實(shí)數(shù)集與函數(shù)具有某些特性的函數(shù)-資料下載頁(yè)
2024-08-31 14:51本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】調(diào)性、奇偶性與周期性.定義1設(shè)f定義在D上.若則稱(chēng)在上有上界；.上既有上界又有下界在上有界在易證DfDf?2fxx求證在上無(wú)上界有下界?12()(),.fxfxf特別有時(shí)稱(chēng)為嚴(yán)格增函數(shù)。12()(),fxfxfD有則稱(chēng)為上的減函數(shù);由在上為正值嚴(yán)格增,可知。22212121212,Rnnnnnxxxxy即.這就證明了在?????上也是嚴(yán)格在其定義域且有反函數(shù))(,11Dfff??類(lèi)似地嚴(yán)格減函數(shù)必有反函數(shù)且在其。事實(shí)上,若使f則與。由于及的嚴(yán)格增性必有即。數(shù)在上嚴(yán)格增,故對(duì)任意有理數(shù)。證明：當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)格增;當(dāng)例7. 設(shè)由的稠密性,證。必有即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)設(shè)定義3. 若.fD稱(chēng)為上的偶函數(shù)。例如是奇函數(shù),而。211ln12xxyxxy-是奇函數(shù)=-的反。f則稱(chēng)此最小正周期為的基本周期,簡(jiǎn)稱(chēng)周期.數(shù)以任意正有理數(shù)為周期，但沒(méi)有最小周期.
【正文】 有 .)( )(c ot00tt??????的斜率為 其中 是切線與 x 軸正向的夾角 ( 見(jiàn)下頁(yè)圖 ) . ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 22( ) ( ) 0 ,tt??????則稱(chēng)曲線 C 為 光滑曲線 . 光滑曲線的每一點(diǎn)都存在 , [ , ]? ? ? ?若在 上都存在連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,且 ΔyQOyxP Δx???C返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 1 求由參數(shù)方程 c o s , ( 0 , π)s in ,x a t ty b t?? ?? ??切線 , 且切線與 x 軸正向的夾角 ()tt? 是 的連續(xù) 函 數(shù) . 解 由公式 (2) 得到 ( 這是上半橢圓方程 ) 所確定的函數(shù) 的 ()y f x?導(dǎo)數(shù) , 并求此橢圓在 處的切線方程 . π 4t ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( ) c o s ,( ) s in .xy? ? ?? ? ???? ??d ( s in )dd c o t ,ddd ( c o s )y b t byx tttx a t a?? ? ? ??π4d .d tybax ? ??故所求切線為 : 22 ( ) .b b ayxa? ? ? ?例 2 若曲線 由極坐標(biāo)方程 ? ? ? (? ) 給出 , 則 C可以把它轉(zhuǎn)化成以極角 ? 為參數(shù)的參數(shù)方程 返回 后頁(yè) 前頁(yè) dd ,ddxy??如果 存在,0dd ??x且 則 d ( ( ) s in ) ( ) s in ( ) c o sd ( ( ) c o s ) ( ) c o s ( ) s inyx? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?( ) t a n ( ) . ( 3 )( ) ( ) t a n? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ?xOT? ?? HM??C?(3) 式表示的是曲線 )(??? ?線 MT 與極軸 Ox 的 ( , )M ??在點(diǎn) 處的切 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 向徑 ) 與切線 MT 的夾角 ? 的正切是 將 (3) 式代入 (4) 式 , 化簡(jiǎn)后可得 t a n t a nt a n t a n ( ) . ( 4 )1 t a n t a n??? ? ????? ? ??()t a n . ( 5 )()?????? ?夾角 ? t a n .?的正切 過(guò) M 的射線 OH ( 即點(diǎn) M的 徑的夾角 ? 是常數(shù) . 例 3 證明對(duì)數(shù)螺線 上所有點(diǎn)處的切線 與向 2e?? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 證 ,?因?yàn)閷?duì)每一 值a r c t a n 2 .常數(shù)所以這條曲線上任一點(diǎn)的切線與向徑的夾角等于 ()t a n()?????? ?22e1 e2???2,?O xHT??M?2e?? ?1
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1