第17講交換律、單位元、零因子、整環(huán)-資料下載頁(yè)
2025-08-26 15:09本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】§交換律、單位元、零因子、整環(huán).講本講教學(xué)目的和要求:由環(huán)的定義,環(huán)????,,R是在某集合R上定義了兩種代數(shù)運(yùn)算,而。零因子”與”有消去律”之間的等價(jià)性的證明是難點(diǎn).R為環(huán),已知R關(guān)于加法”+”而言,已可以交換,至于對(duì)于乘法”·”,R也。環(huán).但n價(jià)矩陣環(huán))(FMn不是變換環(huán).R的加法群是循環(huán)群,那么環(huán)F必是變換環(huán).明示1.在第二章中已知:每個(gè)階5?在§1中已知：“000????abba 或”但反之,譬如,在剩余類(lèi)環(huán)??由上可知,欲說(shuō)明0?③環(huán)R中元素a若既是左零因子,又是右零因子,那么就稱(chēng)a為零因子.復(fù)習(xí)消去律的概念:設(shè)Rcba?若R是環(huán),而含}.0|{????A,構(gòu)造地個(gè)齊線性方程組.
【正文】 并不是每個(gè)環(huán)都不得有單位元 ?R1 的 .譬如偶數(shù)環(huán) Z2 . ③環(huán) R 中若有單位元 ,那么這個(gè)單位元必是唯一的 . 并且我們規(guī)定 : Raa R ??? ,10 和 nnn aaa )()( 11 ??? ?? ④有單位元 1的環(huán)有時(shí)候?yàn)榱送怀鰡挝辉?,常記為 }1,。{ RR ?? 定義 }1,。{ RR ?? 是一個(gè) 幺 環(huán) ,如果 Ra? 具有下列條件 : Rb?? 使 Rbaab 1?? 那么稱(chēng) a 是 R 中的可逆元 .并稱(chēng) b 就是 a 的逆元 . 注意 2:①只有在 幺 環(huán) 中才能談?wù)?逆元的問(wèn)題 . ② 既使 }1,。{ RR ?? 是 幺 環(huán) ,也不能保證每個(gè)元素都可逆 . ③在 幺 環(huán) R 中 ,若 a 可逆 ,那么 a 的逆元必是唯一的 ,習(xí)慣上記為 1?a ,顯然aa ??? 11)( . 第 6 頁(yè) 共 6 頁(yè) 例 6. ①因?yàn)榕紨?shù)環(huán) Z2 中沒(méi)有單位元 ,故 Z2 中沒(méi)有談?wù)撃嬖?“ 資格 ” . ②整數(shù)環(huán) Z 中有單位元 R1 (整數(shù) 1).但除了 1? 外 ,其余元都不可逆 . ③在 )(FMn 中 .單位元是 E .而 )(FMA n? 可逆 0|| ??A . 思考題 3.① “ 幺 環(huán) 中必有可逆元 ” 對(duì)嗎 ? ② 在 ][xF 中 , )(xf 可逆的充要條件是什么 ? ③若 }0{?R — 零環(huán)， R 中有單位元嗎？ ④若 幺 環(huán) },0{?R ,那 01?R 對(duì)嗎 ? ⑤左 (右 )零因子會(huì)是可逆元嗎 ? 0 會(huì)是可逆元嗎 ? 明示 : 設(shè) }1,。{ RR ?? 是 幺 環(huán) .那么 ① 若 a 可逆 1??a 也 可逆 ,且 aa ??? 11)( ② 若 a 和 b 都是 R 中元素 :那么 :a 與 b 都可逆 ab? 可逆 . ③ 111)( ??? ? abab 結(jié)論 }1,。{ RR ?? 是個(gè) 幺 環(huán) ,由 R 中所有可逆元構(gòu)成的集合為 }|{ 可逆aRaS ?? .那么},{?S 是一個(gè)乘法群 . 證明 :由于 R1 本身是可逆的 . SR??1 .即 ??S . (ⅰ ) .)(, 111 ??? ???? ababSba ∴ Sab? (ⅱ )因?yàn)?},{?R 是半群 S? 滿(mǎn)足結(jié)合律 . (ⅲ ) SR?1 (ⅳ ) Sa?? ,則 1?a 的逆元恰是 Saa ?? ?1 . 由 (ⅰ )～ (ⅳ ) },{ ??S 是乘法群 . 整環(huán) 定義 5. 設(shè) R 是環(huán) ,如果 R 滿(mǎn)足下列條件 ,則叫作整環(huán) . (1)R 是交換環(huán) ,(2)R 有單位元 ,(3)R 是無(wú)零因子環(huán) . 例 6. 整數(shù)環(huán) Z ,多項(xiàng)式環(huán) ,模 p 剩余類(lèi)環(huán) pZ (p 為素?cái)?shù) )都是整環(huán) .而不是整環(huán)的有 :偶數(shù)環(huán) (無(wú) R1 ).矩陣環(huán) )(FMn (不 交 換且有零因子 ), mZ (m 為合數(shù) ,有零因子 )。
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