【正文】 對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的 認識與思考 舟山南海實驗初中 鄭偉君 \張宏政 : 。 T:(0580)2091040； 2091115 “問題是數(shù)學(xué)的心臟 ,數(shù)學(xué)是思維的體操 ” 數(shù)學(xué)教學(xué)實際上就是伴隨著解題（載體）來提高學(xué)生的思維能力的！ 對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的認識與思考 著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家項武義先生說，教數(shù)學(xué)要教給學(xué)生 ? 大巧 ? — 通性通法，要教學(xué)生 ? 運用之妙，存乎一心 ? ，以不變應(yīng)萬變，不講或少講只能對付一個或幾個題目的 ? 小巧 ? . 但思維能力的提高不能拘泥于一招一式 ,應(yīng)該講 ? 一般有用的方法 ? 小巧固不足取，大巧也確實太難 . 對于大多數(shù)學(xué)生，還要重視有章可循的招式。 由小到大，以小御大，小題做大，小中見大 . 對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的認識與思考 一、解題教學(xué)必須讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 二、教師應(yīng)加強對波利亞解題思想的理解 四、提高學(xué)生解題能力的要素分析 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 六、解題錯誤分析 案例 1：老師，你該告訴我們你是怎么想到的？ 問題 :已知：如圖， H為△ ABC內(nèi)任意一點，連結(jié) AH并延長交 BC于 D，連結(jié) BH并延長交 AC于 E，連結(jié) CH并延長交 AB于 F，求證： DH/AD+EH/BE+HF/CF=1. A B D C F E H 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” A B D C F E H 變證為猜！猜 DH/AD+EH/BE+HF/CF=? 一般問題 ——特殊化方法 ——類比思想 ——回歸特殊問題 ——一般結(jié)論 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 2：這樣的啟發(fā)有用嗎？ 問題：如圖 1，已知△ ABC中， AB=AC,P是△ ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞點 A順時針旋轉(zhuǎn)至 AQ，使 ∠ QAP=∠ BAC，連結(jié) BQ， CP，則BQ=CP”小亮是一個愛動腦筋的同學(xué)，他通過分析證明了△ ABQ≌ △ ACP，從而證得 BQ=CP之后，將點 P移動到等腰△ ABC外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn) BQ=CP仍然成立，請你就圖 2給出證明。 A B C P Q 圖 1 A B C Q P 圖 2 （教師把題目朗讀了一遍后，便引導(dǎo)學(xué)生進行分析 …… ） 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” A B C P Q 圖 1 A B C Q P 圖 2 教師：如圖 2， AQ是由 AP旋轉(zhuǎn)得到的，因此它們之間的關(guān)系是怎樣的呢？ 學(xué)生 1：相等。 教師：由 ∠ QAP=∠BAC 可得 ∠ QAP+∠BAP=∠BAC+∠BAP, 于是有 ∠ QAB=∠PAC ，題中還有一個已知條件是 AB=AC，那么能否得到△ ABQ≌ △ ACP呢？為什么？ 學(xué)生 2：能得到，根據(jù) SAS定理。 教師：這樣我們便知 BQ=CP仍然成立。 案例 2：這樣的啟發(fā)有用嗎？ 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 這種 “以教師的讀題來代替學(xué)生對問題的自主閱讀”的教學(xué)現(xiàn)象和 “以為教師對問題已經(jīng)理解便認為學(xué)生也就能明確問題所提供的條件信息和目標信息” 的教學(xué)觀念，在日常的課堂教學(xué)中實在比較常見。但學(xué)生是否“ 明確了問題所提供的條件信息和目標信息，并在頭腦里建立起問題的表象 ”了呢？這些都是學(xué)生進行數(shù)學(xué)問題解決的第一步，也是至關(guān)重要的一步。否則學(xué)生扮演的無非是教師的“同聲筒”角色，這樣的教學(xué)，是無法產(chǎn)生理想的教學(xué)效果的。實驗表明，對于數(shù)學(xué)題而言， 教師的有聲讀題在引起學(xué)生注意力水平上低于學(xué)生默讀 。因此，本例應(yīng)讓學(xué)生默讀問題，自主分析題中信息，并嘗試用自己的語言解釋題目中的信息。 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 教學(xué)中教師常發(fā)出信息： 你們都聽懂了嗎？ 收到學(xué)生回復(fù)的信息也常是： 聽懂了。 于是教師便以為學(xué)生真的懂了。其實，“聽懂”與“真懂”之間仍有著明顯的差距。 “聽懂了”僅表明學(xué)生能在他人的解題思路的引領(lǐng)下，了解到問題的解答思路。但數(shù)學(xué)問題的 關(guān)鍵是尋找解題思路和突破解題的難點。 若學(xué)生不能真正領(lǐng)悟解題思路的獲得過程，那么，除了當時在解題思路上相互之間產(chǎn)生共鳴的學(xué)生外，對于其他學(xué)生，尤其是對于那些理解能力較弱的學(xué)生，當他們面對相似的甚至同一個問題時，仍然難以順利解決。因此在教學(xué)中，教師除了要幫助學(xué)生理解他人解題的思路外，還應(yīng)針對不同學(xué)生的思維特點和能力，通過個別輔導(dǎo)或同伴互助等方式， 幫助他們能從自身的思路出發(fā)獲得解決問題的策略，或幫助他們分析其思路受阻的原因，進而領(lǐng)悟問題解決的策略。 故此，問題解決后，教師應(yīng)組織學(xué)生反思思維的探索過程，評價同伴的解題方法，并從中進行分析、歸納、比較和選擇，以提高數(shù)學(xué)解決問題與數(shù)學(xué)思考的能力。 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 4：解題貴在揭示本質(zhì) 如圖，將矩形紙片 ABCD沿對角線 BD對折，使點 C落在點 E處， BE交 AD于 F，連結(jié) AE。求證： AE∥BD. B C A D E F 解出習(xí)題并不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全部或最終目的，應(yīng)通過反思活動，去挖掘題目背后的本質(zhì)，若對圖形的幾何本質(zhì)沒有實質(zhì)性的揭示，各種證明方法只能是同一水平的簡單重復(fù)。 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” l1 l2 圖 a 圖 b 圖 c 數(shù)學(xué)教學(xué)中要關(guān)注過程，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)展現(xiàn)基本概念的抽象與概括過程，基本原理的歸納與推導(dǎo)過程，解題思路的探索與形成過程，基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與總結(jié)過程。數(shù)學(xué)教學(xué)中要揭示本質(zhì)是指教學(xué)中要溝通數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，提煉數(shù)學(xué)思想方法，把握基本數(shù)學(xué)規(guī)律，體驗數(shù)學(xué)理性精神。 △ ABC中， CH⊥ AB,∠ A=2 ∠ B,說明： AH+CA=BH 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點 ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。 ,求 ∠ BMN +∠CNM. 教師運用的是啟發(fā)發(fā)現(xiàn)法，想突出學(xué)生的主體地位，在充分調(diào)動著學(xué)生的思維積極性： 師 :只知道一個角的大小 ,但有兩個平行關(guān)系 ,如何來求解呢？ 問題不難，學(xué)生的水平又不錯 ,于是一個個解法被學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了 !每一個提出了新解法 ,為我們的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)添磚加瓦也作了貢獻的學(xué)生 ,當教師夸獎他并叫他坐下時 ,自得的心情溢于言表 .于是 ,課堂的氣氛十分活躍！ 生 1：我利用同旁內(nèi)角 ∠ BMN =180176。 ∠MPE ， ∠ CNM =180176。 ∠NPF ∴ ∠BMN +∠CNM =180 176。 ∠MPE +180 176。 ∠NPF =180 176。 +∠EPF =240176。 A B E F C M N P 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點 ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。 ,求 ∠ BMN +∠CNM. A B E F C M N P 師：很好！表述也簡明，誰還有好解法？ (從啟發(fā)的角度看，這純粹是一句廢話 !) 生 2：我利用同位角： ∠ BMN =∠EPN ， ∠ CNM =∠FPM 相加得 ∠ BMN +∠CNM =∠EPN +∠FPM =180 176。 +∠EPF =240 176。 師：不簡單，這樣的同位角，老師一時還看不大出來呢！ (好謙虛 !)，還有新解法嗎？ (教師總是期望著她的 ? 得意門生 ? ，一個接一個的能不斷的站出來助她一臂 !而她自己則已 ? 啟發(fā)乏術(shù) ?了呢 !？ ) 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點 ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。 ,求 ∠ BMN +∠CNM. A B E F C M N P 生 3：我利用外角定理 ∠ BMN =∠A +∠ANM ， ∠ CNM =∠A +∠AMN 。相加得 ∠ BMN +∠CNM = 180 176。 +∠A ，延長 EP交 AC 于 K ，易得 ∠ A=∠EPF=60 176。 ∴ ∠BMN +∠CNM = 240 176。 生 4：我利用四邊形的內(nèi)角和定理 在四邊形 BMNC中， ∠ BMN +∠CNM = 360 176。 ∠B ∠C = 180 176。 +∠A = 240 176。 生 5：我利用內(nèi)錯角 ……… 生 6：我利用平角關(guān)系 ……… 教師得意的心情，清晰的反映在她的笑臉上了，輕松活躍的課堂，一個接一個的 ? 好 ? 解法，她的心花能不怒放嗎？ 然而，我恰陷入了沉思中 ! K 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ A B E F C M N P K 案例分析： ? 偉大的 ? 發(fā)現(xiàn)活動？ 我一次次環(huán)顧四周 ,作著粗略的統(tǒng)計 .舉手的 , 在嘀咕的 ,合起來不超過 60％ .也就是對于這一不錯的班級來說 ,也有約 40％的學(xué)生 ,一直在做著這發(fā)現(xiàn)過程的陪客 !!對于他們來說 ,這純?nèi)皇且粋€超負荷超速度的灌輸 !!始終享受不到發(fā)現(xiàn)的樂趣 . ？他的作用體現(xiàn)在哪里？ 縱觀全過程，給人的唯一的深印象是： 教師缺乏啟發(fā)的好點子，總是一句 ? 誰還有好解法？ ? ，依賴優(yōu)生是她的法寶 。 這是我們可以經(jīng)常見到的 ? 發(fā)現(xiàn)教學(xué) ? 中的現(xiàn)象 !! 應(yīng)該提醒學(xué)生： ? 這里有些什么圖形 ?”（平行線 。三角形 。四邊形 ?！?） ,“可能可以利用哪些幾何結(jié)論？ ? 等 ,總之 ,教師課前要想好關(guān)鍵性的啟導(dǎo)語 ! 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ A B E F C M N P 同語反復(fù)？ !(利用內(nèi)錯角；利用同旁內(nèi)角 … ),為什么沒出現(xiàn)令人驚異的好解法 ? 是真的沒有么 ? ⑴ 增加條件得來的解法 :比如令 ∠ BMN = 100176。 , 可得∠ CNM =∠A +∠AMN = 60 176。 +（ 180176。 100176。 ） = 140176。 ∴∠BMN +∠CNM = 100 176。 +140176。 =240176。 這樣的解法，特別適用于填空題、選擇題。它的一般化便是⑵ 代數(shù)解法 :令 ∠ BMN = t,則 ∠ CNM =∠A +∠AMN = 60176。 +（ 180176。 t） ∴∠ BMN +∠CNM = t + 60 176。 +（ 180176。 t） = 240176。 這一解法難道不妙么 ?但它明顯地是基于對某角取特殊值 的增加條件得來的解法 .它們是有一般意義的??！ 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ A B E C(F) M P(N) ⑶ 由極端情形引出的解答： ①當 P點無限接近于 AC邊時 ,結(jié)論仍然成立； 當 P點在 AC邊上時 ,按極端原理 ,結(jié)論也能成立 ,是這樣嗎？ 這時 P點與 N點重合 ,PF與 NC重合 ,∠BMN +∠CNM =∠BMN +∠CPM = ∠BMN +∠EPM +∠CPE = 180176。 +∠CPE= 240 176。 ② 當 P點無限接近于 A點時 ,結(jié)論仍然成立 。 當 P點與 A點重合時 ,按極端原理 ,結(jié)論也應(yīng)能成立 ,是這樣嗎？ 這時 ,P點與 A點重合 ,E點與 B點重合 ,F點與 C點重合 . ∠BMN +∠CNM =∠MAC+∠NAB= 180 176。 +∠BAC = 240 176。 這樣的思想方法與思路 ,的確是獨具匠心、發(fā)人深省的呵！ 我們認為 ,發(fā)現(xiàn)教學(xué)的價值 ,就在于它的啟發(fā)提問 ,它的過程的一般性、普遍適用性 . A(P) M N B C 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 二、加強對波利亞解題思想的理解 對于數(shù)學(xué)解題方法，美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞進行了畢生的研究，著有世界名著 “ 怎樣解題 ” 一書，他集數(shù)十年的教學(xué)和科研經(jīng)驗，在書中歸納了一張 “ 怎樣解題表 ” 。表中以提問的形式列出了如何 “ 弄清問題 ” 、