【導(dǎo)讀】研究單輸入－單輸出系統(tǒng)；基本模型為系統(tǒng)函數(shù)，著重運(yùn)用頻率響應(yīng)特性。產(chǎn)生于20世紀(jì)50至60年代；利用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性；用n個(gè)狀態(tài)變量的一階微分（或差分）方程組來(lái)。容易推廣應(yīng)用于時(shí)變系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)；引出了可觀測(cè)性和可控制性兩個(gè)重要概念。入，那么就能完全確定系統(tǒng)在任何時(shí)間的行為。量，可以看作矢量的各個(gè)分量的坐標(biāo)。系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示法。信號(hào)流圖的代數(shù)運(yùn)算。利用方框圖可以描述系統(tǒng)，比用微分方程或差分方程更為直觀。模擬及數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)等方面。線段表示信號(hào)傳輸?shù)穆窂?，稱為支路。信號(hào)的傳輸方向用箭頭表示，轉(zhuǎn)移函數(shù)標(biāo)在箭頭附近，其他結(jié)點(diǎn)相交不多于一次。閉通路又稱環(huán)路。流圖轉(zhuǎn)置以后，其轉(zhuǎn)移函數(shù)保持不變。給定系統(tǒng)，信號(hào)流圖形式并不是惟一的。將系統(tǒng)函數(shù)分解建立狀態(tài)方程

　　

【正文】 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ????????????????????????????????????????????????????????1111311132212221112111111212110! 1!dd21 2321dd12dd111mnmmnnnnnnnnnnnmnnncnccccc??????????????????????????A 1?? ? ? ? ? ?? ? mnkmmm cmnncmcmcm ???? ????????? 1121111 ! ! 1!2 ! 1! ! 1 ??? ?X 第 70 頁(yè) 三．離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的 變換解 和連續(xù)系統(tǒng)的拉氏變換方法類似，離散系統(tǒng)的 變換方法也使?fàn)顟B(tài)方程的求解顯得容易一些。 z由離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????nnnnnnDxC λyBxA λλ 1z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????zzzzzzzzDXC ΛYBXA ΛλΛ 0兩邊取 變換 z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????zzzzzzzzzzzDXBXAICλAICYBXAIλAIΛ111100整理 ,得到 X 第 71 頁(yè) ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ???????????????????????????zZzZzzZnzZzZzzZnXDBAICλAICyXBAIλAIλ111111111100取其逆變換即得時(shí)域表示式為 : 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣即為 ? ?? ? ? ?? ?11111 ????? ???? AIAIA zZzzZn? ? ? ?? ?111 1 ??? ??? AIA zZnun或 北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院 167。 狀態(tài)矢量的線性變換 ?在線性變換下狀態(tài)方程的特性 ?系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)陣在線性變換下是不變的 ?A矩陣的對(duì)角化 ?由狀態(tài)方程判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 X 第 73 頁(yè) 序言 從狀態(tài)變量的選擇看出，同一系統(tǒng)可以選擇不同的狀態(tài)變量，但所選每種狀態(tài)變量相互之間存在著變換關(guān)系。它可以看作同一系統(tǒng)在狀態(tài)空間中取了不同的基底，而狀態(tài)矢量用不同基底表示時(shí)具有不同的形式，因此，對(duì)同一系統(tǒng)而言，以各種形式表示的狀態(tài)矢量之間存在著線性變換關(guān)系。這種線性變換，對(duì)于簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析是很有用的。 X 第 74 頁(yè) 一．在線性變換下狀態(tài)方程的特性 之間有與另一組狀態(tài)變量變量變換關(guān)系，設(shè)一組狀態(tài)按線性空間不同基底的γλ???????????????????kkkkkkkkkkppppppppp????????????????22112222121212121111矢量形式 pλγ ? ?????????????k????21γ?????????????k????21λ?????????????kkkkkkppppppppp??????212222111211P為列矢量和其中 λγγλ ??? ?? 線性變換X 第 75 頁(yè) 系數(shù)間的關(guān)系 設(shè)原基底下狀態(tài)方程表示為 ? ? ? ? ? ?tettt BA λλ ??dd經(jīng)變換后 ? ? ? ? ? ?tettt BγAPγP ?? ?? 11 dd或 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????tettettettytettetttDγCDγCPDC λBγAPBγP A Pγ????dd11?????????????DDCPCPBBP A PA11????D,C,B,ADC,B,A,???? 新矩陣系數(shù)原矩陣系數(shù)系數(shù)間的關(guān)系 X 第 76 頁(yè) 二．系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)陣在線性變換下是不變的 從本質(zhì)上講狀態(tài)方程式描述系統(tǒng)的一種方法，而系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)是描述系統(tǒng)的另一種方法。當(dāng)狀態(tài)矢量用不同基底表示時(shí)，并不影響系統(tǒng)的物理本質(zhì)，因此對(duì)同一系統(tǒng)不同狀態(tài)變量的選擇，系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)應(yīng)是不變的： ? ? ? ? ? ? DBAICDBAICH ?????? ?? 11 ????? sss上式以連續(xù)系統(tǒng)為例說(shuō)明狀態(tài)矢量線性變換的特性，結(jié)論同樣適用于離散系統(tǒng)。 X 第 77 頁(yè) 三． A矩陣的對(duì)角化 在線性變換中，使 A陣的對(duì)角化是很有用的變換。A矩陣的對(duì)角化，說(shuō)明系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變換成并聯(lián)結(jié)構(gòu)形式。這種結(jié)構(gòu)形式的每一狀態(tài)變量之間互不影響，因而可以獨(dú)立研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)狀態(tài)變量的影響。 在線性代數(shù)中已經(jīng)分析了 A矩陣的對(duì)角化。實(shí)際上就是以 A矩陣的特征矢量作為基底的變換。因而把 A矩陣對(duì)角化所需要的線性變換就是尋求 A矩陣的特征矢量，以次構(gòu)作變換陣 P，即可把狀態(tài)變量相互之間分離開。 X 第 78 頁(yè) 四．由狀態(tài)方程判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 用系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)由轉(zhuǎn)移函數(shù)的分母特征根位置來(lái)定出。如果給定為狀態(tài)方程，則由 A陣的對(duì)角化分析可知， A矩陣對(duì)角化后其對(duì)角元素是 A矩陣的特征值，特征值決定了系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)情況。因此可根據(jù) A矩陣的特征值來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。 ?連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷 ?離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷 X 第 79 頁(yè) 連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷 ? ? 0Re ?i?的特征值穩(wěn)定系統(tǒng)： A這需要解方程 0?? AIa轉(zhuǎn)移函數(shù)分母的特征多項(xiàng)式 0?? AIs此方程的根在 s平面上的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定情況，當(dāng)根落在 s平面的左半平面，可確定系統(tǒng)為穩(wěn)定的。 X 第 80 頁(yè) 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷 1?ia即系統(tǒng)的特征根位于單位圓 內(nèi) ，和連續(xù)系統(tǒng)相似，A矩陣的特征值和離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)特征多項(xiàng)式的根位置相同，所以他們的判定準(zhǔn)則也相同。 對(duì)于離散系統(tǒng)要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求 A矩陣的特征值 北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院 167。 系統(tǒng)的可控制性 與可觀測(cè)性 ?系統(tǒng)的可控性定義、判別法 ?系統(tǒng)的可觀性定義、判別法 ?可控、可觀性與系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)之關(guān)系 X 第 82 頁(yè) 一． 系統(tǒng)的可控性定義、判別法 可控性： 當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到容許的輸入量（即控制矢量），在有限的時(shí)間之內(nèi)把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向狀態(tài)空間的原點(diǎn)（即零狀態(tài)）。則系統(tǒng)是完全可控制的。如果只有對(duì)部分狀態(tài)變量可以做到這一點(diǎn)，則系統(tǒng)不完全可控制。 判別法 即 :當(dāng) A 為對(duì)角陣形式時(shí) , B 中的 0元素對(duì)應(yīng)不可控因素。 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ? ? ? ? ? ?tettt BA λλ ??ddX 第 83 頁(yè) 即 : 若有 ? ?BABAABBM 1k2 ?? |||| ?,則連續(xù)系統(tǒng)完全 可控的充要條件是 : M 矩陣滿秩。 M 稱為系統(tǒng)的可控制判別矩陣，即可控陣。 、單輸出系統(tǒng)可控性的 矩陣約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) A即：若在 為約當(dāng)規(guī)范型中，與每個(gè)約當(dāng)塊最后一行 A B相應(yīng)的那些行不含零元素，則系統(tǒng)完全可控。 X 第 84 頁(yè) 二．系統(tǒng)的可觀性定義、判別法 ? ? ? ? ? ?tettr DC ?? ?可觀性 當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述，給定控制后，能在有限的時(shí)間間隔內(nèi) 根據(jù)系統(tǒng)輸出惟一地確定系統(tǒng)的所有起始狀態(tài)，則系統(tǒng)是完全可觀。如果只能確定部分起始狀態(tài)，則系統(tǒng)不完全可觀。 ? ?10 tt ??可觀性判別法 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ? ? ? ? ? ?tettt BA λλ ??dd即 :當(dāng) A 為對(duì)角陣形式時(shí) , C 中的 0元素對(duì)應(yīng)不可觀現(xiàn)象。 X 第 85 頁(yè) 即 : 若有 ???????????????? 1 kCACACN?,則連續(xù)系統(tǒng)完全 可觀的充要條件是 : N 矩陣滿秩。 N 稱為系統(tǒng)的可判別矩陣，即可觀陣。 、單輸出系統(tǒng)可觀性的 矩陣約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) A即：若在 為約當(dāng)規(guī)范型中，與每個(gè)約當(dāng)塊第一行 A C相應(yīng)的那些列不含零元素，則系統(tǒng)完全可觀。 X 第 86 頁(yè) 三．可控、可觀性與系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)之關(guān)系 由轉(zhuǎn)移函數(shù)表達(dá)式： ? ? ? ?DBAICH ??? ? 1ss經(jīng)非奇異變換而對(duì)角化： ? ? ? ? ?????? ??????? ????? DBAICDBAICH 11 sss暫且不考慮與輸入信號(hào)直接相聯(lián)系的 ，則有： D? ? 0 0 0 00 0 , k211k21211?????????????????????????????? ??????????????????????????bbbsssc,ccssk???????????BAICHX 第 87 頁(yè) 上式展開為： ? ? ???????????????????ki iiikkksbcsbcsbcsbcs1222111???? ?H得出結(jié)論： ,則 s域上表現(xiàn)為 ? ?sH必有零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。 部分運(yùn)動(dòng)規(guī)律，不能反映不可控和不可觀部分的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（因?yàn)榱銟O點(diǎn)相消部分必定是不可控或不可觀部分，而留下的是可控或可觀部分）