【正文】 的 ? 發(fā)現(xiàn)教學(xué) ? 中的現(xiàn)象 !! 應(yīng)該提醒學(xué)生： ? 這里有些什么圖形 ?”（平行線 。 ∠NPF ∴ ∠BMN +∠CNM =180 176。因此，本例應(yīng)讓學(xué)生默讀問題，自主分析題中信息，并嘗試用自己的語言解釋題目中的信息。 教師：這樣我們便知 BQ=CP仍然成立。 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” l1 l2 圖 a 圖 b 圖 c 數(shù)學(xué)教學(xué)中要關(guān)注過程，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)展現(xiàn)基本概念的抽象與概括過程，基本原理的歸納與推導(dǎo)過程，解題思路的探索與形成過程，基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與總結(jié)過程。 ∴ ∠BMN +∠CNM = 240 176。 這樣的解法，特別適用于填空題、選擇題。 首先，我們必須了解問題；我們必須清楚地看到要求的是什么 ? 其次，我們必須了解各個項之間有怎樣的聯(lián)系 ?未知數(shù)和已知數(shù)據(jù)之間有什么關(guān)系 ?為了得到解題的思路，應(yīng)該制定一個計劃。 ” “ 好 !畫張圖。 問題轉(zhuǎn)換也叫 “ 變化問題 ” 、 “ 題目變更 ” ，它揭示了探索解題思路的途徑與實質(zhì)。 基本功能 2：在實數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生非負(fù)數(shù)。（數(shù)學(xué)通訊 1988年第 1期 ) 分析： 若用純代數(shù)的配方、消元等方法求解，顯然是繁雜的。但水平一仍停留在感性概括和簡單應(yīng)用的階段；水平二則抽象到較為恰當(dāng)?shù)某潭龋捎谒蕉堰@兩個具體問題歸納到中學(xué)階段最重要的知識體系：方程與函數(shù)上，運用方程與函數(shù)的觀點去解決問題，既如魚得水，又勢如破竹。 按 “ 局部與整體的轉(zhuǎn)化思想 ” ， 下面的思路，或許更能強化實現(xiàn)這一目標(biāo)呢？ “ 先滿足其中一個條件，再滿足另一個條件。 后在什么位置 ?學(xué)生很快確定了位置 . 啟發(fā) 2:圖 3中最下面一行最左邊的小正方形旋轉(zhuǎn)后在什么位置 ?學(xué)生討論后找到了正確位置 ?思考其他小正方形旋轉(zhuǎn)后的位置 . 啟發(fā) 3:你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律 ?旋轉(zhuǎn)前后小正方形與旋轉(zhuǎn)中心 A有什么關(guān)系 ?在圖上表示出來。重視對知識本質(zhì)理解的深度，引導(dǎo)學(xué)生動手和思考相結(jié)合，一直到最后的歸納提升，其目的就是促使學(xué)生逐步感悟該問題中包含的數(shù)學(xué)思想方法，對類似的問題會進(jìn)行分析和解決。 =360176。.其中正確的有（ ） A. 0個， B. 1個， ， o22 1 1例 2.(09黃石 )函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象 (a ≠0) 的圖象如圖所示，下列結(jié)論① abc0。 它分 概念性變式 與 過程性變式 兩種（顧冷沅， 19771990，上海青浦實驗） 國外有馬頓的變異理論，伍德的腳手架理論，丹尼斯的可變性原理。 321NAB CFMDE圖 2 D 解法 3. 如圖 3， 從圖形的結(jié)構(gòu)特點 進(jìn)行思考 .由于 AB=CE,但兩者的位置決定了它們無法形成有機的聯(lián)系 ,聯(lián)想到條件中的角平分線 AD,正好是建構(gòu)軸對稱的核心元素 ,因此 ,想到把△ ABD沿軸 AD翻折（如圖 2） ,于是 ,AB=AB’=CE,故有AE=CB’,從 M為 BC中點再聯(lián)想到中位線 ,但這時另一個中點 G（對稱點連線段 BB’與軸 AD的交點）的出現(xiàn)卻是恰到好處 ,于是 ,連結(jié) GM,自然就有 GM∥CB ’,且GM=CB’,由于 N為 AE的中點 ,則 GM=AN,故四邊形 AGMN為平行四邊形 ,則 AD∥MN. 圖 3 A B D M C N B’ E G 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 解法 4（從變與不變的邏輯關(guān)系思考） ：如圖 4，當(dāng)△ ABC確定后，根據(jù)條件，點 D、 M的位置也隨之確定，而 N點的位置又是由點 E惟一確定，所以若當(dāng)CE=AB時，有 MN∥AD ；那么反之當(dāng) MN∥AD 時，就應(yīng)有 CE=AB。也就是說不深刻地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，就不能靈活應(yīng)用它。 … 進(jìn)行轉(zhuǎn)化。相當(dāng)于 “ 授之以漁 ” ，但究竟抓住了什么 “ 魚 ” ，值得我們反思，效果是 “ 事倍功倍 ” 。 第 2次教法：（在第 1次的基礎(chǔ)上經(jīng)課后研討，在另一班講授）要求學(xué)生統(tǒng)一用較透明的白紙，覆在圖 1上，進(jìn)行拓畫，然后再翻折到圖 2， …… ，同學(xué)們興致很高，課堂的正確率大大提高。 這是基于視圖的規(guī)律性與一定的抽象思維的教法。 （ 2） m為何值時， x12+x22有最小值，且最小值為多少？ 兩種思維水平的處理： 水平一、 把問題（ 1）看成判別式的應(yīng)用△ =4（ m+1)(m2)=0 把問題（ 2）看成是韋達(dá)定理及判別式的應(yīng)用 即 x12+x22=4（ m1/4)217/4，由△ ≥ 0，得 m≤ 1或 m≥2。 參考他們的討論，你認(rèn)為這個題目的解應(yīng)是 。 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 一、關(guān)于配方法 配方法就是利用完全平方公式對代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，再利用非負(fù)數(shù)的特性進(jìn)行解題的方法 .它在計算代數(shù)式的最值、確定代數(shù)式的取值范圍與解方程中都有很重要的應(yīng)用。 波利亞就其本人在學(xué)生時代解決問題過程的體會，結(jié)合教學(xué)實際，對典型例題進(jìn)行了符合思維實際的啟發(fā)。請僅僅保持部分條件而舍去其余部分。表中以提問的形式列出了如何 “ 弄清問題 ” 、 “ 擬定計劃 ” 、 “ 實現(xiàn)計劃 ” 、 “ 回顧反思 ” 四部分。 ） = 140176。 師：不簡單，這樣的同位角，老師一時還看不大出來呢！ (好謙虛 !)，還有新解法嗎？ (教師總是期望著她的 ? 得意門生 ? ，一個接一個的能不斷的站出來助她一臂 !而她自己則已 ? 啟發(fā)乏術(shù) ?了呢 !？ ) 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點 ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。因此在教學(xué)中，教師除了要幫助學(xué)生理解他人解題的思路外，還應(yīng)針對不同學(xué)生的思維特點和能力，通過個別輔導(dǎo)或同伴互助等方式， 幫助他們能從自身的思路出發(fā)獲得解決問題的策略，或幫助他們分析其思路受阻的原因，進(jìn)而領(lǐng)悟問題解決的策略。 T:(0580)2091040； 2091115 “問題是數(shù)學(xué)的心臟 ,數(shù)學(xué)是思維的體操 ” 數(shù)學(xué)教學(xué)實際上就是伴隨著解題（載體）來提高學(xué)生的思維能力的！ 對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的認(rèn)識與思考 著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家項武義先生說，教數(shù)學(xué)要教給學(xué)生 ? 大巧 ? — 通性通法，要教學(xué)生 ? 運用之妙，存乎一心 ? ，以不變應(yīng)萬變，不講或少講只能對付一個或幾個題目的 ? 小巧 ? . 但思維能力的提高不能拘泥于一招一式 ,應(yīng)該講 ? 一般有用的方法 ? 小巧固不足取，大巧也確實太難 . 對于大多數(shù)學(xué)生，還要重視有章可循的招式。 “聽懂了”僅表明學(xué)生能在他人的解題思路的引領(lǐng)下，了解到問題的解答思路。 A B E F C M N P 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點 ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。 , 可得∠ CNM =∠A +∠AMN = 60 176。 當(dāng) P點與 A點重合時 ,按極端原理 ,結(jié)論也應(yīng)能成立 ,是這樣嗎？ 這時 ,P點與 A點重合 ,E點與 B點重合 ,F點與 C點重合 . ∠BMN +∠CNM =∠MAC+∠NAB= 180 176。如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關(guān)的問題。歸結(jié)煨個要點： 程序化解題系統(tǒng)。 在解法上 ,把精力要花在 誘導(dǎo)學(xué)生怎樣去想，怎樣確定解題路徑上，臵數(shù)學(xué)思想方法的運用于解題的核心位臵 。 算術(shù)方法： 幾個 已知量 求 未知量 直接求解著眼于 求 幾個 已知量 代數(shù)方法： 未知量 溝通關(guān)系：列方程、不等式，函數(shù) 間接求解著眼于 找 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 例 1：江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水， 40分鐘可抽完；如果用 4臺抽水機抽水， 16分鐘可抽完，如果要在 10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機 臺 . 這個問題中的幾個量應(yīng)該具有的關(guān)系式是 : 被抽走的水量 =涌出的水量 +原有的水量 . 即：抽水時間 (t) 抽水機的臺數(shù) (x)=抽水時間 (t) 每分鐘涌出的水量 (a)+原有的水量 (p).即 :tx=ta+p 例 2.(1)如果多項式 x2(a+5)x+5a1能分解成兩個一次因式 (x+b)與 (x+c)的乘積 (b,c為整數(shù) ),則 a值應(yīng)為多少 ? (2)設(shè) (3x2+3x7)100=a0+a1x+… +a200x200,求s0=2(a0+a2+… a198+a200)的值 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 例．（ 07年杭州市中考）三個同學(xué)對問題 ? 若方程組 的解是 ，求方程組 的解。 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 72n1 四、提高學(xué)生解題能力的四要素 ▲ 建立明確的基本概念； ▲形成常用的基本技能； ▲學(xué)會正確的思維方法； ▲養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣。 這是基于動手操作的教法，學(xué)生也樂于動手，答案也最容易得到。應(yīng)該說，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，才是高水平的數(shù)學(xué)教育呢 ! 案例 2：一個例題三種教法 問題：將圖 1中的圖形沿點劃線翻折到圖 2中的方格中；將翻折后的圖形向右平移到圖 3的方格中；將平移后的圖形繞右下角的頂點旋轉(zhuǎn) 180176。 教法 2：應(yīng)試至上 ,學(xué)生動手多，動腦少，機械的接受，不知所以 。 圖 1FE DCBA該題讓眾多優(yōu)秀學(xué)生望而起步。 ,所以∠ A+∠ C+∠ E＝ 360176。此時 ,所用的方法是很重要的 !如本題中增加一個判斷不等式 2b3c+80是否成立，這可由② 4a2b+c0和圖象經(jīng)過點（ 1， 2）得到的等式 ab+c=2，消去 a得到。 圓周角概念辨析 概念圖式 非概念圖式 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 水平變式： A B C D P O A B C O P A B C D O 垂直變式： 已知△ ABC中 ,AB=8,S△ ABC =12,D為 AB上一點， DE∥BC ，設(shè) AD為 x， … x A B C D E A B C D E F A B C D E F H S1 S2 ? 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 課堂教學(xué)中要合理安排變式練習(xí)，一般水平變式題 2—3道，垂直變式題1—2道，設(shè)計變式練習(xí)時要特別關(guān)注學(xué)生已有水平與新問題之間的潛在距離，設(shè)計出在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的問題（認(rèn)知負(fù)荷在學(xué)生的可接受范圍內(nèi)），以便使知識與方法產(chǎn)生理想的遷移。④ a+c正確的個數(shù)有（ ） A. 4個， ， ， o 2 1 1 ① 錯②對③對 ,難點是第④ a+c0,可從 a和 c的意義角度考慮 ,當(dāng)二次函數(shù)的開口方向和大小確定時 ,a的值也隨之確定 ,再通過平移圖象改變 c 值的大小 .所以 a+c的值有取正、負(fù)、 0的情況，如當(dāng)交點為x1=,x2=， a+c＜ 0。已知 AB∥ DE,BC∥ EF,CD∥ ∠ A+∠ C+∠ E的度數(shù)。 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 4：基本圖形在幾何解題中的作用 如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ ACB=90176。 教法反思 教法 1：重教輕學(xué)，教師動手操作學(xué)生觀察接受。這不是一個很有趣的游戲嗎？ 也可以 “ 從多到少 ” ，十八個小方塊，搭成滿足主視圖的有三層的模型；然后，再一塊一塊的減去，使?jié)M足俯視圖而止。 因此，例題講解時要做到? 一題多解，多題歸一 ?，防止? 熟能生笨，熟能生厭 ?（李士錡 ,數(shù)學(xué)教育學(xué)報 ,1999(3)(4)). 多講背景聯(lián)系（來龍去脈）、少掐頭去尾燒中段； 多啟發(fā)通性通法，少灌輸技巧技法； 多挖掘本質(zhì)特征，少進(jìn)行題海訓(xùn)練； 多注意變式引申，少一些簡單重復(fù)。 同一性 .即不重不漏 . 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 例 x1,x2,x3,… ,x2020是整數(shù)，且滿足下列條件： ① 1≤x n≤2 ， n=1， 2， 3， … ， 2020； ② x1+x2+… +x2020=200； ③ x12+x22+… +x20202=2020. 求 x13+x23+… +x20203的最小值和最大值 . 例 y=2x24ax+a2+2a+2. （ 1）通過配方，求當(dāng) x取何值時， y有最大或最小值，最大或最小值是多少？ （ 2）當(dāng) 1≤x≤2 時，函數(shù)有最小值 a所有可能取的值。k,a,b,c等系數(shù) 的意義一定要