條件概率的性質(zhì)及其應(yīng)用——畢業(yè)論文-資料下載頁(yè)
2025-01-12 05:08本頁(yè)面
【正文】 ? ? ??? ? ? ? ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )a b b b b b na a b a b a b n??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? 第三章．條件概率的應(yīng)用 在前面的內(nèi)容中我們認(rèn)識(shí)的 大多 概率都是在樣本空間中的。 并且只是計(jì)算了一些條件概率，許多的實(shí)驗(yàn)都是用某些特定的條件概率來描述。在理論上這意味著：樣本空間中的概率可由給定的條件概率中推到出來。 下面來介紹幾個(gè)條件概率的應(yīng)用 用條件概率所定義的概率 —— 波利亞罐子模型 罐子模型。一個(gè)罐子中包括 b個(gè)黑球與 r個(gè)紅球。隨機(jī)地抽取一個(gè)球?？戳祟伾俜?，并且還要另外加進(jìn)去 c個(gè)與 抽出來的球具有同樣顏色的球和 d個(gè)相反顏色的球（這個(gè)時(shí)候罐子里面就有 r+b+c+d 個(gè)球了），這種過程反復(fù)地進(jìn)行，其中 c和 d是任意的整數(shù)。 C和 d可以取為負(fù)數(shù)，不過在這種情形下經(jīng)過有限次取球之后會(huì)因?yàn)闆]有了球而停止。特別的，取 c=1， d=0，則我們的抽樣就變成了無放回的抽樣，它在 r+b次以后就結(jié)束 現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)描述，注意一點(diǎn)就是，某些基本的概率可以通過它所確定的條件概率來計(jì)算。對(duì)應(yīng)于 n次抽取的樣本空間的典型的描述法是用 n個(gè)字母 B和 R 的序列來代表其樣本點(diǎn)。事件“第一次取出的球是黑的”（即是第一個(gè)字母是 B 的全部 序列所構(gòu)成的集合）的概率為 ()b b r? 。 如果第一個(gè)球是黑色的球，則第二次取出的球的顏色任然為黑色的概率是 ( ) ( )b c b r c d? ? ? ?因此黑黑的概率為 ()( ) ( )b b cb r b r c d??? ? ? ? 黑黑黑的概率為 ( ) ( 2 )( ) ( ) ( 2 2 )b b c b cb r b r c d b r c d????? ? ? ? ? ? ? 顯然這樣的方法可以計(jì)算出每一個(gè)樣本點(diǎn)的概率 概率的顯式表達(dá)式不是很容易得到的，除非在下面介紹的一個(gè)重要的而且著名的特殊情形： 波利亞管子模型，其特征是 d=0， c0。每次抽 取后，這時(shí)候與取出來的球有相同顏色的球的數(shù)目增加，而與取出的球的顏色不同的球的數(shù)目保持不變。在效果上看，每一次取出的球是什么顏色增加了下一次也取到這種顏色球的概率，因此，我們得帶到了類似傳染病的一個(gè)模型，在這其中，每一次傳染以后都增加再傳染的概率。在 n 次抽取中，先取出 1n 個(gè)黑球后在取出 2n 個(gè)紅球（這當(dāng)中12n n n??） 的概率是 12( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 2 ) ( )b b c b c b n c c r r c r n c cb r b r c b r c b r n c c? ? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? 考慮 n 個(gè)抽取為 1n 個(gè)黑球， 2n 個(gè)紅球的其他抽取順序，計(jì)算它的概率，發(fā)現(xiàn)因子是相同的，只是排列的次序是不同的。因此可以得到抽出 1n 個(gè)黑球和 2n 個(gè)紅球的所有可能的抽取方式具有不同的概率，這為波利亞罐子模型咋分析上的簡(jiǎn)明性，分子分母同乘以1nn??????，即是所有的排列的數(shù)目，利 用廣義二項(xiàng)式系式得到下列形式： 1121 2 1 2,111 ( ) ( + )nnn b c n r c b c r cn n n npn b r c b c cnn? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 配對(duì)問題 例 有 n 張信紙，分別標(biāo)號(hào)為 1， 2， 3， ? ， n，另外有 n 個(gè)信封也同樣標(biāo)號(hào)，今將每一張信紙任意的裝入每一個(gè)信封中，試求“沒有一個(gè)配對(duì)”的概率 0q及“恰有 r 個(gè)配對(duì)成功”的概率 rq （ rn? ），這里說的“ r 個(gè)配對(duì)”是指的是有 r張信紙，分別裝入同號(hào)碼的信封。 解 以 iA 表示“第 i 號(hào)信紙裝入第 i 號(hào)信封”這一事件，則 0 11 ( )niiq P A??? 為了求1()niiPA?，利用一般加法公式。第 i 號(hào)信紙可以裝入 n 個(gè)信封，恰好裝入第 i 號(hào)信封的概率 1()iPA n?，故 1 ( ) 1iis P A??? 如 iA 出現(xiàn)，第 j 號(hào)信紙共有 n1 個(gè)信封可以選擇，故 1( | ) 1jiP A A n? ? 11( ) ( ) ( | ) 1i j i j iP A A P A P A A nn? ? ? ? 從而 2 , 1( ) ( 1 )2 2!ijij ns P A A n n??? ? ? ?????? 類似地一般有 1!rs r? ，（ r=1， 2，?， n） 于是 10 101 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) 1 !!kkn nni kkiq P A kk??????? ? ? ? ??? 注意 0q 與 n 有關(guān)，如記為 00()q q n? 則 10lim ( ) 0 .3 6x q n e ??? ? ? ??? 利用 0q 便不難求出 rq 。如果指定某 r 張信紙裝入對(duì)應(yīng)的信封中，這事件的概率為 1( 1) ( 1)n n n r? ??? ? ? 其余 nr張信紙中沒有一個(gè)配對(duì)成功的概率為 0 0 ( 1)() !knrkq n r k?????? 由于 r張配對(duì)的信紙一共有 nr??????種選擇的方法，所以 00( 1 ) 1 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ! ! !kkn r n rr kknrqn n n r k r k????????????? ? ?? ??? ? ? ?? 注意當(dāng) n?? 時(shí)候， 1( ) !rrq q n e r???
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