【導讀】等式的證明、界的估計等.證明定積分、不等式、求高階導數(shù)在某點的數(shù)值方面的應用.杠桿.18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學家泰勒，學位.1717年.他以泰勒定理求解數(shù)值方程.數(shù).上述公式以現(xiàn)代形式表示則為：這公式是從格雷戈里—牛頓插值公式發(fā)展而成的，工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成.程的奇異解，曲率問題之研究等.數(shù)的分式提供了一個非常有力的工具，它使得人們可以用高階導數(shù)更精細地刻畫函數(shù).它是一元函數(shù)微分學的重要內(nèi)容之一.與此類似，對于多元函數(shù)，也可以給出泰勒公式.定理：設(shè)函數(shù)(,)fxy定義于2R中的某個區(qū)域D上.點00(,)xyD?00(,)xy的某個領(lǐng)域內(nèi)存在直到1m?先考慮多項式函數(shù)。．經(jīng)過簡單的計算可知.這個多項式。的系數(shù)012,,,,naaaa同它的各階導數(shù)之間有如下的關(guān)系；如果把這個多項式按照()xa?的冪式重新寫出來，即。是一般的函數(shù)．設(shè)它在a點具有直到n階的連續(xù)導數(shù)，這時總可以

　　

【正文】 m ( ) 1x fx?? ??試 求存在 (0,1)?? ， 使 ( ) 8f ??? ? . 證： 由于 ()fx 在 [0,1] 的最小值不等于在區(qū)間端點的值，故在 [0,1] 內(nèi)存在 1x ， 使1( ) 1fx?? ，由費馬定理知， 1( ) 0fx? ? .又 21 1 1 1()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!ff x f x f x x x x x????? ? ? ? ?21()1 ( )2!f xx???? ? ? ? （ ? 介于 x 與 1x 之間） 由于 (0) (1) 0ff??，不令 0x? 和 1x? ， 有1 21()0 ( 0) 1 ( 0 )2ffx???? ? ? ? ?所以 21 1 1 2( ) 2 ( 1 ) ( 1 )f x x????? ? ? ? ?. 當 1 11 2x?? 時，2128x? ? ， 而當 11 12 x??時， 212(1 ) 8x ???，可見 1()f ??? 與 2()f ??? 中必有一個大于或等于 8. 例 ： 2 2 233a b c a b c? ? ? ?? 證： 設(shè) 2()f x x? ，則 ( ) 2f x x? ? ， ( ) 2 0fx?? ??， 20 0 0 0()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!ff x f x f x x x x x????? ? ? ? ? 即 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x?? ? ?.取 xa? ， 得 220 0 02 ( )a x x a x? ? ?， xb? ， 得 220bx?002 ( )x b x??， xc? ， 得 220 0 02 ( )c x x c x? ? ?.將不等式兩邊相加，得 2 2 2abc? ? ?220 0 03 2 ( ) 6x x a b c x? ? ? ?取 0 1 ()3x a b c? ? ?，則 0x 在 a ， b ， c 之間，故 2 2 2 203a b c x? ? ? 23( )3abc??? ， 即 2 2 233a b c a b c? ? ? ?? . 新疆師范大學 2020屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計） 11 泰勒公式在積分等式的證明中應用 （ 1）作輔助函數(shù) ( ) ( )xaF x f t dt??. （ 2）將 ()Fx在所需點處進行泰勒公式展開 . （ 3）對了泰勒公式余項作使用處理 . 例 ()fx 在 [, ]ab 上具有連續(xù)的一階導數(shù)，證明在 ( , )ab 內(nèi)存在一點，使得 31( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4ba abf x d x b a f b a f ??? ? ? ?? 證： 令 ( ) ( )xaF x f t dt??，則有 39。 39。 39。 39。 39。 ( ) 0 , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )F a F x f x F x f x F x f x? ? ? ?()Fx在 0 2abx ?? 處的二階泰勒公式為： 39。 39。39。 2 39。39。39。 311( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ! 2 2 3 ! 2 2a b a b a b a b a b a b a bF x F F x F x F x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?39。 2 39。 311( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ! 2 2 3 ! 2 2a b a b a b a b a b a b a bF f x f x f x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 其中 ()?? 在 x 與 2ab? 之間 .分別將 ,x a x b??代入上式，并相減，則得 123 ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 2ffabF b F a b a f b a ????? ? ? ? ?其中 12,??分別在 2ab? 與,ba與之間不妨，設(shè) 39。12( ) ( )ff??? 則 1 1 2 1()( ) ( ) ( )2ff f f?? ? ?? ? ?考慮到 ()fx的連續(xù)性反 介 值定理，可知 12,??之間至少存在一個 ( , )ab?? 使 12 ( ) ( )() 2fff ??? ?? 故 ( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a??? 31( ) ( ) ( ) ( )2 2 4abb a f b a f ??? ? ? ? 總結(jié) 我們利用泰勒公式無論教學上的問題或者實際科學計算上的有些復雜的問題可以解決 .我在這篇論文中利用 泰勒公式 討論了 比較復雜的函數(shù)展開成多項式， 求極限、導數(shù)、估計計算，證明積分等式、不等式等問題 .我 在寫這篇論文過程當中 感覺到 自己重新學一遍數(shù)學分析中的關(guān)于泰勒公式內(nèi)容 我在這篇論文中利用泰勒公式 討論 了求極限、導數(shù)、估計計算，證明 積分等式、不等式等問題 .我知道，我的這篇論文不是寫的各位老師想象中的那么好 .但是我希望各位老師多一點指教 . 新疆師范大學 2020屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計） 12 參考文獻 [1] 馬富明 ， 高文杰 .數(shù)學分析 ， 第二冊 ，北京 ； 高等教育 出版社 . [2] 梅加強 .數(shù)學分析 ；多元微積分 .北京； 高等教育出版社 . [3] 歐陽光中 ， 姚允龍， 周淵 .數(shù)學分析，上 、 下 冊 .上海； 復旦 大學出版社 . [4]孫清華，孫昊 .數(shù)學分析內(nèi)容 、方法與技巧，上 .華中科技大學出版社 . [5] 王綿森 ， 馬知恩主編 .高等數(shù)學基礎(chǔ) .北京；高等教育出版社 . [6] 謝惠民，惲自求，易法槐， 錢定邊 .數(shù)學分析習題課講義，上冊 .高等教育 出版社 . [7] 易大義，沈云寶，李有法 .計算方法，第二版，杭州： 浙江大學出版社 .( 重印 ) [8] 齊成輝 .泰勒公式的應用 .陜西師范大學學報 . [9] 裴禮文 .數(shù)學分析（上） .高等教育出版社 .第二版 . [10] 盧玉文 .泰勒公式的應用 .河北自學考試 . 1314 [11] 孟雅琴，葉正麟 .泰勒公式的應用 .高等數(shù)學研究 . 新疆師范大學 2020屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計） 13 致謝 大學五年很快就要結(jié)束了，在這寶貴的四年學習過程中，我認識了數(shù)學系的各級領(lǐng)導、老師和我親愛的同學們，得到了他們熱心的幫助和關(guān)心，使我能夠順利的完成學業(yè)，同時我的道德修養(yǎng)在身邊優(yōu)秀的老師和同學的感染下得到了很大的提高，在此向他們表示我最衷心的感謝！ 感謝我的指導老師，感謝對我畢業(yè)論文的細心指導， 哈米旦 老師嚴謹細致、認真負責的工作態(tài)度是我學習的典范，這對我以后走上工作崗位有很大的幫助 . 同時我要感謝我大學五年認識的所有好朋友，有了他們的陪伴、支持、鼓勵，我的大學生活才有意義，從他們身上我學到了很多我沒有的品質(zhì)，我將永遠珍惜這難得的友誼 . 到論文的順利完成，有很多的可敬的老師、同學、朋友給了我真摯的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意！再次對 哈米旦 老師表示最誠摯的謝意和祝福！