【正文】 答案： 解答： ， . . 三．解答題 ，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下實驗：將 200 只小鼠隨機(jī)分成 兩組，每組 100 只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 ”，根據(jù)直方圖得到的估計值為 . （ 1） 求乙離子殘留百分比直方圖中的值； （ 2） 分別估計甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表） . 答案： 見解析 解答 : （ 1） 依題意得，解得 . （ 2） 得到甲離子殘留百分比的平均值為 ,，乙離子殘留百分比的平均值為 . .已知 . (1 求 B。 (2) 若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍 . 答案： （ 1） （ 2）見解析 解析： 因為；結(jié)合正弦定理 ,得 ,即；得到； （ 2） 因為 ,所以又因為 ,。又因為（因為為銳角，若越大越大，則越小越小；越大）；所以，所以 . 1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中， ， .將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖 2. （ 1）證明：圖 2中的四點共面，且平面平面； （ 2）求圖 2中的二面角的大小 . 答案： 見解析 解析： 證明：（ 1）由題意知，，又，平面，又平面，平面平面 . (2)分別取，的中點為，連結(jié)，則， 四邊形為棱形，且 60， ， 又平面， ，即平面， 以點為坐標(biāo)原點，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ， ， ， 設(shè)平面的一個法向量為 , ，令，則 , 得到， 平面的一個法向量為， ,故二面角的大小為 . . （ 1） 討論的單調(diào)性； （ 2） 是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由 . 答案： 見解析 解析： （ 1） ?當(dāng)時，此時在單調(diào)遞增 . ?當(dāng)時，令，解得或，令，解得 . 此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . ?當(dāng)時，令，解得或，令，解得 . 此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . 綜上可得，當(dāng)時，在單調(diào)遞增 . 當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . 當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . （ 2） 由（ 1）中結(jié)論可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞增， 此時，∴，滿足題意 . 當(dāng)時，若，即，則在單調(diào)遞減， 此時，∴，滿足題意 . 若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 . 此時 ? ∵ ∴當(dāng)時， ?， 由 ??可得，與矛盾，故不成立 . 當(dāng)時， ?， 由 ??可得，與矛盾，故不成立 . 綜上可知，或滿足題意 . ，為直線上的動點 .過作的兩條切線 ,切點分別是 , （ 1）證明：直線過定點 。 （ 2）若以為圓心的圓與直線相切 ,且切點為線段的中點 ,求四邊形的面積 . 答案： 見解析； 解答： （ 1）當(dāng)點在時，設(shè)過的直線方程為，與曲線聯(lián)立化簡得 ，由于直線與曲線相切，則有，解得， 并求得坐標(biāo)分別為，所以直線的方程為； 當(dāng)點橫坐標(biāo)不為時，設(shè)直線的方程為（），由已知可得直線 不過坐標(biāo)原點即，聯(lián)立直線方程與曲線的方程可得， 消并化簡得，∵有兩個交點∴， 設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理有， ， 由已知可得曲線為拋物線等價于函數(shù)的圖像， 則有，則拋物線在上的切線方程為①， 同理，拋物線在上的切線方程為②， 聯(lián)立①，②并消去可得， 由已知可得兩條切線的交點在直線上，則有 ， 化簡得，∵，∴， 即，即為，解得，經(jīng)檢驗滿足條件， 所以直線的方程為過定點， 綜上所述，直線過定點得證 . （ 2）由（ 1）得直線的方程為， 當(dāng)時，即直線方程為，此時點的坐標(biāo)為， 以為圓心的圓與直線相切于恰為中點， 此時； 當(dāng)時，直線方程與曲線方程聯(lián)立化簡得， ，， 則中點坐標(biāo)為， 由已知可得，即， 解得， 由對稱性不妨取，則直線方程為， 求得的坐標(biāo)為， 到直線距離，到直線距離， 則， 綜上所述，四邊形的面積為或 . 四． 選做題（ 2 選 1） ，在極坐標(biāo)系中， ,弧 ,所在圓的圓心分別是，，曲線是弧 ,曲線是弧，曲線是弧 . （ 1）分別寫出 ,的極坐標(biāo)方程； （ 2）曲線由 ,構(gòu)成，若點在上，且 ,求的極坐標(biāo) . 答案： 見解答 解答： （ 1） 由題意可知 ,的直角坐標(biāo)方程為：，，所以 ,的極坐標(biāo)為， . （ 2） 時，， 時，或， 時，，所以點的極坐標(biāo)為，， . ，且 . （ 1）求的最小值； （ 2）若成立，證明：或 . 答案： 見解析 解析： （ 1） 根據(jù)柯西不等式， 故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取最小 值 。 （ 2） 方法一：根據(jù)柯西不等式， ，證得或 . 方法二：令， 有 ，證得或 第五篇： 2021年高考真題 — 普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試 — 理科數(shù)學(xué)（全國卷Ⅰ） — 解析版 2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國 I 卷） 理科數(shù)學(xué) ，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： 由題意可知 ,又因為 ,則，故選 . ，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： ∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為， ∴ ∴ ∴ ，，則（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 由對數(shù)函數(shù)的圖像可知：；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：，于是可得到： . ，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此 .此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 .若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 方法一： 設(shè)頭頂處為點，咽喉處為點，脖子下端處為點，肚臍處為點，腿根處為點，足底處為，， 根據(jù)題意可知 ,故；又，故； 所以身高，將代入可得 . 根據(jù)腿長為，頭頂至脖子下端的長度為可得，； 即，將代入可得 所以，故選 B. 方法二： 由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，故頭頂至脖子下端的長度可估值為頭頂至咽喉的長度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是（稱為黃金分割比例）可計算出咽喉至肚臍的長度約為；將人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可得頭頂至肚臍的長度為，頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是可計算出肚臍至足底的長度約為；將頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為，與答案更為接近且身高應(yīng)略小于，故選 B. 5. 函數(shù)在的圖像大致為（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： ∵， ∴為奇函數(shù)，排除 A， 又，排除 C， ，排除 B，故選 D. 《周易》用“卦”描述萬物的變化 .每一“重卦”由從下到上排列的 6 個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦 .在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有個陽爻的概率是（ ） A. B. C. D. 答案： A 解答： 每爻有陰陽兩種 情況，所以總的事件共有種，在個位置上恰有個是陽爻的情況有種，所以 . 7. 已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 設(shè)與的夾角為， ∵ ∴ ∴ ∴ . ，圖中空白框中應(yīng)填入（ ） A. B. C. D. 答案： A 解答： 把選項代入模擬運(yùn)行很容易得出結(jié)論 選項 A 代入運(yùn)算可得，滿足條件， 選項 B 代入運(yùn)算可得 ,不符合條件， 選項 C 代入運(yùn)算可得 ,不符合條件， 選項 D 代入運(yùn)算可得 ,不符合條件 . .已知，則（ ） A. B. C. D. 答案： A 解析： 依題意有，可得， . ，過的直線與交于，兩點 .若，則的方程為（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 由橢圓的焦點為，可知，又，可設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義可知，得，所以，可知，根據(jù)相似可得代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，橢圓的方程為 . 11. 關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論： ①是偶函數(shù) ②在區(qū)間單調(diào)遞增 ③在有 4 個零點 ④的最大值為 其中所有正確結(jié)論的編號是（ ） A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 答案： C 解答： 因為，所以是偶函數(shù)，①正確， 因為，而，所以②錯誤， 畫出函數(shù)在上的圖像，很容易知道有零點，所以③錯誤， 結(jié)合函數(shù)圖像，可知的最大值為，④正確，故答案選 C. 12. 已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，是邊長為的正三角形，分別是，的中點，則球的體積為（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： 設(shè)，則 ∴ ∵， ∴ ,即，解得， ∴ 又 易知兩兩相互垂直， 故三棱錐的外接球的半徑為， ∴三棱錐的外接球的體積為，故選 D. . 答案： 解答： ∵， ∴結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點處的切線方程的斜率， ∴切線方程為 . ，若，則 . 答案： 解答： ∵， 設(shè)等比數(shù)列公比為 ∴ ∴ ∴ ，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該對獲勝，決賽結(jié)束