【文章內容簡介】 G F E D 圖 1 F 方法 2:如圖 2, 過點 A作 DF的平行于 AE,過點 D作橫軸的垂線與 AE交于點 I,取線段 DI的中點 H,作直線 AH與過點 B的直線相交于點 G,再過點 G作 AD的平行線與 AE交于點 E,則折線 AEG即為所求 . 從廣義上理解，待定系數(shù)法的本質就是先尋求問題中的幾個量應該滿足的關系 .然后再利用條件進行求解。因此，從這個意義上講，代數(shù)學區(qū)別于算術方法的本質就在于此。 算術方法： 幾個 已知量 求 未知量 直接求解著眼于 求 幾個 已知量 代數(shù)方法： 未知量 溝通關系：列方程、不等式，函數(shù) 間接求解著眼于 找 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 例 1：江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水， 40分鐘可抽完；如果用 4臺抽水機抽水， 16分鐘可抽完，如果要在 10分鐘內抽完水，那么至少需要抽水機 臺 . 這個問題中的幾個量應該具有的關系式是 : 被抽走的水量 =涌出的水量 +原有的水量 . 即：抽水時間 (t) 抽水機的臺數(shù) (x)=抽水時間 (t) 每分鐘涌出的水量 (a)+原有的水量 (p).即 :tx=ta+p 例 2.(1)如果多項式 x2(a+5)x+5a1能分解成兩個一次因式 (x+b)與 (x+c)的乘積 (b,c為整數(shù) ),則 a值應為多少 ? (2)設 (3x2+3x7)100=a0+a1x+… +a200x200,求s0=2(a0+a2+… a198+a200)的值 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 例．（ 07年杭州市中考）三個同學對問題 ? 若方程組 的解是 ，求方程組 的解。 ? 提出各自的想法。 甲說： ? 這個題目好象條件不夠，不能求解 ? ； 乙說： ? 它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試 ? ； 丙說： ? 能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以 5，通過換元替換的方法來解決 ? 。 參考他們的討論，你認為這個題目的解應是 。 ???????222111cybxacybxa?????43yx???????222111523523cybxacybxa三、換元法 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 四、轉化（化歸）思想 ——學數(shù)學本質上就是學轉化 遵循陌生 → 熟悉；復雜 → 簡單原則 如：高次 → 低次；多元 → 一元； 方程、不等式與函數(shù)互化；數(shù)形互化； 不規(guī)則圖形 → 規(guī)則圖形；分散條件 → 聚集條件等等 例 求方程 的解的個數(shù)。 02223 ??? xx例 求方程 的正整數(shù)解 . 65111 ???cba三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 五、數(shù)形結合思想 （華羅庚）數(shù)缺形時少直觀 ,形少數(shù)時難入微 。 數(shù)形結合百般好 ,隔離分家萬事休！ 例 .已知 232,10,10,1 ????????? zyyxzyx 且zyxM 452 ???求 的最大值與最小值 y=x+ 1 x 1 y O y=2x+M4 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 y ≥ x+ ≤y≤1, 0≤x≤ Y=2x+M4 最大值 5， 最小值 4 例、若 2x+y≥1，試求函數(shù) w=y22y+x2+4x的最小值。（數(shù)學通訊 1988年第 1期 ) 分析： 若用純代數(shù)的配方、消元等方法求解，顯然是繁雜的。注意到 2x+y≥1為坐標平面內的一個區(qū)域，所求即為 (x+2)2+(y1)2=w+5.——數(shù)形結合法 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 O’(2,1) 1 y=2x1 O A(2/5,9/5) 1/2 五、數(shù)形結合思想 例 . 已知 x,y為正數(shù)，當 x+y=12時 ,求 的最小值。 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 41 22 ??? yxP A C M D B 1 4 x y 六、分類思想 分類 ——研究世界的基本方法 分類：為什么要分類？怎么分類？ 數(shù)：正數(shù)， 0，負數(shù) —運算律； 方程、不等式、函數(shù) ——確定類型，用相應性質解決 圖形形狀及位置的不同 ——明確圖形 分類的方法： 相稱性：把分類對象明確地分為若干類 ,使被分對象中每一個對象都屬于且只屬于其中的一類 。 同一性 .即不重不漏 . 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 例 x1,x2,x3,… ,x2020是整數(shù)，且滿足下列條件： ① 1≤x n≤2 ， n=1， 2， 3， … ， 2020； ② x1+x2+… +x2020=200； ③ x12+x22+… +x20202=2020. 求 x13+x23+… +x20203的最小值和最大值 . 例 y=2x24ax+a2+2a+2. （ 1）通過配方，求當 x取何值時， y有最大或最小值，最大或最小值是多少？ （ 2）當 1≤x≤2 時，函數(shù)有最小值 a所有可能取的值。 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 例 3. 已知等腰三角形 ABC,高 AD恰好等于 BC的一半 .求∠ BAC的度數(shù) . 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 AD 是腰上的高 ，且在形外AD 是腰上的高 ，且在形內AD 是底邊上的高CDCBADDBACBA 例 ，已知△ ABC中， ∠ C=90 186。， AC=6cm，BC=8cm，點 P在斜邊 AB上移動 .當△ ACP是等腰三角形時 ,求 BP的長． 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 圓，圓，中垂線！ 例 5.（ 08浙江）如圖，在平面直角坐標系中，矩形 OABC的兩邊分別在 x軸和 y軸上， OA＝ 10厘米， OC＝ 6厘米，現(xiàn)有兩動點 P， Q分別從 O， A同時出發(fā)，點 P在線段 OA上沿 OA方向作勻速運動，點Q在線段 AB上沿 AB方向作勻速運動，已知點 P的運動速度為 1厘米／秒． （ 1）設點 Q的運動速度為 ／秒，運動時間為 t秒， ①當△ CPQ的面積最小時 ,求點 Q的坐標； ②當△ COP和△ PAQ相似時 ,求點 Q的坐標． （ 2）設點 Q的運動速度為 a厘米／秒， 問是否存在 a 的值 ,使得△ OCP與△ PAQ 和△ CBQ 這兩個三角形都相似？若存在， 請求出 a 的值，并寫出此時點 Q 的坐標； 若不存在，請說明理由． 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 七、從特殊到一般思想（歸納推理或合情推理） ——尋求解題思路的基本策略 例 1.（河內塔問題）如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片。按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。每次只能移動 1個金屬片，且較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。試推測：把 4個金屬片從 1號針移到 3號針最少需要移動 次，把 10個金屬片從 1號針移到 3號針最少需要移動 次。 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 72n1 四、提高學生解題能力的四要素 ▲ 建立明確的基本概念； ▲形成常用的基本技能； ▲學會正確的思維方法； ▲養(yǎng)成良好的反思習慣。 例 、乙、丙三種貨物，若購甲 3件，乙 7件，丙 1件，共需 315元 。若購甲 4件，乙 10件，丙 1件，共需 410元，現(xiàn)購買甲、乙、丙各一件，共需多少元？ 解：設甲、乙，丙的單價分別是 x,y,z元，則由題意得， ?????????4 101043 1573zyxzyx?????????????410)3(3)(315)3(2)(yxzyxyxzyx?????????zyxzyx4 101043 1573 ( 3 7 ) ( 4 10 ) 31 5 42 03 4 ( 7 10 ) ( ) 31 5 42 0x y z kx y z x y zx y z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?目 標 ：平 面 系 ：即 （ ） 四、提高學生解題能力的四要素 例 2.（一道經典幾何題） DEIFGHAB CJk??????DEIFGHAB C 四、提高學生解題能力的四要素 例 2的拓展：向外作矩形， AB=kAH,AC=kAF,試探究HE與 EF的數(shù)量關系？ EGIAB CHFDββγγααEGIAB CHFDJ 四、提高學生解題能力的四要素 例 x1,x2是實系數(shù)二次方程 x22mx+m+2=0的兩根； （ 1） m為何值時， x1=x2。 （ 2） m為何值時， x12+x22有最小值，且最小值為多少？ 兩種思維水平的處理： 水平一、 把問題（ 1）看成判別式的應用△ =4（ m+1)(m2)=0 把問題（ 2）看成是韋達定理及判別式的應用 即 x12+x22=4（ m1/4)217/4，由△ ≥ 0，得 m≤ 1或 m≥2。 水平二、 把問題（ 1）看成 m的應用題，為解應用題需要列方程，為找等量關系，才用判別式 =0（并非必須） ①等量關系：△ (m)=0。② 方程 4（ m+1)(m2)=0 ； ③解方程； 把問題（ 2）看做是函數(shù)的最值問題，為求最值，需求定義域；為找關系用韋達定理；為找定義域，用到了方程的判別式非負。 分析：對比這兩種思維水平，所用到的知識相同，結果也都正確。但水平一仍停留在感性概括和簡單應用的階段；水平二則抽象到較為恰當?shù)某潭龋捎谒蕉堰@兩個具體問題歸納到中學階段最重要的知識體系：方程與函數(shù)上，運用方程與函數(shù)的觀點去解決問題，既如魚得水，又勢如破竹。隨著學習內容的增加，學習難度的增大，兩種思維水平的差距將明顯拉開。 四、提高學生解題能力的四要素 例 1. 命題：任何三角形都是等腰三角形 A B C O D E k M N 畫準確圖形的重要性 ！ 五、充分提高例（習）題的教育價值 思維發(fā)展應該具有： ?深刻性、廣闊性、靈活性、敏銳性、創(chuàng)造性、批判性?。 因此，例題講解時要做到? 一題多解，多題歸一 ?，防止? 熟能生笨，熟能生厭 ?（李士錡 ,數(shù)學教育學報 ,1999(3)(4)). 多講背景聯(lián)系（來龍去脈）、少掐頭去尾燒中段； 多啟發(fā)通性通法，少灌輸技巧技法； 多挖掘本質特征，少進行題海訓練； 多注意變式引申，少一些簡單重復。 中國數(shù)學界的有效經驗 《 華人如何學數(shù)學 》 ,江蘇教育 ,2020(10) 記憶通向理解；速度贏得效率； 嚴謹形成理性；重復依靠變式。 五、充分提高例（習）題的教育價值 講背景、多聯(lián)系 )0(ba( 2 ))0,0()1(?????????????fdbbafdbecafedccabcbcaba＞＞＞＜ D A C E B ba c c F 五、充分提高例（習）題的教育價值 （ 3） 引例 如圖 1所示 ,有一塊銳角三角形余料 ABC,它的邊 BC=12, 高線 AD=8,現(xiàn)要把它加工成正方形零件 ,使正方形的一邊在 BC上 , 其余兩個頂點分別在 AB,AC上 .問加工成的正方形邊長為多少 ? 例 1 已知△ ABC中 ,BC=12,BC邊上的高 AD=8, 若并排放置的 2個相等的小正方形組成的矩形 ,內接于△ ABC(如圖 2),則小正方形的邊長為 多少 ? 并排放置 3個小正方形呢 ?如