【正文】 答案： 解答： ， . . 三．解答題 ，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：將 200 只小鼠隨機(jī)分成 兩組，每組 100 只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度相同。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 ”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為 . （ 1） 求乙離子殘留百分比直方圖中的值； （ 2） 分別估計(jì)甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表） . 答案： 見解析 解答 : （ 1） 依題意得，解得 . （ 2） 得到甲離子殘留百分比的平均值為 ,，乙離子殘留百分比的平均值為 . .已知 . (1 求 B。 (2) 若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍 . 答案： （ 1） （ 2）見解析 解析： 因?yàn)?；結(jié)合正弦定理 ,得 ,即；得到； （ 2） 因?yàn)?,所以又因?yàn)?,。又因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)闉殇J角，若越大越大，則越小越小；越大）；所以，所以 . 1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中， ， .將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖 2. （ 1）證明：圖 2中的四點(diǎn)共面，且平面平面； （ 2）求圖 2中的二面角的大小 . 答案： 見解析 解析： 證明：（ 1）由題意知，，又，平面，又平面，平面平面 . (2)分別取，的中點(diǎn)為，連結(jié)，則， 四邊形為棱形，且 60， ， 又平面， ，即平面， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ， ， ， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 , ，令，則 , 得到， 平面的一個(gè)法向量為， ,故二面角的大小為 . . （ 1） 討論的單調(diào)性； （ 2） 是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由 . 答案： 見解析 解析： （ 1） ?當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞增 . ?當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得 . 此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . ?當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得 . 此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . 綜上可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增 . 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . （ 2） 由（ 1）中結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增， 此時(shí)，∴，滿足題意 . 當(dāng)時(shí)，若，即，則在單調(diào)遞減， 此時(shí)，∴，滿足題意 . 若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 . 此時(shí) ? ∵ ∴當(dāng)時(shí)， ?， 由 ??可得，與矛盾，故不成立 . 當(dāng)時(shí)， ?， 由 ??可得，與矛盾，故不成立 . 綜上可知，或滿足題意 . ，為直線上的動(dòng)點(diǎn) .過(guò)作的兩條切線 ,切點(diǎn)分別是 , （ 1）證明：直線過(guò)定點(diǎn) 。 （ 2）若以為圓心的圓與直線相切 ,且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn) ,求四邊形的面積 . 答案： 見解析； 解答： （ 1）當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，設(shè)過(guò)的直線方程為，與曲線聯(lián)立化簡(jiǎn)得 ，由于直線與曲線相切，則有，解得， 并求得坐標(biāo)分別為，所以直線的方程為； 當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)不為時(shí)，設(shè)直線的方程為（），由已知可得直線 不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)即，聯(lián)立直線方程與曲線的方程可得， 消并化簡(jiǎn)得，∵有兩個(gè)交點(diǎn)∴， 設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理有， ， 由已知可得曲線為拋物線等價(jià)于函數(shù)的圖像， 則有，則拋物線在上的切線方程為①， 同理，拋物線在上的切線方程為②， 聯(lián)立①，②并消去可得， 由已知可得兩條切線的交點(diǎn)在直線上，則有 ， 化簡(jiǎn)得，∵，∴， 即，即為，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件， 所以直線的方程為過(guò)定點(diǎn)， 綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn)得證 . （ 2）由（ 1）得直線的方程為， 當(dāng)時(shí)，即直線方程為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 以為圓心的圓與直線相切于恰為中點(diǎn)， 此時(shí)； 當(dāng)時(shí)，直線方程與曲線方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得， ，， 則中點(diǎn)坐標(biāo)為， 由已知可得，即， 解得， 由對(duì)稱性不妨取，則直線方程為， 求得的坐標(biāo)為， 到直線距離，到直線距離， 則， 綜上所述，四邊形的面積為或 . 四． 選做題（ 2 選 1） ，在極坐標(biāo)系中， ,弧 ,所在圓的圓心分別是，，曲線是弧 ,曲線是弧，曲線是弧 . （ 1）分別寫出 ,的極坐標(biāo)方程； （ 2）曲線由 ,構(gòu)成，若點(diǎn)在上，且 ,求的極坐標(biāo) . 答案： 見解答 解答： （ 1） 由題意可知 ,的直角坐標(biāo)方程為：，，所以 ,的極坐標(biāo)為， . （ 2） 時(shí)，， 時(shí)，或， 時(shí)，，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為，， . ，且 . （ 1）求的最小值； （ 2）若成立，證明：或 . 答案： 見解析 解析： （ 1） 根據(jù)柯西不等式， 故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取最小 值 。 （ 2） 方法一：根據(jù)柯西不等式， ，證得或 . 方法二：令， 有 ，證得或 第五篇： 2021年高考真題 — 普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試 — 理科數(shù)學(xué)（全國(guó)卷Ⅰ） — 解析版 2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó) I 卷） 理科數(shù)學(xué) ，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： 由題意可知 ,又因?yàn)?,則，故選 . ，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： ∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為， ∴ ∴ ∴ ，，則（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知：；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：，于是可得到： . ，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此 .此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是 .若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為，則其身高可能是（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 方法一： 設(shè)頭頂處為點(diǎn)，咽喉處為點(diǎn)，脖子下端處為點(diǎn)，肚臍處為點(diǎn)，腿根處為點(diǎn)，足底處為，， 根據(jù)題意可知 ,故；又，故； 所以身高，將代入可得 . 根據(jù)腿長(zhǎng)為，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為可得，； 即，將代入可得 所以，故選 B. 方法二： 由于頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度極為接近，故頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度可估值為頭頂至咽喉的長(zhǎng)度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比是（稱為黃金分割比例）可計(jì)算出咽喉至肚臍的長(zhǎng)度約為；將人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度相加可得頭頂至肚臍的長(zhǎng)度為，頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是可計(jì)算出肚臍至足底的長(zhǎng)度約為；將頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度相加即可得到身高約為，與答案更為接近且身高應(yīng)略小于，故選 B. 5. 函數(shù)在的圖像大致為（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： ∵， ∴為奇函數(shù)，排除 A， 又，排除 C， ，排除 B，故選 D. 《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化 .每一“重卦”由從下到上排列的 6 個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦 .在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有個(gè)陽(yáng)爻的概率是（ ） A. B. C. D. 答案： A 解答： 每爻有陰陽(yáng)兩種 情況，所以總的事件共有種，在個(gè)位置上恰有個(gè)是陽(yáng)爻的情況有種，所以 . 7. 已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 設(shè)與的夾角為， ∵ ∴ ∴ ∴ . ，圖中空白框中應(yīng)填入（ ） A. B. C. D. 答案： A 解答： 把選項(xiàng)代入模擬運(yùn)行很容易得出結(jié)論 選項(xiàng) A 代入運(yùn)算可得，滿足條件， 選項(xiàng) B 代入運(yùn)算可得 ,不符合條件， 選項(xiàng) C 代入運(yùn)算可得 ,不符合條件， 選項(xiàng) D 代入運(yùn)算可得 ,不符合條件 . .已知，則（ ） A. B. C. D. 答案： A 解析： 依題意有，可得， . ，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn) .若，則的方程為（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 由橢圓的焦點(diǎn)為，可知，又，可設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義可知，得，所以，可知，根據(jù)相似可得代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，橢圓的方程為 . 11. 關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論： ①是偶函數(shù) ②在區(qū)間單調(diào)遞增 ③在有 4 個(gè)零點(diǎn) ④的最大值為 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ） A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 答案： C 解答： 因?yàn)?，所以是偶函?shù)，①正確， 因?yàn)椋?，所以②錯(cuò)誤， 畫出函數(shù)在上的圖像，很容易知道有零點(diǎn)，所以③錯(cuò)誤， 結(jié)合函數(shù)圖像，可知的最大值為，④正確，故答案選 C. 12. 已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，分別是，的中點(diǎn)，則球的體積為（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： 設(shè)，則 ∴ ∵， ∴ ,即，解得， ∴ 又 易知兩兩相互垂直， 故三棱錐的外接球的半徑為， ∴三棱錐的外接球的體積為，故選 D. . 答案： 解答： ∵， ∴結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率， ∴切線方程為 . ，若，則 . 答案： 解答： ∵， 設(shè)等比數(shù)列公比為 ∴ ∴ ∴ ，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該對(duì)獲勝，決賽結(jié)束