第17講交換律、單位元、零因子、整環(huán)(完整版)
【正文】 第 3 頁 共 6 頁 定理 設(shè) R 是一個(gè)環(huán) ,那么 (1)若 R 中沒有左零因子 R? 中沒有左消去律 . (2)若 R 中沒有右零因子 R? 中沒有右消去律 . 證明 : (1) Rcba ??? ,)( ,如果 acab? 且 0?a 那么 0)( ??cba .因?yàn)?0?a 且 R 中沒有左零因子 . 0??? cb (否則 a 就成了左零因子 )即 cb? 由 cba , 的任意性 R? 中滿足左消去律 . )(? 設(shè) Ra??0 ,如果 0?ab 顯然 0aab? ,∵ 0?a 由左消去律 0??b ,這說明 a 不是左零因子 .由 a 的任意性 R?中沒有左零因子 . 關(guān)于 (2),同理可證 . 利用左 ,右零因子的“共存亡”的性質(zhì) .可知 推論：設(shè) R 是環(huán)，那么下列條件是等價(jià)的： ① R 中沒有左零因子；② R 中沒有右零因子；③ R 中 滿足 左消去律；④ R 中 滿足右消去律 . 說明 : ④②①③ 定理“共存亡”定理 ??? 若 R 是環(huán) ,而含 }.0|{ ???? aRaR ,于是 ,可用 ?R 的性質(zhì)來刻劃 R 是否有零因子 . 結(jié)論 :R 是無零因子環(huán) },{ ???R 是半群 . 證明 :R 是無零因子環(huán) ),.(0,0 ????? Rbaba ,都有 0?ab 即 ?? ?? RRab 是封閉的 ??R 是半群 例 3. 在 n 階矩陣環(huán) )2(),( ?nFM n 中 .若 ).(FMA n? 那么 A 是左 (右 )零因子 0??A . 證明 : )(? 若 A 是左零因子 . ).(0 FMB n???? 使 .0?AB 如果 ????? 00|| BA . 0|| ??A )(? ∵ 0|| ?A ,構(gòu)造地個(gè)齊線性方程組 . ( * )00021???? ?????????????????????????nxxxA 第 4 頁 共 6 頁 由方程組的性質(zhì) (*)? 有非零解 . 02 ?????????????n1ccc? 即 021?????????????ncccA? ,令 )(00000021FMcccB nn??????????????????? ? 0021?????????
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