(shù)。那么多項(xiàng)式可以明確的確定出來，把待定點(diǎn)代入到(31)中求解出該點(diǎn)的高程異常值，從而求出該點(diǎn)正常高。一種情況是控制點(diǎn)為個(gè)，可是所取的項(xiàng)數(shù)項(xiàng)時(shí)，這種情況就比前一種情況復(fù)雜，因?yàn)檫@種情況中已知數(shù)大于未知個(gè)數(shù)。這時(shí)利用最小二乘法求解系數(shù)。公式如下: （35）在限定離差的和為最小值的原則下，解得(31)式中的待定系數(shù)。具體過程是：求出離差的平方和： (36)再分別對求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得到： (37)即即m次多項(xiàng)式系數(shù)應(yīng)該滿足以下方程組： (38)上式方程是一個(gè)系數(shù)矩陣為正定對稱矩陣。只有一組解，也就是說上式方程解出是唯一的。把解代入到式(31)，就得到了解算高程異常值的方程組。之后就可以求解待定點(diǎn)的高程異常值。在選取多項(xiàng)式擬合似大地水準(zhǔn)面時(shí)，對于m的選取并不是值越大效果越好，存在關(guān)于常數(shù)值的問題。當(dāng)m取值大時(shí)，常數(shù)值會(huì)發(fā)生不穩(wěn)定的現(xiàn)象。這對于擬合是不利的。所以，在選取m值時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況，適當(dāng)取值。當(dāng)GPS點(diǎn)布設(shè)成一定區(qū)域面時(shí)，此時(shí)，如果采用線性擬合，就不能夠詳盡的考慮待定點(diǎn)的周圍局部地貌實(shí)際情況和己知點(diǎn)的分布，由于坐標(biāo)中的x、y兩個(gè)數(shù)據(jù)沒有充分考慮，所以擬合結(jié)果可能不可靠。此時(shí)，可以用數(shù)學(xué)曲面擬合法求定待定點(diǎn)的正常高。其原理是:根據(jù)測區(qū)中已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程異常值，用數(shù)值法擬合，擬合出測區(qū)似大地水準(zhǔn)面，再內(nèi)插出待求點(diǎn)的高程異常，從而求出待求點(diǎn)的正常高。多項(xiàng)式曲面擬合法是近年來使用的主要擬合方法。設(shè)點(diǎn)的與平面坐標(biāo)()，有以下關(guān)系： (39)或 (310)其中為中的趨勢值，為誤差 設(shè) (311)當(dāng)控制點(diǎn)有n個(gè)，所取的項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)時(shí)，則可以寫成如下方程組矩陣： (312)其中： 對于每一個(gè)已知點(diǎn)，均可以列出以上方程，在條件下，可求解系數(shù)陣： (313)再由已知高程異常的權(quán)陣情況下，式(313)可改寫成： (314)系數(shù)求出后，再按(312)求出待定點(diǎn)的高程異常。多面函數(shù)擬合法本質(zhì)是數(shù)學(xué)曲面逼近的方法。其基本思想：用數(shù)學(xué)表面逼近所測區(qū)域的大地水準(zhǔn)面，通常認(rèn)為任何表面，無論這個(gè)表面是否是有規(guī)則的，都能通過一定的方法構(gòu)造出來一個(gè)有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面逼近其表面。通過構(gòu)造數(shù)學(xué)表面，用數(shù)學(xué)表達(dá)式高精度的逼近并且代替其真實(shí)表面。也就是說每個(gè)插值點(diǎn)都可以和已知點(diǎn)建立起來相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后將這些函數(shù)關(guān)系式迭加在一起，那么稱這個(gè)迭加函數(shù)為多面函數(shù)，由于這是每個(gè)插值點(diǎn)與已知數(shù)據(jù)建立的函數(shù)關(guān)系，因此多面函數(shù)具有計(jì)算最佳擬合值的特點(diǎn)，正因如此，多面函數(shù)曲面擬合法就能夠更準(zhǔn)確的擬合出未知點(diǎn)的高程擬合值。多面函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為: (315)多面函數(shù)式中包含了待定系數(shù),核函數(shù),其中核函數(shù)是關(guān)于的函數(shù)，核函數(shù)的中心在處。理論上講核函數(shù)是可以任意構(gòu)造的，在實(shí)際應(yīng)用中，通常用以下幾種函數(shù)來充當(dāng)核函數(shù)。錐面 (316)雙曲面 (317)倒曲面 (318)三次曲面 (319)在上述各式中，表示內(nèi)插點(diǎn)坐標(biāo)，表示的是已知點(diǎn)的坐標(biāo),那么核函數(shù)中的表示的是內(nèi)插點(diǎn)到已知點(diǎn)的水平距離，式中的參數(shù)為光滑系數(shù)。其具體的解算過程為：以核函數(shù)為雙曲面為例，說明多項(xiàng)式曲面擬合法具體求解過程，設(shè)測區(qū)內(nèi)的己知點(diǎn)個(gè)數(shù)為n個(gè)，求解(315)中的系數(shù)()，其矩陣形式為(320)所示: (320)其中 由方程組可解得系數(shù)（)的唯一解： (321)求解未知點(diǎn)的高程異常值，根據(jù)公式（320）和（321）即可得到求解公式： (322) 根據(jù)以上求解過程可知，(322)式中的己知點(diǎn)的高程異常值直接關(guān)系到未知點(diǎn)的高程異常值的計(jì)算結(jié)果，因此，若果想要更好的結(jié)算出未知點(diǎn)的高程異常值，必須認(rèn)真選取己知點(diǎn)，并且使所選的已知點(diǎn)的高程異常值相差比較大，因?yàn)檫@些點(diǎn)能最好的描述地形變化特征，即高程異常值的分布特征。這些特征點(diǎn)的選擇一般在地勢高和地勢較低的地方。選擇多面函數(shù)求解測區(qū)內(nèi)的點(diǎn)的高程異常值的時(shí)候，需要注意的是以及核函數(shù)的選取的問題，由于其取值是自主取值，為了能達(dá)到擬合最佳效果，就要逐步的試驗(yàn)進(jìn)而改進(jìn)，然后選定一個(gè)最佳取值。多項(xiàng)式曲線擬合使用起來非常方便，但是它有自身的局限性，即使使用這種方法的時(shí)候，所測路線不能太長，要限制控制點(diǎn)到測點(diǎn)的距離不能太遠(yuǎn)，通常把距離控制在300米以內(nèi)。這個(gè)要求是因?yàn)槭褂枚囗?xiàng)式曲線方法擬合似大地水準(zhǔn)面，如果它擬合的范圍太大，點(diǎn)位的高程異常變化就越復(fù)雜，削高補(bǔ)低的方法不能滿足我們所要求的精度。若多項(xiàng)式階數(shù)的增大，也會(huì)使擬合出的曲線振蕩的更厲害，從而造成擬合的誤差增大。這些造成了上述多項(xiàng)式曲線擬合的缺陷，但是在路線較短的情況下，這種方法有足夠的精度來擬合GPS點(diǎn)的正常高程。 多項(xiàng)式曲面擬合適用于在地勢較為平坦的地區(qū)，當(dāng)己知高程異常的點(diǎn)，密度適當(dāng)，分布比較均勻時(shí)，該法計(jì)算高程異常的精度，可達(dá)厘米級。在山區(qū)，大地水準(zhǔn)面的起伏較大，按上述方法建立的模型，其模型誤差往往比較大，誤差以及算得高程異常的精度，將難以達(dá)到代替三、四等水準(zhǔn)測量的要求。 當(dāng)GPS點(diǎn)布設(shè)成一定區(qū)域面時(shí)，可以用數(shù)學(xué)曲面擬合法求定待定點(diǎn)的正常高。其原理是:根據(jù)測區(qū)中已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)高程異常值，用數(shù)值法擬合，擬合出測區(qū)似大地水準(zhǔn)面，再內(nèi)插出待求點(diǎn)的高程異常，從而求出待求點(diǎn)的正常高。13南京工業(yè)大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第四章 案例分析在實(shí)際的工程中，由于區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化并沒有普及，因此幾何的高程擬合方法仍然有比較廣泛的應(yīng)用，但這種方法一般適用于高程異常變化比較平緩的地區(qū)(如平原地區(qū))，其擬合的準(zhǔn)確度可達(dá)到一個(gè)分米以內(nèi)。對于高程變化劇烈的地區(qū)(如山區(qū))，這種方法準(zhǔn)確度有限，主要是因?yàn)樵谶@些地區(qū)，高程異常的已知點(diǎn)很難將高程異常的特征表現(xiàn)出來。所謂已知點(diǎn)的高程異常值，一般是通過水準(zhǔn)測定正常高、通過GPS測定大地高獲得的。在實(shí)際工作中，通常采用在水準(zhǔn)點(diǎn)上布設(shè)GPS點(diǎn)或GPS 點(diǎn)進(jìn)行水準(zhǔn)聯(lián)測的方法來實(shí)現(xiàn)，為了獲得好的擬合結(jié)果要求采用盡量多的已知點(diǎn)，它們應(yīng)均勻分布，并且最好能夠?qū)⒄麄€(gè)GPS網(wǎng)包圍起來。由于基于所建立的模型的內(nèi)插的精度要優(yōu)于外推精度，因此要盡量避免外推，亦即區(qū)域的邊界范圍應(yīng)盡量有控制點(diǎn)分布。 高程異常已知點(diǎn)的數(shù)量若要用零次多項(xiàng)式進(jìn)行高程擬合，需要一個(gè)以上的已知點(diǎn)來確定一個(gè)參數(shù)，若要用一次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，需要三個(gè)以上的已知點(diǎn)來確定三個(gè)參數(shù)，以此類推，盡量已知點(diǎn)的數(shù)量多些、分布均勻些效果最好。 GPS擬合精度分析(1) 內(nèi)符合精度根據(jù)參與擬合點(diǎn)的高程異常值和擬合后得到的高程異常值，用求的殘差，按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)的內(nèi)符合精度 式中為參與計(jì)算的己知點(diǎn)數(shù)。(2) 外符合精度根據(jù)參與檢核點(diǎn)的高程異常值和計(jì)算后得到的高程異常值，用求的殘差按下式計(jì)算 GPS 水準(zhǔn)的內(nèi)符合精度 式中為參與計(jì)算的己知點(diǎn)數(shù)。 MATLAB是美國MATHWORK公司自20 世紀(jì)80 年代中期推出的數(shù)學(xué)軟件，優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其發(fā)展成為多學(xué)科、多種工作平臺的功能強(qiáng)大的大型軟件。目前MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)、自動(dòng)控制理論、概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號處理、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等大學(xué)課程的基本教學(xué)輔助工具。應(yīng)用于GPS水準(zhǔn)高程擬合MATLAB有如下優(yōu)勢:(1) 適合矩陣計(jì)算的高效的數(shù)值計(jì)算算法。(2) 可以自定義函數(shù)。(3) 具有強(qiáng)大的繪圖能力。(4) 事先定義好的，具有可以解決多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域問題的工具箱( Toolboxes模塊) ?；谏鲜鲈颍钟捎跍y繪平差的矩陣特點(diǎn)，采用MATLAB處理測繪數(shù)據(jù)具有廣闊的前景。正是基于這個(gè)背景，本文給出了采用MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)GPS大地水準(zhǔn)面精化時(shí)常用的幾種大地水準(zhǔn)面擬合方法，并利用實(shí)際數(shù)據(jù)對這些方法的適用性進(jìn)行了驗(yàn)證，得出了有用的結(jié)論與建議。在MATLAB中實(shí)現(xiàn)GPS高程擬合的具體流程圖見圖41坐標(biāo)數(shù)據(jù)預(yù)處理(把數(shù)據(jù)表示成矩陣形式，數(shù)據(jù)中心化)代入數(shù)值求各模型的擬合高程異常值ζ采用最小二乘法求解各擬合模型的系數(shù)比較已測點(diǎn)高程異常值，并求殘差求未測點(diǎn)高程異常值，并作檢核內(nèi)精度評估外精度評估比較選擇最優(yōu)模型，輸出結(jié)果。圖61在MATLAB中實(shí)現(xiàn)