【正文】 形式列出了如何 “ 弄清問題 ” 、 “ 擬定計劃 ” 、 “ 實現(xiàn)計劃 ” 、 “ 回顧反思 ” 四部分。 ② 當 P點無限接近于 A點時 ,結(jié)論仍然成立 。 +（ 180176。 這樣的解法，特別適用于填空題、選擇題。 ） = 140176?！?） ,“可能可以利用哪些幾何結(jié)論？ ? 等 ,總之 ,教師課前要想好關(guān)鍵性的啟導語 ! 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ A B E F C M N P 同語反復？ !(利用內(nèi)錯角；利用同旁內(nèi)角 … ),為什么沒出現(xiàn)令人驚異的好解法 ? 是真的沒有么 ? ⑴ 增加條件得來的解法 :比如令 ∠ BMN = 100176。 生 5：我利用內(nèi)錯角 ……… 生 6：我利用平角關(guān)系 ……… 教師得意的心情，清晰的反映在她的笑臉上了，輕松活躍的課堂，一個接一個的 ? 好 ? 解法，她的心花能不怒放嗎？ 然而，我恰陷入了沉思中 ! K 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ A B E F C M N P K 案例分析： ? 偉大的 ? 發(fā)現(xiàn)活動？ 我一次次環(huán)顧四周 ,作著粗略的統(tǒng)計 .舉手的 , 在嘀咕的 ,合起來不超過 60％ .也就是對于這一不錯的班級來說 ,也有約 40％的學生 ,一直在做著這發(fā)現(xiàn)過程的陪客 !!對于他們來說 ,這純?nèi)皇且粋€超負荷超速度的灌輸 !!始終享受不到發(fā)現(xiàn)的樂趣 . ？他的作用體現(xiàn)在哪里？ 縱觀全過程，給人的唯一的深印象是： 教師缺乏啟發(fā)的好點子，總是一句 ? 誰還有好解法？ ? ，依賴優(yōu)生是她的法寶 。 ∴ ∠BMN +∠CNM = 240 176。 師：不簡單，這樣的同位角，老師一時還看不大出來呢！ (好謙虛 !)，還有新解法嗎？ (教師總是期望著她的 ? 得意門生 ? ，一個接一個的能不斷的站出來助她一臂 !而她自己則已 ? 啟發(fā)乏術(shù) ?了呢 !？ ) 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點 ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。 +∠EPF =240176。 ∠MPE ， ∠ CNM =180176。 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” l1 l2 圖 a 圖 b 圖 c 數(shù)學教學中要關(guān)注過程，是指在數(shù)學教學中應展現(xiàn)基本概念的抽象與概括過程，基本原理的歸納與推導過程，解題思路的探索與形成過程，基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與總結(jié)過程。因此在教學中，教師除了要幫助學生理解他人解題的思路外，還應針對不同學生的思維特點和能力，通過個別輔導或同伴互助等方式， 幫助他們能從自身的思路出發(fā)獲得解決問題的策略，或幫助他們分析其思路受阻的原因，進而領(lǐng)悟問題解決的策略。其實，“聽懂”與“真懂”之間仍有著明顯的差距。實驗表明，對于數(shù)學題而言， 教師的有聲讀題在引起學生注意力水平上低于學生默讀 。 教師：這樣我們便知 BQ=CP仍然成立。 T:(0580)2091040； 2091115 “問題是數(shù)學的心臟 ,數(shù)學是思維的體操 ” 數(shù)學教學實際上就是伴隨著解題（載體）來提高學生的思維能力的！ 對初中數(shù)學解題教學的認識與思考 著名數(shù)學家和數(shù)學教育家項武義先生說，教數(shù)學要教給學生 ? 大巧 ? — 通性通法，要教學生 ? 運用之妙，存乎一心 ? ，以不變應萬變，不講或少講只能對付一個或幾個題目的 ? 小巧 ? . 但思維能力的提高不能拘泥于一招一式 ,應該講 ? 一般有用的方法 ? 小巧固不足取，大巧也確實太難 . 對于大多數(shù)學生，還要重視有章可循的招式。 由小到大，以小御大，小題做大，小中見大 . 對初中數(shù)學解題教學的認識與思考 一、解題教學必須讓學生“知其然，更知其所以然！” 五、充分提高例（習）題的教育價值 二、教師應加強對波利亞解題思想的理解 四、提高學生解題能力的要素分析 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 六、解題錯誤分析 案例 1：老師，你該告訴我們你是怎么想到的？ 問題 :已知：如圖， H為△ ABC內(nèi)任意一點，連結(jié) AH并延長交 BC于 D，連結(jié) BH并延長交 AC于 E，連結(jié) CH并延長交 AB于 F，求證： DH/AD+EH/BE+HF/CF=1. A B D C F E H 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” A B D C F E H 變證為猜！猜 DH/AD+EH/BE+HF/CF=? 一般問題 ——特殊化方法 ——類比思想 ——回歸特殊問題 ——一般結(jié)論 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” 案例 2：這樣的啟發(fā)有用嗎？ 問題：如圖 1，已知△ ABC中， AB=AC,P是△ ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞點 A順時針旋轉(zhuǎn)至 AQ，使 ∠ QAP=∠ BAC，連結(jié) BQ， CP，則BQ=CP”小亮是一個愛動腦筋的同學，他通過分析證明了△ ABQ≌ △ ACP，從而證得 BQ=CP之后，將點 P移動到等腰△ ABC外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn) BQ=CP仍然成立，請你就圖 2給出證明。 案例 2：這樣的啟發(fā)有用嗎？ 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” 這種 “以教師的讀題來代替學生對問題的自主閱讀”的教學現(xiàn)象和 “以為教師對問題已經(jīng)理解便認為學生也就能明確問題所提供的條件信息和目標信息” 的教學觀念，在日常的課堂教學中實在比較常見。因此，本例應讓學生默讀問題，自主分析題中信息，并嘗試用自己的語言解釋題目中的信息。 “聽懂了”僅表明學生能在他人的解題思路的引領(lǐng)下，了解到問題的解答思路。 故此，問題解決后，教師應組織學生反思思維的探索過程，評價同伴的解題方法，并從中進行分析、歸納、比較和選擇，以提高數(shù)學解決問題與數(shù)學思考的能力。數(shù)學教學中要揭示本質(zhì)是指教學中要溝通數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，提煉數(shù)學思想方法，把握基本數(shù)學規(guī)律，體驗數(shù)學理性精神。 ∠NPF ∴ ∠BMN +∠CNM =180 176。 A B E F C M N P 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點 ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。 ,求 ∠ BMN +∠CNM. A B E F C M N P 生 3：我利用外角定理 ∠ BMN =∠A +∠ANM ， ∠ CNM =∠A +∠AMN 。 生 4：我利用四邊形的內(nèi)角和定理 在四邊形 BMNC中， ∠ BMN +∠CNM = 360 176。 這是我們可以經(jīng)常見到的 ? 發(fā)現(xiàn)教學 ? 中的現(xiàn)象 !! 應該提醒學生： ? 這里有些什么圖形 ?”（平行線 。 , 可得∠ CNM =∠A +∠AMN = 60 176。 ∴∠BMN +∠CNM = 100 176。它的一般化便是⑵ 代數(shù)解法 :令 ∠ BMN = t,則 ∠ CNM =∠A +∠AMN = 60176。 t） = 240176。 當 P點與 A點重合時 ,按極端原理 ,結(jié)論也應能成立 ,是這樣嗎？ 這時 ,P點與 A點重合 ,E點與 B點重合 ,F點與 C點重合 . ∠BMN +∠CNM =∠MAC+∠NAB= 180 176。 雖然這張表不是萬能的，但在解決問題時確實可起到 “ 啟發(fā)與指導的 作用 ” 。 第三，實現(xiàn)我們的計劃。 他是這樣啟發(fā)引導的： 二、加強對波利亞解題思想的理解 “未知的是什么 ?” “一個正方形 ” “ 已知數(shù)據(jù)是什么 ?” “一個給定的三角形，其它沒有。如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關(guān)的問題。什么樣的部分條件容易滿足 ?” “兩頂點在三角形邊線上，甚至三個頂點都在三角形邊線上的正方形，是容易畫出來的 !” “畫張圖 !”學生畫出圖 2。 ” 學生畫出圖 3。畫出小的正方形與大的正方形。歸結(jié)煨個要點： 程序化解題系統(tǒng)。 開放型的念頭誘發(fā)。 二、加強對波利亞解題思想的理解 ? 米山國藏指出 : 在學校學的數(shù)學知識 ,畢業(yè)后若沒什么機會去用 ,一兩年后 ,很快就忘掉了 .然而 ,不管他們從事什么工作 ,唯有深深銘刻在心中的 數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等 ,卻隨時隨地發(fā)生作用 ,使他們終生受益 . ? M數(shù)學思想較之于數(shù)學基礎知識及常用數(shù)學方法又處于更高層次，它來源于數(shù)學基礎知識及常用的數(shù)學方法 , 在運用數(shù)學基礎知識及方法處理數(shù)學問題時，具有指導性的地位。 在解法上 ,把精力要花在 誘導學生怎樣去想，怎樣確定解題路徑上，臵數(shù)學思想方法的運用于解題的核心位臵 。 請思考下列問題： 為什么要配方，理由是什么？ 什么問題可用配方法解決？ 用配方法解決問題時要注意什么問題？ 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 一、關(guān)于配方法 基本功能 1：變換形式。 如：已知 x2+xy+y2=19,求 x2+y2的最大值、最小值。 3=(cm),則一個碗的高度就是 =6(cm),所以 y=(x1)+6. T:同學們都明白了嗎 ?既然經(jīng)過分析 ,我們確定了這個函數(shù)是一次函數(shù)模型 ,那么對照一次函數(shù)的一般形式 ,在這個問題中分別是指什么呢 ? S6:k是指每加一個碗的增長高度 ,b指的是一個飯碗高度 . 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 T:在此問題中 ,我們對賦予了實際意義 ,有助于大家能更深刻理解的作用 .但剛才是利用的實際意義直接計算出它們的值 ,用的是算術(shù)方法 .那么 ,是否還有別的方法可以求出這兩個未知系數(shù) ? S7:可以利用列方程組求解 .即當時 x=4,y=。 算術(shù)方法： 幾個 已知量 求 未知量 直接求解著眼于 求 幾個 已知量 代數(shù)方法： 未知量 溝通關(guān)系：列方程、不等式，函數(shù) 間接求解著眼于 找 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 例 1：江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水， 40分鐘可抽完；如果用 4臺抽水機抽水， 16分鐘可抽完，如果要在 10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機 臺 . 這個問題中的幾個量應該具有的關(guān)系式是 : 被抽走的水量 =涌出的水量 +原有的水量 . 即：抽水時間 (t) 抽水機的臺數(shù) (x)=抽水時間 (t) 每分鐘涌出的水量 (a)+原有的水量 (p).即 :tx=ta+p 例 2.(1)如果多項式 x2(a+5)x+5a1能分解成兩個一次因式 (x+b)與 (x+c)的乘積 (b,c為整數(shù) ),則 a值應為多少 ? (2)設 (3x2+3x7)100=a0+a1x+… +a200x200,求s0=2(a0+a2+… a198+a200)的值 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 例．（ 07年杭州市中考）三個同學對問題 ? 若方程組 的解是 ，求方程組 的解。 ???????222111cybxacybxa?????43yx???????222111523523cybxacybxa三、換元法 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想 ——學數(shù)學本質(zhì)上就是學轉(zhuǎn)化 遵循陌生 → 熟悉；復雜 → 簡單原則 如：高次 → 低次；多元 → 一元； 方程、不等式與函數(shù)互化；數(shù)形互化； 不規(guī)則圖形 → 規(guī)則圖形；分散條件 → 聚集條件等等 例 求方程 的解的個數(shù)。注意到 2x+y≥1為坐標平面內(nèi)的一個區(qū)域，所求即為 (x+2)2+(y1)2=w+5.——數(shù)形結(jié)合法 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 O’(2,1) 1 y=2x1 O A(2/5,9/5) 1/2 五、數(shù)形結(jié)合思想 例 . 已知 x,y為正數(shù)，當 x+y=12時 ,求 的最小值。 AC=6cm，BC=8cm，點 P在斜邊 AB上移動 .當△ ACP是等腰三角形時 ,求 BP的長． 三、解題教學要滲透與提煉數(shù)學思想方法 圓，圓，中垂線！ 例 5.（ 08浙江）如圖，在平面直角坐標系中，矩形 OABC的兩邊分別在 x軸和 y軸上， OA＝ 10厘米， OC＝ 6厘米，現(xiàn)有