【正文】 2 2000 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!f x x xf x f x f x x x o x x?? ??? ? ? ? ? ? 由此， 201 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0()( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!fxf x f x f x f x x x f x x x x x????? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 201 0 2 0 2 0()( ) ( ) ( )2!fxo x x x x o x x??? ? ? ? ? ? 因?yàn)橛囗?xiàng)為 2()nxx? 的高階無窮小， 12[ , ]xx 又為足夠小，所以泰勒公式220 00() ( ) ( )2!fx x x o x x?? ? ? ?的符號(hào)與 0()fx?? 相同 . 又因 0 1 2( ) / 2x x x?? ，所以 0 1 0 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) 0f x x x f x x x??? ? ? ?，可得： 22 2 2201 2 0 0 1 0 1 0 2 0()( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02!xxf x f x f x f x x x o x x o x x???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 1 2 0( ) ( ) 2 ( ) 0f x f x f x? ? ?，得 0 1 2( ) [ ( ) ( ) ] / 2f x f x f x??. 由 12,xx得任意性，可得 ()fx在足夠小的區(qū)間 [, ]cd 上是凹的 .再由 ,cd得任意性，可得 ()fx在 [, ]ab 內(nèi)任意一個(gè)足夠小的區(qū)間內(nèi)部都是凹向的 . 定理 若 ()fx在某個(gè) 0( , )Ux? 內(nèi) n 階可導(dǎo)，且滿足 ( 1 )0 0 0( ) ( ) ( ) 0nf x f x f x?? ??? ? ? ?，且 0( ) 0( 2)nf x n?? 若（ 1） n 為奇數(shù)，則 00( , ( ))x f x 為拐點(diǎn)； （ 2） n 為偶數(shù)，則 00( , ( ))x f x 不是拐點(diǎn) . 證明 ：寫出 ()fx?? 在 0x 處的泰勒公式 220 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( 2 ) ! ( ( ) )n n nf x f x f x x x f x x x n o x x???? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)? ( 1 )0 0 0( ) ( ) ( ) 0nf x f x f x?? ??? ? ? ? 則 220 0 0( ) ( ) ( ) / ( 2 ) ! ( ( ) )n n nf x f x x x n o x x???? ? ? ? ? ?，同樣余項(xiàng)是 2()nxx?? 的高階無窮小 . 所以 ()fx?? 的符號(hào)在 0x 的 ? 心領(lǐng)域內(nèi)與 200( ) ( ) / ( 2) !nnf x x x n???相同 .當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，顯然在 0x 的兩邊， 200( ) ( ) / ( 2) !nnf x x x n???符號(hào)相異，即 ()fx?? 的符號(hào)相異，所以00( , ( ))x f x 為拐點(diǎn) . 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，則 ()fx?? 的符號(hào)相同，所以 00( , ( ))x f x 不是拐點(diǎn) . 泰勒 公式 在廣義積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用 在判定廣義積分 ()a f x dx???斂散性時(shí) , 通常選取廣義積分 1 ( 0)pa dx px?? ??進(jìn)行比較 , 在此通過研究無窮小量 ( ) ( )f x x ? ??的階來有效地選 1pa dxx???中的 p 值，從而簡(jiǎn)單地判定 ()a f x dx???的斂散性（注意到：如果 ()a f x dx???得收斂，則 ()a f x dx???得收斂） . 例 研究廣義積分4 ( 3 3 2 )x x x d x?? ? ? ? ??的斂散性 . 解 ： 22( 1 )(1 ) 1 ( )2!x x x o x???? ?? ? ? ? ? ( ) 3 3 2f x x x x? ? ? ? ? 112233(1 ) (1 ) 2xxx? ? ? ? ? 2 2 2 23 1 9 1 1 3 1 9 1 1( 1 ( ) ) ( 1 ( ) ) 22 8 2 8x o ox x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 / 2 3 / 29 1 1()4 oxx? ? ? ? 因此，3/2() 9lim1 4xfxx??? ?，即 ( ) 0fx? 是 1()xx ??? 的 32 階，而3/24 1 dxx???收斂，故4 ()f x dx???收斂，從而4 ( 3 3 2 )x x x d x?? ? ? ? ??. 泰勒公 式展開的唯一性問題 泰勒公式的展開式有多種，常見的如帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開式，帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒展開式，而最為常用的是麥克勞林展開式，它是當(dāng) 0 0x? 時(shí)的特殊的泰勒公式展開式，現(xiàn)在我們來探討泰勒公式展開式的唯一性 . 例 設(shè) ()fx是連續(xù)的 n 階導(dǎo)數(shù)， ()fx在 0xx? 處有展開式： 20 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnf x a a x x a x x a x x R x? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 1） 且余項(xiàng) ()nRx滿足 0 0()lim 0()n nxxRxxx? ?? （ 2） 則必有 () 0() ( 1 , 2 , , )!kk fxa k nk?? （ 3） 其中 (0) ( ) ( )f x f x? . 證 ： 根據(jù)泰勒公式， ()fx在 0xx? 處可以展開成 () 0000 ()( ) ( ) ( ( ) )!in inifxf x x x o x xi?? ? ? ?? （ 4） 讓（ 1）式與（ 4）式聯(lián)立可得 () 00 0 000 ()( ) ( ) ( ) ( ( ) )!inni i ninii fxa x x R x x x o x xi??? ? ? ? ? ??? 此式令 0xx? 取極限，得 00()a f x? .兩邊消去首項(xiàng)，再同時(shí)除以 0()xx? ，然后令 0xx?取極限，又得 10()a f x?? .繼續(xù)這樣下去則順次可得式（ 3） . 4 結(jié)論 參考文獻(xiàn)： ［ 1］劉景麟，黃振友．微積分（上） [M]．國際工業(yè)出版社， 2021 ［ 2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（上） [M]．高等教育出版， 2021 ［ 3］裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M]．高等教育出版社， 2021 ［ 4］孫清華，孫昊．?dāng)?shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧 [M]．華中科技大學(xué)出版社， 2021 [5] 朱永生 。 劉莉 .基于泰勒公式應(yīng)用的幾個(gè)問題 [J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào) , 2021(08):425 [6] 王三寶 .泰勒公式的應(yīng)用例舉 [J].高等函授學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 ) , 2021(03)： 319 [7] Meyserson,. Every power series is a Taylor series,. Monthly, 1981(88): 5152. [8] 唐清干 . 泰勒公式在判斷級(jí)數(shù)及積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用 [J]. 桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào) ,2021(02) :322 [9] 嚴(yán)振祥；沈家驊 .泰勒公式在 函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)判斷中的應(yīng)用 [J]. 重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 )， 2021（ 8）： 426 ［ 10］ 馮平 。 石永廷 . 泰勒公式在求解高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用 [J]. 新疆職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) , 2021(04):411 [11] Mitrinovic, , Pecaric, , and Fink, Inequalities in volving functions and thciry integrals and derivatives,Kluwer ,1991..