冪函數(shù)、反函數(shù)與函數(shù)的性質復習教案-資料下載頁
2025-04-27 12:39本頁面
【正文】 設對于任意a∈[－1，1]，函數(shù)f ( x ) = x2 + (a－4)x + 4－2a的值總大于0，那么x的取值范圍是（ ）．(A) （1，3）(B) （－∞，1）（3，+∞）(C) （1，2）(D) （－∞，1）（2，+∞）（6）已知f ( x )為二次函數(shù)，且f (x+1) + f (x－1) =2x2－4x，那么的值=___________________．（7）函數(shù)y = f ( x )的圖象關于直線x = 1對稱，當x≤1時，f ( x ) = (x + 1)2－1，那么當x 1時，f ( x )的解析式為_______________________．（8）若函數(shù)f ( x ) = mx2+2mx +1的區(qū)間 [－3，2]上的最大值為4，求實數(shù)m的值．（9）在測量某物理量的過程中，因儀器和觀測的誤差，使得n次測量分別得到a1，a2，…，an共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測量的物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其他近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最?。来艘?guī)定，從a1，a2，…，a1推出的a =________．答案或提示（1） A．由 f ( x )+ g ( x ) =－x2+2x－3，∴ f (－x )+ g (－x ) =－(－x)2+2(－x)－3，∴ －f ( x )+ g ( x ) =－x2－2x－3，∴ f ( x )－ g ( x ) = x2+2x + 3 ．（2） D．作為選擇題，可對a = 0，－3，－2作檢驗后作選擇．對f ( x )單調性作研究，則應注意分a 0，a = 0，a 0三種情況考慮，可得a = 0或（3） C．討論f ( x )圖象的對稱軸相對于區(qū)間 [ 0，3 ]的位置，可得 或 或 由此解得 a = －2 ．（4） B．由于函數(shù)y = 3－x（x 0）的值域為（3，+∞）故令 可得 ，即 ．（5） B．把f ( x ) = x2 + (a－4)x + 4－2a變形后得：a (x－2) + x2－4x + 4 = g ( a )，且a∈[－1，1]．本題即g ( a )在[－1，1]上最小值 0，即 或 由此可解得x 3或x 1．（6） 0．設f ( x ) = ax2+bx +c（a≠0），則 f (x+1) + f (x－1) = a (x +1)2+b(x +1)+ c+ a (x－1)2+b(x －1)+ c = 2ax2+2bx+2a+2c =2x2－4x．∴ a = 1，b =－2，c=－1．∴ f ( x ) = x2－2x－1= (x－1)2－2，．（7） (x－3)2－1 ．∵ 點（x，y）關于直線x = 1的對稱點的坐標為 (2－x，y)．于是x 1時，f ( x ) = [(2－x)+1]2－1= (x－3)2－1．（8）f ( x ) = m ( x + 1)2 + 1－m ．當m 0時，f ( x ) 最大值為f ( 2 ) ，由f ( 2 ) = 4可得 ．當m 0時，f ( x ) 的最大值為f (－1 ) ，由f (－1 ) = 4可得m =－3．于是m的值為或－3．（9） （a1 + a2 +…+ an）．依題意，這里求使f ( a ) = (a－a1)2+(a－a2)2+…+(a－an)2取最小值時，a的值．由于 f ( a ) = na2－2(a1 + a2 +…+ an)a +，n∈N，故當 （a1 + a2 +…+ an）時，f ( a )最?。疁y試題：滿分100分，時間45分鐘一、選擇題(每題7分)1．，的大小關系是( )(A) cab(B) acb(C) bac(D) cba2函數(shù)f (x)=(x－1)2+2，g (x)=x2－1，則f [g (x)] ( )(A) 在[－2，0]上是增函數(shù)(B) 在上是增函數(shù)(C) 在[0，2]上是減函數(shù)(D) 在上是增函數(shù)3．已知函數(shù)，則它是( )(A) 奇函數(shù)(B) 偶函數(shù)(C) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(D) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)4．下列函數(shù)中，一定不存在的函數(shù)是( )(A) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(B) 即是奇函數(shù)又是減函數(shù)(C) 即是偶函數(shù)又有反函數(shù)(x≠0)(D) 兩個互為反函數(shù)的函數(shù)是同一函數(shù)5．設函數(shù)f (x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上是增函數(shù)，已知x10，x20，| x1|| x2|，那么( )(A) f (－x1)f (－x2)(B) f (－x1)= f (－x2)(C) f (－x1) f (－x2)(D) f (－x1)與f (－x2)大小不能確定二、填空題(每題7分)6．已知f (x)是奇函數(shù)，當x≥0時，f (x)=x2－2x，則當x0時，f (x)的表達式為_________7．函數(shù)y=|x|(1－x)的單調增區(qū)間為__________，單調減區(qū)間為_____________8．函數(shù)和的圖象關于直線y=x對稱， ，則___三、解答題(共44分)9．求證f (x)=(x－1)3在R上是增函數(shù)．10．設函數(shù)y=f (x)是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若f (t－1)+f (2t－1)0，求t的取值范圍．11．已知f (x)是R→R+的函數(shù)，且f (x+y)=f (x)f (y) (x、y∈R)．(1) 求f (0)；(2) 求f (x)與f (－x)的關系；(3) 證明是奇函數(shù)．測試題答案：一、1．D 2．B 3．A 4 C 5．C二、6．－x2－2x 7．；和 8．x2+2 (x≤0)．三、9．證明：設xx2∈R，且x1 x2，則f (x1)－f (x2)=( x1－1)3－(x2－1)3=( x1－x2) [(x1－1)2+( x1－1)( x2－1)+( x2－1)2]∵ x1 x2，∴ x1－x20．又若x2≠1時，．而當x2=1時，則x1x2=1，∴ x1－1≠0，則有．因而，總有∴ f (x1)－f (x2)0，即f (x1)f (x2)故函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù)．10．解：由已知，有f (t－1)=－f (1－t)則原不等式變?yōu)閒 (2t－1)－ f (t－1)=f (1－t) (*)∵ f (x)是(－1，1)上的奇函數(shù)，且在是減函數(shù)，∴ f (x)在(－1，1)上是減函數(shù)．(*)式等價于解得，．故t的取值范圍是．11．(1) 解：令x=0，y=0，則f (0)=[f (0)]2∴ f (0)=0或f (0)=1．∵ 函數(shù)f (x)的值域為R+，∴ f (0)=0應舍去，故f (0)=1．(2) 解：令y=－x，則f (x－x)=f (x)f (－x)，即f (0)= f (x)f (－x)，∴ f (x)f (－x)=1．(3) 證：函數(shù)g (x)的定義域是f (x)≠1的x值，設為A．則對任意x∈A，則f (－x)≠1，否則(2)不成立．因而－x∈A，于是有 ∴ 函數(shù)g (x)是奇函數(shù)．
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