【正文】 “ 擬定計劃 ” 、 “ 實現(xiàn)計劃 ” 、 “ 回顧反思 ” 四部分。 雖然這張表不是萬能的，但在解決問題時確實可起到 “ 啟發(fā)與指導的 作用 ” ?？梢哉f到現(xiàn)在為止是我們在指導學生解決數(shù)學問題時最有效的啟發(fā)指導法。 著名的現(xiàn)代數(shù)學家瓦爾登在 1952年月 2日瑞士蘇黎世世界數(shù)學教育家大會的致詞中就曾說過 ” 每個大學生，每個學者 ,特別是每個教師都應該讀這本引人入勝的書 ” ,對這本書給予了高度的評價 .今天 ,人們公認 ,在數(shù)學解題研究方面 ,波利亞是一面旗臶 ,他作出了劃時代的貢獻 . 波利亞說 :我們把工作分為四個階段。 首先，我們必須了解問題；我們必須清楚地看到要求的是什么 ? 其次，我們必須了解各個項之間有怎樣的聯(lián)系 ?未知數(shù)和已知數(shù)據(jù)之間有什么關(guān)系 ?為了得到解題的思路，應該制定一個計劃。 第三，實現(xiàn)我們的計劃。 第四，我們回顧所完成的解答，對它進行檢查和討論。 波利亞的例題 一個作圖題 :在給定三角形中作一正方形。正方形的兩個頂點在三角形的底邊上，另二個頂點分別在三角形的另兩邊上。 他是這樣啟發(fā)引導的： 二、加強對波利亞解題思想的理解 “未知的是什么 ?” “一個正方形 ” “ 已知數(shù)據(jù)是什么 ?” “一個給定的三角形，其它沒有。 ” “ 條件是什么 ?” “正方形的四個角在三角形的邊線上，兩個在底上，其余兩邊每邊上有一個。 ” “ 是否可能滿足條件 ?” “我想如此，但不太有把握。 ” “ 看起來，你解此題并不太容易。如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關(guān)的問題。你能滿足部分條件嗎 ?” “你說部分條件是什么意思 ?” “你看，條件與正方形的所有頂點有關(guān)，這里有幾個頂點 ?” “四個。 ” 二、加強對波利亞解題思想的理解 “所謂部分條件涉及的頂點數(shù)應當少于四個。請僅僅保持部分條件而舍去其余部分。什么樣的部分條件容易滿足 ?” “兩頂點在三角形邊線上，甚至三個頂點都在三角形邊線上的正方形，是容易畫出來的 !” “畫張圖 !”學生畫出圖 2。 “ 你僅僅保留了部分條件， 同時你舍去了其余條件?，F(xiàn)在 未知的確定到了什么程度 ?” “如果正方形只有三個頂點在三角形 的邊線上，那么它是不確定的。 ” “ 好 !畫張圖。 ” 學生畫出圖 3。 “ 正象你所說的，保持部分條件不能確定正方形、它會怎樣變化呢 ?” 圖 2 圖 3 二、加強對波利亞解題思想的理解 “你的正方形的三個角在三角形的邊線上，但第四個角還不在它應該在的地方。正象你說的，你的正方形是不確定的，它能變化；第四個角也是這樣，它怎樣變化 ?”…… “如果你希望的，你可以用實驗的辦法試試看。按照圖中已有的兩個正方形的相同辦法，去畫出更多的三個角在邊線上的正方形。畫出小的正方形與大的正方形。第四角的軌跡看起來象是什么 ?它將怎樣變化 ? 至此 ,教師已把學生帶到非常接近于 解答的地方了。如果學生能猜到第 四個角的軌跡是一條直線，他就 得到這個主意了。 波利亞認為 ,學生除必須掌握邏輯分析方法外 ,還必須掌握探索性思維方法 ,波利亞致力于探索解題的一般規(guī)律 ,將他自己數(shù)十年的教學與科研集中具體地表現(xiàn)在怎樣解題表上 . 二、加強對波利亞解題思想的理解 對于波利亞的解題表及有關(guān)作，人們從不同的角度闡發(fā)了他解題的思想本質(zhì)、真諦和核心。歸結(jié)煨個要點： 程序化解題系統(tǒng)。 解題表，就 “ 怎樣解題 ” 、“ 教師應教學生做些什么 ” 等問題，設計了一個 4步驟的程序 ——弄清問題 … 。 啟發(fā)式的過程分析。 波利亞就其本人在學生時代解決問題過程的體會，結(jié)合教學實際，對典型例題進行了符合思維實際的啟發(fā)。 開放型的念頭誘發(fā)。 念頭就是開展積極有效的思維活動。 探索性的問題轉(zhuǎn)換。 問題轉(zhuǎn)換也叫 “ 變化問題 ” 、 “ 題目變更 ” ，它揭示了探索解題思路的途徑與實質(zhì)。 二、加強對波利亞解題思想的理解 ? 米山國藏指出 : 在學校學的數(shù)學知識 ,畢業(yè)后若沒什么機會去用 ,一兩年后 ,很快就忘掉了 .然而 ,不管他們從事什么工作 ,唯有深深銘刻在心中的 數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等 ,卻隨時隨地發(fā)生作用 ,使他們終生受益 . ? M勞厄爾也指出：教育的真諦是 “ 所有學會的東西都忘卻了以后仍然留下來的那些東西 ” ． 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 數(shù)學思想是指人們對數(shù)學理論和內(nèi)容本質(zhì)的認識，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體表現(xiàn)形式。兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是所站的角度不同。通常稱為 “ 數(shù)學思想方法 ” 。數(shù)學思想較之于數(shù)學基礎知識及常用數(shù)學方法又處于更高層次，它來源于數(shù)學基礎知識及常用的數(shù)學方法 , 在運用數(shù)學基礎知識及方法處理數(shù)學問題時，具有指導性的地位。 常見的數(shù)學思想為： 轉(zhuǎn)化（化歸）、分類討論、數(shù)形結(jié)合、歸納、類比、整體、模型思想等 ,而基本方法則涉及配方法 ,待定系數(shù)法 ,換元法 ,面積法 ,圖形變換 ,反證法等等 . 數(shù)學思想方法一般具有內(nèi)隱的特點，因此，教學時需要以問題為載體，設計出一條內(nèi)隱到外顯的邏輯通道。 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 教師對數(shù)學思想方法的內(nèi)涵要有深入的理解 ,認識到數(shù)學思想在解題中的 定向功能、聯(lián)想功能、構(gòu)造功能和模糊延伸功能 。 在解決問題的過程中，教師 要有滲透思想方法的意識 。 在解法上 ,把精力要花在 誘導學生怎樣去想，怎樣確定解題路徑上，臵數(shù)學思想方法的運用于解題的核心位臵 。 在具體的解法上要 注意通性通法的運用 ,要注意回顧和總結(jié) . 要使學生把數(shù)學思想方法內(nèi)化成自己的觀點并應用它來解決問題 .作為教師，首先要 弄清楚教材內(nèi)容，特別是例、習題中所蘊含的數(shù)學思想方法以及它與數(shù)學相關(guān)知識之間的聯(lián)系，并適時作出歸納和概括。 在具體的教學活動中，以恰當?shù)姆绞胶蜁r機揭示數(shù)學思想方法，使學生能體會、感悟 ,逐漸的理解、領(lǐng)會、內(nèi)化，并進行正確的運用。 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 一、關(guān)于配方法 配方法就是利用完全平方公式對代數(shù)式進行恒等變形，再利用非負數(shù)的特性進行解題的方法 .它在計算代數(shù)式的最值、確定代數(shù)式的取值范圍與解方程中都有很重要的應用。 請思考下列問題： 為什么要配方，理由是什么？ 什么問題可用配方法解決？ 用配方法解決問題時要注意什么問題？ 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 一、關(guān)于配方法 基本功能 1：變換形式。 即保持恒等而改變數(shù)學式的形狀與結(jié)構(gòu)，就是為著期望的目標去轉(zhuǎn)換信息，改變情境，促使隱蔽的條件明朗化，把問題的本質(zhì)暴露出來。如：求值、解方程、因式分解等。 基本功能 2：在實數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生非負數(shù)。 如：已知 x2+xy+y2=19,求 x2+y2的最大值、最小值。 19=3(x2+y2)/2(xy)2=3(x2+y2)/2, 19=(x2+y2)/2+(x+y)2=(x2+y2)/2,…..38/3,38 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 案例：有一次聽一個老師講八下 “ 一元二次方程的解法（ 2） ”（用配方法解一元二次方程）， 例 : （本課只有一個例題） (1) (2) 講解配方法的一般程序和歸納之后，然后是同類題操練 ,掌握用配方法解一元二次方程的技能 .教學內(nèi)容結(jié)束時還有約 15分鐘時間 ,老師補充了下列問題 : (1)多項式 的最小值為 . (2)怎樣的整數(shù)滿足不等式 a2+3b2+6＜ 2ab8b. (3)說明代數(shù)式 2x2x21的值恒小于 0. 老師對這些問題給出了解答 ,但是沒有說明為什么這些問題可以用配方法解決 ?配方法能解決此類問題的依據(jù)是什么？ 這樣的教學從思想方法的滲透上來說是不夠的，學生靈活應用配方法解決問題的遷移能力得不到提高 . 0342 2 ??? xx 0383 2 ??? xx78622 ???? yxyx 二、關(guān)于待定系數(shù)法 有些數(shù)學題中 ,涉及的幾個量具有 確定的結(jié)構(gòu)式 ,這時可以根據(jù)題意 假設結(jié)果的結(jié)構(gòu)式 ,再根據(jù)已知條件 ,求出這個結(jié)構(gòu)式的未知系數(shù) ,使問題得以解決 .其中待確定的系數(shù)叫待定系數(shù) ,這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法 . 初中階段涉及到的函數(shù)學習中要確定函數(shù)的解析式 ,所以待定系數(shù)法就有廣泛的應用 . 但具體在函數(shù)的教學中，不能只為教方法而教方法。k,a,b,c等系數(shù) 的意義一定要使學生有深刻的理解。 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 案例：我這樣教待定系數(shù)法 (八上一次函數(shù) )某地區(qū)從 1995年底開始 ,沙漠幾乎每年以相同的速度增長 .據(jù)有關(guān)報道 ,到 2020年底 ,該地區(qū)的沙漠面積已從 1998年底的 . (1)可選用什么數(shù)學方法來描述該地區(qū)的沙漠面積的變化 ? (2)如果該地區(qū)的沙漠化到不到治理 ,那么到 2020年底 ,該地區(qū)的沙漠面積將增加到多少萬公頃 ? 分析 :這個問題中涉及的量有 :1995底的沙漠面積 , 每年以相同的速度增長的沙漠面積 ,1995年到 2020年經(jīng)歷的年數(shù) ,2020年底的沙漠面積 . 它們應滿足的關(guān)系是 : 2020年底的沙漠面積（ y） = 每年以相同的速度增長的沙漠面積（ k） 1995年到 2020年經(jīng)歷的年數(shù)（ x） +1995底的沙漠面積（ b） ,即 y=kx+ ,可選用一次函數(shù)來描述該地區(qū)沙漠面積的變化 . 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 問題 :如圖 1,兩摞相同規(guī)格的飯碗整齊地疊放在桌面上 ,圖 1 請根據(jù)圖中給的數(shù)據(jù)信息 ,解答下列問題： (1)可選用什么數(shù)學模型來反映整齊擺放在桌面上飯碗高度 (cm)的變化情況？ (2)把這兩摞飯碗整齊地擺成一摞時 ,這摞飯碗的高度是多少？ 圖 1 T:同學們 ,上節(jié)課我們通過分類比較 ,概括了一次函數(shù)的一般形式 ,哪一般形式是什么 ? S1:y=kx+b(k≠0, 且 k,b均為常數(shù)） . T:很好 .但對于具體的每個一次函數(shù)而言 ,它的都應該是惟一確定的 .那么如何根據(jù)條件來確定它們呢 ?請首先看一個問題 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 S2:飯碗的高度隨著碗的只數(shù)的變化而變化 ,應該用函數(shù)模型來反映 . T:哪應該是什么函數(shù)呢？你能求出它的函數(shù)解析式嗎？ S3:飯碗的高度就是一個碗的高度 +碗疊放后增加的高度 ,好像應該是一次函數(shù) . S4:… 一個碗的高度 +每加一個碗的增長高度 (碗的總只數(shù) 1). T:那這兩個常數(shù)能求出來嗎 ? 如果設飯碗的高度為 y,飯碗的只數(shù)為 x(只 ),你能寫出函數(shù)解析式嗎 ? S5:這容易 . 每加一個碗的增長高度就是 ()247。 3=(cm),則一個碗的高度就是 =6(cm),所以 y=(x1)+6. T:同學們都明白了嗎 ?既然經(jīng)過分析 ,我們確定了這個函數(shù)是一次函數(shù)模型 ,那么對照一次函數(shù)的一般形式 ,在這個問題中分別是指什么呢 ? S6:k是指每加一個碗的增長高度 ,b指的是一個飯碗高度 . 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 T:在此問題中 ,我們對賦予了實際意義 ,有助于大家能更深刻理解的作用 .但剛才是利用的實際意義直接計算出它們的值 ,用的是算術(shù)方法 .那么 ,是否還有別的方法可以求出這兩個未知系數(shù) ? S7:可以利用列方程組求解 .即當時 x=4,y=。 當 x=7時 ,y=15,代入到解析式 , 有 4k+b=,7k+b=15. 解得 k=,b=，所以 y=+. T:S7同學的方法是把這個問題中待確定的兩個常數(shù)看作兩個未知數(shù) ,從而運用條件構(gòu)建二元一次方程組求解的方法 ,我們稱之為 ? 待定系數(shù)法 ? .當然 ,運用這種方法需要先明確所求函數(shù)是哪一類函數(shù) ,這樣才能設出相應的函數(shù)解析式 .請一個同學概括一下這種方法的一般步驟 .(余略 ) 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 例 .甲、乙二人同時從 A地出發(fā)，沿同一條道路去 B地，途中都使用兩種不同的速度 v1與 v2(v1＞ v2)，甲前一半的路程使用速度v后一半的路程使用速度 v2；乙前一半的時間使用速度 v2， 后一半的時間使用速度 v1。 （ 1）甲、乙二人從 A地到達 B地 的平均速度各是多少（用 v1和 v2表示 )？ （ 2）甲、乙二人誰先到達 B地 ?為什么？ （ 3）如圖是甲從 A地到達 B地的路程 s與 時間 t的函數(shù)圖像，請你在圖中畫出相應 的乙從 A地到達 B地的路程 s與 t時間的函數(shù) 圖像 . B A t s 中點 C 甲 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 方法 1:如圖 1,聯(lián)結(jié) BD并延長與過點 A且平行于 DF的直線相交于點 E,再過點 E作 AD的平行線 ,則折線 AEG即為所求 . 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法