代數(shù)結(jié)構(gòu)同態(tài)的方法及應用-文庫吧資料
2025-07-02 03:30本頁面
【正文】 t224。 ). Guānni224。 (ji224。u bǐcǐ fēich225。ng ch233。t243。shǐ h233。nsh236。t243。ili232。i (1,2,3) sh236。 zǔh233。ng de p225。 yī zǔ b249。ili232。n de X =(1,2,3) de q suǒyǒu zh236。och225。r xiāngt243。ntǐ, b236。ng de liǎng g232。ng sh236。 ju233。nt237。ngy224。Yīg232。但是，即使和不同，他們肯定承受彼此非常相似（）。例如，我們有調(diào)查，對所有置換的X ={1,2,3}的群體。最后，我也衷心地感謝各位評審本論文的專業(yè)老師們，感謝你們能夠抽出寶貴的時間審閱本論文。經(jīng)過這次畢業(yè)設計也使我學到了很多在課本上學不到的寶貴的東西。致謝在此，我衷心地感謝教育培養(yǎng)過我的老師以給我?guī)椭耐瑢W，他們循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。結(jié)論綜上所述，只有在準確理解群的概念、子群的概念、和不變子群的概念以及子群的判別方法和不變子群的判別方法基礎上，我們才能更好的研究群同態(tài)概念以及群同態(tài)的基本定理，并且運用群同態(tài)基本定理解決代數(shù)問題。 當g()=為G上滿同態(tài)映射時，∈G，∈G，使=，而G中任一元素的n—1次冪都可與另外元素交換，故。因此，(2)及，的任意性知g()=為G上同態(tài)映射。即， 而f()=為群G上單映射，因此有= (1)即=，這就是說G中任一元素的n—1次冪都可與另外元素交換。進一步地，若g()=為G上單映射或滿映射時，則G為交換群。例6 設G為群，f()=為G上單同態(tài)，其中n≥2且為自然數(shù)，則g()=。對于的兩個含有的子群,來說，當時，有f()f()。事實上，取=(4), =(10), 這是的兩個不同的子群，而f()={,}，f()={,}。例如，f:是=（，+）到=()(的周期為6)的滿同態(tài)。我們已經(jīng)知道，若是的子群，則f()是的子群。（吳99 11）證明：命j： f()，則j為/到/的映射，并且j是/到/的滿同態(tài)。即 Kerh，亦即f()Kerh。對于中的任意元素，h()=（gf）()=g（f()）= f()。如果能證明Kerh= f()，則由同態(tài)基本定理，問題獲證。例4設f是到的滿同態(tài)，是的一個不變子群，=f()={ ︱，f()}，則是的一個不變子群，并且//。顯見為交換群，從而其子群為正規(guī)子群。因此︱/︱=，又︱/︱=（ ：）從而由Lagrange定理知n︱m，即︱︱︱︱︱。（2）設～，︱︱=m，︱︱=n。則當=時，有f()=f()，即f是到的映射。證明：（1）設=＜＞為無限循環(huán)群，=＜＞為任一循環(huán)群，則︱︱=∞，故=，當且僅當。易見f是到的同態(tài)映射。因為︱︱，即對于中的每一個元，不論其表法如何，在f下確有唯一的象，故f是到的映射。即含有子群/Kerf，[:Kerf]=n,但[:1]= [:Kerf] [Kerf ：1]，故m=n[Kerf ：1] n︱m。證明： 設f是到的同態(tài)映射群同態(tài)基本定理可知：/Kerf。若=，{e}=/，即為單位元群；若={e}，=/{e}，即為單群。 同態(tài)同態(tài)基本定理的運用典型例題例1 證明：單群的同態(tài)象是單群或單位元群（即只含有一個元素的群）。故知Ker(f)= ?？磃的核，若，則f()==,即 Ker(f)。定理四：設是一個群，是的子群，是的不變子群，則是的不變子群，且/()同構(gòu)于/。證完。假定是的任意元，是的任意元，而且在f之下，那么，因而由于是不變子群，但在f之下所以。這樣，是的一個子群。那么在這個同態(tài)滿射之下的（1）的一個子群的逆象是的一個子群；（2）的一個不變子群的逆象是的一個不變子群。這樣，是的一個不變子群，證完。（2）既是一個不變子群，由（1）知，我們知道是一個子群。證明：我們用f來表示給定的同態(tài)滿射（1）假定和是的任意兩個元，并且在f之下， （） 那么在f之下但由于是子群，因此由于是在f之下的象。 （3） （4）在g之下，== 這樣 /N 定理二：若和是兩個群，并且和同態(tài)。現(xiàn)在規(guī)定一個法則g: = g() ()我們說，這是一個/N與間同構(gòu)映射。證明： (1) 我們規(guī)定一個法則 ()這顯然是到/N的一個滿射，對于的任意兩個元和b來說，b= () () 所以它是一個同態(tài)映射。從這里我們可以看出不變子群和商群的重要意義。注：定理前一部分告訴我們，一個群和它的每一個商群同態(tài)；定理后面部分告訴我們，抽象的來看，只能和它的商群同態(tài)，所以我們可以說定理后面部分是定理前一部分的反面。 （3） f既是到的滿同態(tài)又是到的單一同態(tài)，則說f是到的同構(gòu)映射，記為。注：（1）若到的同態(tài)映射f是到的滿射，則說f是到的滿同態(tài)，記為～，這是稱為在f（作用）下的同態(tài)象。四、不變子群的判別方法定理一：一個群G的一個子群N是一個不變子群的充分而且必要條件是：aNa=N對于G的任意一個元a都對。、不變子群的判別方法一、子群的概念：一個群G的一個子集H叫做的一個子群，假如H對于G的乘法來說做成一個群。定義二： 一個有單位元的半群（G ）叫做一個群，如果G的每個元皆為正則元。保持運算的映射既然能研究兩個代數(shù)體系之間的一些關系，那么對于復雜一些的代數(shù)體系我們就可以用一些簡單的去研究它們。而同態(tài)映射只要求保持運算，顯然它比同構(gòu)映射更靈活，它能研究兩個不同構(gòu)的群之間的聯(lián)系。同構(gòu)映射是
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