第17講交換律、單位元、零因子、整環(huán)-資料下載頁
2024-09-04 15:09本頁面
【導讀】§交換律、單位元、零因子、整環(huán).講本講教學目的和要求:由環(huán)的定義,環(huán)????,,R是在某集合R上定義了兩種代數(shù)運算,而。零因子”與”有消去律”之間的等價性的證明是難點.R為環(huán),已知R關(guān)于加法”+”而言,已可以交換,至于對于乘法”·”,R也。環(huán).但n價矩陣環(huán))(FMn不是變換環(huán).R的加法群是循環(huán)群,那么環(huán)F必是變換環(huán).明示1.在第二章中已知:每個階5?在§1中已知：“000????abba 或”但反之,譬如,在剩余類環(huán)??由上可知,欲說明0?③環(huán)R中元素a若既是左零因子,又是右零因子,那么就稱a為零因子.復習消去律的概念:設Rcba?若R是環(huán),而含}.0|{????A,構(gòu)造地個齊線性方程組.
【正文】 并不是每個環(huán)都不得有單位元 ?R1 的 .譬如偶數(shù)環(huán) Z2 . ③環(huán) R 中若有單位元 ,那么這個單位元必是唯一的 . 并且我們規(guī)定 : Raa R ??? ,10 和 nnn aaa )()( 11 ??? ?? ④有單位元 1的環(huán)有時候為了突出單位元 ,常記為 }1,。{ RR ?? 定義 }1,。{ RR ?? 是一個 幺 環(huán) ,如果 Ra? 具有下列條件 : Rb?? 使 Rbaab 1?? 那么稱 a 是 R 中的可逆元 .并稱 b 就是 a 的逆元 . 注意 2:①只有在 幺 環(huán) 中才能談論 逆元的問題 . ② 既使 }1,。{ RR ?? 是 幺 環(huán) ,也不能保證每個元素都可逆 . ③在 幺 環(huán) R 中 ,若 a 可逆 ,那么 a 的逆元必是唯一的 ,習慣上記為 1?a ,顯然aa ??? 11)( . 第 6 頁 共 6 頁 例 6. ①因為偶數(shù)環(huán) Z2 中沒有單位元 ,故 Z2 中沒有談論逆元的 “ 資格 ” . ②整數(shù)環(huán) Z 中有單位元 R1 (整數(shù) 1).但除了 1? 外 ,其余元都不可逆 . ③在 )(FMn 中 .單位元是 E .而 )(FMA n? 可逆 0|| ??A . 思考題 3.① “ 幺 環(huán) 中必有可逆元 ” 對嗎 ? ② 在 ][xF 中 , )(xf 可逆的充要條件是什么 ? ③若 }0{?R — 零環(huán)， R 中有單位元嗎？ ④若 幺 環(huán) },0{?R ,那 01?R 對嗎 ? ⑤左 (右 )零因子會是可逆元嗎 ? 0 會是可逆元嗎 ? 明示 : 設 }1,。{ RR ?? 是 幺 環(huán) .那么 ① 若 a 可逆 1??a 也 可逆 ,且 aa ??? 11)( ② 若 a 和 b 都是 R 中元素 :那么 :a 與 b 都可逆 ab? 可逆 . ③ 111)( ??? ? abab 結(jié)論 }1,。{ RR ?? 是個 幺 環(huán) ,由 R 中所有可逆元構(gòu)成的集合為 }|{ 可逆aRaS ?? .那么},{?S 是一個乘法群 . 證明 :由于 R1 本身是可逆的 . SR??1 .即 ??S . (ⅰ ) .)(, 111 ??? ???? ababSba ∴ Sab? (ⅱ )因為 },{?R 是半群 S? 滿足結(jié)合律 . (ⅲ ) SR?1 (ⅳ ) Sa?? ,則 1?a 的逆元恰是 Saa ?? ?1 . 由 (ⅰ )～ (ⅳ ) },{ ??S 是乘法群 . 整環(huán) 定義 5. 設 R 是環(huán) ,如果 R 滿足下列條件 ,則叫作整環(huán) . (1)R 是交換環(huán) ,(2)R 有單位元 ,(3)R 是無零因子環(huán) . 例 6. 整數(shù)環(huán) Z ,多項式環(huán) ,模 p 剩余類環(huán) pZ (p 為素數(shù) )都是整環(huán) .而不是整環(huán)的有 :偶數(shù)環(huán) (無 R1 ).矩陣環(huán) )(FMn (不 交 換且有零因子 ), mZ (m 為合數(shù) ,有零因子 )。
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