20xx山大自考線性代數(shù)經(jīng)管類綜合試題一附答案-資料下載頁
2025-08-27 13:46本頁面
【導讀】錯選、多選或未選均無分。，則下列說法正確的是。)，則兩向量組等價.線性相關的充分必要條件是。中至少有兩個向量對應分量成比例。中至少有一個向量可由其余向量線性表示。有兩個極大無關組12,,...,iiir???A.Ax=o有解時，Ax=b必有解.D.Ax=b有惟一解時，Ax=o只有零解.小題的空格中填上正確答案。A滿足A2=A，且A≠E，則|A|=0.解向量的個數(shù)為n-r個.=在此基下的坐標為.A為三階方陣，其特征值為1，-1，2，則A2的特征值為1，=的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大
【正文】 ? ? 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 0 20 1 2 2 0 1 2 2 0 1 0 20 0 2 4 0 0 1 2 0 0 1 20 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 所以，向量組的秩 1 2 3 4( , , , ) 3r ?? ? ? ?，向量組的一個極大無關組為：1 2 3,? ? ? ，且有 4 1 2 32 2 2? ? ?? ? ? ?. 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 3 02 3 2 03 5 7 0x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??的基礎解系，并用基礎解系表示其通解 . 解：對方程組的系數(shù)矩陣（ 或增廣矩陣）作初等行變換： 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 32 3 1 2 0 1 3 4 0 1 3 41 3 5 7 0 1 3 4 0 0 0 0A? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 1 0 4 50 1 3 40 0 0 0????????? 與原方程組同解的方程組為： 1 3 42 3 44534x x xx x x? ? ??????，其中 x3, x4為自由未知量 . 令 34xx??????分別取 10,01? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?得基礎解系： 124534,1001?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?vv. 方程組的通解為： 1 1 2 2 1 245341001c c c c?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?vv . （ c1 , c2為任意常數(shù)） 111111111?????????A ，求正交矩陣 P 和對角矩陣 Λ，使P1AP=Λ. 解：矩陣 A 的特征多項式為： 21 1 1| | 1 1 1 ( 3 )1 1 1?? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?EA ， 得矩陣 A 的所有特征值為： 1 2 30, 3? ? ?? ? ?. 對于 120????， 求方程組 (0 ) o??E A x 的基礎解系 . 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 01 1 1 0 0 0???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?， 得基礎解系為 12111 , 001??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???， 將此線性無關的特征向量正交化，得： 1212111,20 1???????? ???? ??? ? ??? ???? ??????????.再標準化，得：12116211,260 26?????? ????????????? ? ??????????????? ???? ???? 對于 3 3?? 解方程組 (3 ) o??E A x . 2 1 1 1 0 11 2 1 0 1 11 1 2 0 0 0? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?，方程組的基礎解系為 3111???????????? ， 將其單位化，得：3131313????????????????????. 令 P=1 2 31 1 12 6 31 1 1( , , )2 6 321063????????????????? ? ?， Λ=0000000 0 3????????， 則 P 是正交矩陣，且 P1AP=Λ. 四 、證明題（本大題共 6 分） 12, ,..., s? ? ? 線性無關，證明：向量組 1 1 2 1 2 3 1 2, , , .. ., .. . s? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?也線性無關 . .證：令 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2( ) ( ) .. . ( .. . )ssk k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? o? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得： 1 2 1 2 3 2 1 1( . . . ) ( . . . ) . . . ( )s s s s s s sk k k k k k k k k o??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 因為 12, ,..., s? ? ? 線性無關，所以 1 2 1231. . . 0. . . 0....................................00ssssssk k k kk k kkkk??? ? ? ? ??? ? ? ? ????? ??????，解得：12100..........00sskkkk???? ????? ?????， 故 1 1 2 1 2 3 1 2, , , .. ., .. . s? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?線性無關 .
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