【導(dǎo)讀】—通性通法，要教學(xué)生?，以不變應(yīng)萬變，不講或少講只能。對付一個或幾個題目的?但思維能力的提高不能拘泥于一招一式,應(yīng)該講?小巧固不足取，大巧也確實太難.對于大多數(shù)學(xué)生，還要重視有章可循的招式。由小到大，以小御大，小。題做大，小中見大.案例1：老師，你該告訴我們你是怎么想到的？延長交AB于F，求證：DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移動到等腰△ABC外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)BQ=CP仍然成立，請你就圖2給出證明。學(xué)生2：能得到，根據(jù)SAS定理。因此，本例應(yīng)讓學(xué)生默讀問題，明學(xué)生能在他人的解題思路的引領(lǐng)下，了解到問題的解答思路。但數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是尋找解題思路和突破解題的難點。理解他人解題的思路外，還應(yīng)針對不同學(xué)生的思維特點和能力，發(fā)獲得解決問題的策略，或幫助他們分析其思路受阻的原因，故此，問題解決后，教師應(yīng)組織學(xué)。發(fā)現(xiàn)與總結(jié)過程。純粹是一句廢話!

　　

【正文】 M處，點 C落在點 N處，MN與 CD交于點 P，連接 EP．隨著落點 M在 AD邊上取遍所有的位置（點 M不與 A、 D重合），△ PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由． B C A D M E F P N x 4x 4x y xyxyxxylxyyl M D P816)4(164422222?????????????五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 ，將邊長為 4cm的正方形紙片 ABCD沿 EF折疊（點 E、 F分別在邊 AB、 CD上），使點 B落在 AD邊上的點 M處，點 C落在點 N處，MN與 CD交于點 P，連接 EP．隨著落點 M在 AD邊上取遍所有的位置（點 M不與 A、 D重合），△ PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由． B C A D M E F P N G B C A D M E F P N G 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 2：一道拋物線中面積問題的本質(zhì) （ 2020廣東）已知關(guān)于 x的二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a0)的圖象經(jīng)過點 C(0,1),且與 x軸交于不同的兩點 A、 B,點 A的坐標(biāo)是（ 1， 0） （ 1）求 c的值； （ 2）求 a的取值范圍； （ 3）該二次函數(shù)的圖象與直線 y=1交于 C、 D兩點，設(shè) A、 B、 C、 D四點構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點 P，記△ PCD的面積為 S1，△ PAB的面積為 S2，當(dāng) 0a1時，求證： S1 S2為常數(shù)，并求出該常數(shù)。 O A B x C D P y 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 3： 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 課本采用度量斜邊和斜邊上的中線長度直觀地比較得出，這樣操作誤差較大，學(xué)生參與性不高。 方法 1：折紙法，把直角三角形紙片折成兩個等腰三角形，觀察折痕與斜邊的數(shù)量關(guān)系 … 。 方法 2：分割法，把直角三角形剪一刀，剪成兩個等腰三角形，應(yīng)該如何確定刀痕？ 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 2課時的例 2：一個六邊形如圖 1所示。已知 AB∥ DE,BC∥ EF,CD∥ ∠ A+∠ C+∠ E的度數(shù)。 圖 1FE DCBA該題讓眾多優(yōu)秀學(xué)生望而起步。實際上，先可以用特殊化思想將六邊形特殊為正六邊形，猜測到∠ A+∠ C+∠ E＝ 360176。 ，再用化歸的思想進(jìn)行論證 ,而化歸的關(guān)鍵是注意到各組對邊的平行關(guān)系，利用平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等，三角形的內(nèi)角和等于 180176。 … 進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 2課時的例 2：一個六邊形如圖 1所示。已知 AB∥ DE,BC∥ EF,CD∥ ∠ A+∠ C+∠ E的度數(shù)。 分析 1.（課本證明方法，如圖 2 ）注意到教材的前后聯(lián)系，可把六邊形化歸為四邊形，只要連結(jié)AD,可證 ∠ FAB=∠ EDC,同理可得， ∠ B=∠ E,∠ C=∠ ∠ A+∠∠ C+∠ E＝1/2 720176。 =360176。 。 4321圖 2FE DCBA 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 2課時的例 2：一個六邊形如圖 1所示。已知 AB∥ DE,BC∥ EF,CD∥ ∠ A+∠ C+∠ E的度數(shù)。 分析 3，延長 AF和 ED交于點 G，那么 ∠ BAG=∠ AGM=∠ GDC,以下同上。 分析 4，延長六邊形的各邊，可得三角形△ ∠ FAB+∠ DCB+∠ FED=2(x+y+z)=360176。 M圖 3GFE DCBAzz yxyx圖 4RQPFE DCBA 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 2課時的例 2：一個六邊形如圖 1所示。已知 AB∥ DE,BC∥ EF,CD∥ ∠ A+∠ C+∠ E的度數(shù)。 分析 5,分別過點 B,D,F作AF,BC,ED的平行線 ,易知 , ∠ A=∠ 1, ∠ C=∠ 2, ∠ E=∠ 3,而∠ 1+∠ 2+∠ 3=360176。 ,所以∠ A+∠ C+∠ E＝ 360176。 FEDCBA321圖 5 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 進(jìn)一步研究，如圖 7，我們還可以歸納出更一般的結(jié)論：一般地，在 2n邊形（ n為正整數(shù)）中，若 n對“相對”的邊互相平行，則互不相等的 n個角之和為（ n1） 180176。 . 這個問題的解法中，利用平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵，但圖形中的平行直線只畫出一部分線段，學(xué)生往往不能聯(lián)想到平行線的性質(zhì)（這些性質(zhì)在“三線八角”的完整圖形中學(xué)生很容易想到），說明平行線的本質(zhì)特征還未能深刻領(lǐng)會，基本圖形未得到完整的表征時，遇到不完整圖形，知識和性質(zhì)的聯(lián)想就有困難，思維就不連續(xù)。也就是說不深刻地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，就不能靈活應(yīng)用它。 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 5要及時總結(jié)解題的規(guī)律和方法 例 ，函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（ 1， 2），且與 x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為， x1， x2，其中 2 x1 1,0 x2 1,下列結(jié)論①abc0。② 4a2b+c0。③ 2ab0。.其中正確的有（ ） A. 0個， B. 1個， ， o22 1 1例 2.(09黃石 )函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象 (a ≠0) 的圖象如圖所示，下列結(jié)論① abc0。② 2a+b0。③ 4a2b+ c0。④ a+c正確的個數(shù)有（ ） A. 4個， ， ， o 2 1 1 ① 錯②對③對 ,難點是第④ a+c0,可從 a和 c的意義角度考慮 ,當(dāng)二次函數(shù)的開口方向和大小確定時 ,a的值也隨之確定 ,再通過平移圖象改變 c 值的大小 .所以 a+c的值有取正、負(fù)、 0的情況，如當(dāng)交點為x1=,x2=， a+c＜ 0。選 C ? 這類問題最近幾年較普遍地出現(xiàn)在各類考題中，它能較全面地考查函數(shù)基本性質(zhì)，充分發(fā)揮函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，如增減性與圖象的特征，突出了利用函數(shù)圖象溝通自變量與函數(shù)值這兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)圖象與解析式的關(guān)系，正確運(yùn)用函數(shù)圖象信息的能力等都有較高要求。具有較強(qiáng)的綜合性。 ? 這樣的問題其實是鞏固函數(shù)知識的很好載體教學(xué)中要引起足夠的重視。 ? 回憶鞏固基礎(chǔ)知識： 函數(shù)圖象能清楚地反映出函數(shù)中兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系在解析式中的表現(xiàn)就是關(guān)于系數(shù)的方程或者不等式 ? 提煉歸納解決問題的方法： ? 這類問題中的結(jié)論可分為三類， ? 一是利用圖象或已知條件中的信息（圖象經(jīng)過點（ 1，2）），可直接得出的結(jié)論，如系數(shù) a， c， b24ac，等的符號或滿足的等式。 ? 二是利用這些符號或不等式可以進(jìn)一步得出的結(jié)論，如 b的符號，本題中③ 2ab0等。此時 ,所用的方法是很重要的 !如本題中增加一個判斷不等式 2b3c+80是否成立，這可由② 4a2b+c0和圖象經(jīng)過點（ 1， 2）得到的等式 ab+c=2，消去 a得到。三 ? 三是象例 2的④判斷 a+c0，可以根據(jù)系數(shù) a,c的本質(zhì)特征結(jié)合題意得到解決。 53214圖 2FNMDEACB圖 1 A B D M C E F N 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 6:一個競賽題的多種解法 (07年太原市初中數(shù)學(xué)競賽第 6題）如圖 1,已知 AD為△ ABC的角平分線 ,AB＜ AC,在 AC上截取 CE=AB,M、 N分別為 BC、 AE的中點 ,求證：MN∥AD. 圖 1 探究上述思路的來源 ,關(guān)鍵是由中點 聯(lián)想 到中位線定理，由AB=CE進(jìn)一步聯(lián)想應(yīng)構(gòu)建以 AB、CE為底邊的三角形 ,從而發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的輔助線 ,形成思維路徑 . 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 解法 2（異曲同工）：如圖 2，過點 B作 MN的平行線與 CA的延長線交于點 F，由于點 M是 BC的中點，則 NA=NC，又因為 AN=EN，所以 FA=EC=AB，故 ∠ F=∠1 ，又∠ 2=∠3 ， ∠ F+∠1=∠2+∠3 ，故 ∠ F=∠3 ，所以 BF∥AD ，故 AD∥MN 。 321NAB CFMDE圖 2 D 解法 3. 如圖 3， 從圖形的結(jié)構(gòu)特點 進(jìn)行思考 .由于 AB=CE,但兩者的位置決定了它們無法形成有機(jī)的聯(lián)系 ,聯(lián)想到條件中的角平分線 AD,正好是建構(gòu)軸對稱的核心元素 ,因此 ,想到把△ ABD沿軸 AD翻折（如圖 2） ,于是 ,AB=AB’=CE,故有AE=CB’,從 M為 BC中點再聯(lián)想到中位線 ,但這時另一個中點 G（對稱點連線段 BB’與軸 AD的交點）的出現(xiàn)卻是恰到好處 ,于是 ,連結(jié) GM,自然就有 GM∥CB ’,且GM=CB’,由于 N為 AE的中點 ,則 GM=AN,故四邊形 AGMN為平行四邊形 ,則 AD∥MN. 圖 3 A B D M C N B’ E G 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 解法 4（從變與不變的邏輯關(guān)系思考） ：如圖 4，當(dāng)△ ABC確定后，根據(jù)條件，點 D、 M的位置也隨之確定，而 N點的位置又是由點 E惟一確定，所以若當(dāng)CE=AB時，有 MN∥AD ；那么反之當(dāng) MN∥AD 時，就應(yīng)有 CE=AB。于是，從這個角度看問題，最容易想到的是用 CN： AC=CM： CD來證明平行！ 不妨設(shè) AB=c， AC=b，則 CE=AB=c， ∵ N為 AE的中點， ∴ CN=(b+c)/2， 故 CN： AC=(b+c)/ M為 BC中點，故 CM=1/2BC，因此，要計算 CM： CD的值，只需找到 CD與 BC的關(guān)系即可，從而自然想到角平分線性質(zhì)， ∵ AD平分 ∠ BAC， ∴ CD:BD=b:c，則 CD:BC=b:(b+c)， 于是 CM： CD=(b+c)/2b， 故 CN： AC=CM： CD， ∴ MN∥AD 。 以上思路是從變與不變的邏輯關(guān)系 加以分析，充分暴露了問題的構(gòu)造 過程，揭示了結(jié)論形成的原因所在， 問題的本質(zhì)也就徹底顯現(xiàn)出來了。 E圖 4NMDAB C 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 強(qiáng)化變式引申，發(fā)展思維能力 變式教學(xué)作為中國數(shù)學(xué)教育的特色，有豐富的實踐與理論基礎(chǔ)。 它分 概念性變式 與 過程性變式 兩種（顧冷沅， 19771990，上海青浦實驗） 國外有馬頓的變異理論，伍德的腳手架理論，丹尼斯的可變性原理。 概念性變式 偏重對學(xué)生已獲得概念的多角度理解（從正、反兩方面） 過程性變式 偏重展示知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程，加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，提高知識與方法運(yùn)用的靈活性與深刻性。 過程性變式又可分為 水平變式與垂直變式 兩種（以認(rèn)知負(fù)荷的變化為依據(jù)） 雙基可以通過水平變式得以鞏固（形變實不變），垂直變式則可以發(fā)展學(xué)生的探究能力。 圓周角概念辨析 概念圖式 非概念圖式 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 水平變式： A B C D P O A B C O P A B C D O 垂直變式： 已知△ ABC中 ,AB=8,S△ ABC =12,D為 AB上一點， DE∥BC ，設(shè) AD為 x， … x A B C D E A B C D E F A B C D E F H S1 S2 ? 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 課堂教學(xué)中要合理安排變式練習(xí)，一般水平變式題 2—3道，垂直變式題1—2道，設(shè)計變式練習(xí)時要特別關(guān)注學(xué)生已有水平與新問題之間的潛在距離，設(shè)計出在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的問題（認(rèn)知負(fù)荷在學(xué)生的可接受范圍內(nèi)），以便使知識與方法產(chǎn)生理想的遷移。 鋪墊與腳手架的區(qū)別說明 ? 有層次的推進(jìn) ? 腳踏實地 ? 目標(biāo)驅(qū)動 ? 途徑 單一 ,進(jìn)度不同 ? 跳來跳去 ? 風(fēng)險大 ? 活動驅(qū)使 ? 多種途徑，多種進(jìn)度 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 ① 簡單替換：將課本例題、習(xí)題中的數(shù)字或事件背景替換； ②條件結(jié)論交換：對于簡單的命題，可以從原命題、逆命題兩方面考慮變式； ③引申發(fā)展：課本例題、習(xí)題解決后，首先看是否還有其他的結(jié)論？其次研究是否可以 “ 類化 ” ，即是否滿足某種典型問題的一般形式，結(jié)論是否可以一般化； ④疊加：將課本同類的幾個簡單例題、習(xí)題進(jìn)行疊加，形成一個新的問題； ⑤弱化條件：將原來結(jié)論固定的命題，弱化條件（去除、變?nèi)酰?，往往可以使問題的結(jié)論不固定，結(jié)論開放。 形成變式問題的常用思路 :