【正文】 化歸的思想進(jìn)行論證 ,而化歸的關(guān)鍵是注意到各組對邊的平行關(guān)系，利用平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等，三角形的內(nèi)角和等于 180176。已知 AB∥ DE,BC∥ EF,CD∥ ∠ A+∠ C+∠ E的度數(shù)。 . 這個問題的解法中，利用平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵，但圖形中的平行直線只畫出一部分線段，學(xué)生往往不能聯(lián)想到平行線的性質(zhì)（這些性質(zhì)在“三線八角”的完整圖形中學(xué)生很容易想到），說明平行線的本質(zhì)特征還未能深刻領(lǐng)會，基本圖形未得到完整的表征時，遇到不完整圖形，知識和性質(zhì)的聯(lián)想就有困難，思維就不連續(xù)。④ a+c正確的個數(shù)有（ ） A. 4個， ， ， o 2 1 1 ① 錯②對③對 ,難點(diǎn)是第④ a+c0,可從 a和 c的意義角度考慮 ,當(dāng)二次函數(shù)的開口方向和大小確定時 ,a的值也隨之確定 ,再通過平移圖象改變 c 值的大小 .所以 a+c的值有取正、負(fù)、 0的情況，如當(dāng)交點(diǎn)為x1=,x2=， a+c＜ 0。 53214圖 2FNMDEACB圖 1 A B D M C E F N 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 6:一個競賽題的多種解法 (07年太原市初中數(shù)學(xué)競賽第 6題）如圖 1,已知 AD為△ ABC的角平分線 ,AB＜ AC,在 AC上截取 CE=AB,M、 N分別為 BC、 AE的中點(diǎn) ,求證：MN∥AD. 圖 1 探究上述思路的來源 ,關(guān)鍵是由中點(diǎn) 聯(lián)想 到中位線定理，由AB=CE進(jìn)一步聯(lián)想應(yīng)構(gòu)建以 AB、CE為底邊的三角形 ,從而發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的輔助線 ,形成思維路徑 . 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 解法 2（異曲同工）：如圖 2，過點(diǎn) B作 MN的平行線與 CA的延長線交于點(diǎn) F，由于點(diǎn) M是 BC的中點(diǎn)，則 NA=NC，又因?yàn)?AN=EN，所以 FA=EC=AB，故 ∠ F=∠1 ，又∠ 2=∠3 ， ∠ F+∠1=∠2+∠3 ，故 ∠ F=∠3 ，所以 BF∥AD ，故 AD∥MN 。 圓周角概念辨析 概念圖式 非概念圖式 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 水平變式： A B C D P O A B C O P A B C D O 垂直變式： 已知△ ABC中 ,AB=8,S△ ABC =12,D為 AB上一點(diǎn)， DE∥BC ，設(shè) AD為 x， … x A B C D E A B C D E F A B C D E F H S1 S2 ? 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 課堂教學(xué)中要合理安排變式練習(xí)，一般水平變式題 2—3道，垂直變式題1—2道，設(shè)計變式練習(xí)時要特別關(guān)注學(xué)生已有水平與新問題之間的潛在距離，設(shè)計出在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的問題（認(rèn)知負(fù)荷在學(xué)生的可接受范圍內(nèi)），以便使知識與方法產(chǎn)生理想的遷移。 概念性變式 偏重對學(xué)生已獲得概念的多角度理解（從正、反兩方面） 過程性變式 偏重展示知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程，加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，提高知識與方法運(yùn)用的靈活性與深刻性。此時 ,所用的方法是很重要的 !如本題中增加一個判斷不等式 2b3c+80是否成立，這可由② 4a2b+c0和圖象經(jīng)過點(diǎn)（ 1， 2）得到的等式 ab+c=2，消去 a得到。② 2a+b0。 ,所以∠ A+∠ C+∠ E＝ 360176。 。 圖 1FE DCBA該題讓眾多優(yōu)秀學(xué)生望而起步。達(dá)到了 “ 事半功倍 ” 的效果，這里，教師花費(fèi)時間引導(dǎo)學(xué)生思考、分析、提煉，學(xué)生不但對圖形變換的本質(zhì)特征有了較深刻的認(rèn)識，而且從中顧問到了由特殊到一般、由局部到整體的解決問題的方法與途徑，這樣，不僅有效突破了本題的難點(diǎn)，還能把所學(xué)知識和技能推廣到類似問題的解決中。 教法 2：應(yīng)試至上 ,學(xué)生動手多，動腦少，機(jī)械的接受，不知所以 。（小正方形旋轉(zhuǎn)前后的位置與旋轉(zhuǎn)中心在一條直線上，且到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。應(yīng)該說，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，才是高水平的數(shù)學(xué)教育呢 ! 案例 2：一個例題三種教法 問題：將圖 1中的圖形沿點(diǎn)劃線翻折到圖 2中的方格中；將翻折后的圖形向右平移到圖 3的方格中；將平移后的圖形繞右下角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180176。比如，先滿足主視圖，那么，模型將會是怎樣的呢？ ” 這還是一個開放題，答案有很多。 這是基于動手操作的教法，學(xué)生也樂于動手，答案也最容易得到。隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加，學(xué)習(xí)難度的增大，兩種思維水平的差距將明顯拉開。 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 72n1 四、提高學(xué)生解題能力的四要素 ▲ 建立明確的基本概念； ▲形成常用的基本技能； ▲學(xué)會正確的思維方法； ▲養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣。注意到 2x+y≥1為坐標(biāo)平面內(nèi)的一個區(qū)域，所求即為 (x+2)2+(y1)2=w+5.——數(shù)形結(jié)合法 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 O’(2,1) 1 y=2x1 O A(2/5,9/5) 1/2 五、數(shù)形結(jié)合思想 例 . 已知 x,y為正數(shù)，當(dāng) x+y=12時 ,求 的最小值。 算術(shù)方法： 幾個 已知量 求 未知量 直接求解著眼于 求 幾個 已知量 代數(shù)方法： 未知量 溝通關(guān)系：列方程、不等式，函數(shù) 間接求解著眼于 找 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 例 1：江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機(jī)抽水， 40分鐘可抽完；如果用 4臺抽水機(jī)抽水， 16分鐘可抽完，如果要在 10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺 . 這個問題中的幾個量應(yīng)該具有的關(guān)系式是 : 被抽走的水量 =涌出的水量 +原有的水量 . 即：抽水時間 (t) 抽水機(jī)的臺數(shù) (x)=抽水時間 (t) 每分鐘涌出的水量 (a)+原有的水量 (p).即 :tx=ta+p 例 2.(1)如果多項(xiàng)式 x2(a+5)x+5a1能分解成兩個一次因式 (x+b)與 (x+c)的乘積 (b,c為整數(shù) ),則 a值應(yīng)為多少 ? (2)設(shè) (3x2+3x7)100=a0+a1x+… +a200x200,求s0=2(a0+a2+… a198+a200)的值 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 例．（ 07年杭州市中考）三個同學(xué)對問題 ? 若方程組 的解是 ，求方程組 的解。 如：已知 x2+xy+y2=19,求 x2+y2的最大值、最小值。 在解法上 ,把精力要花在 誘導(dǎo)學(xué)生怎樣去想，怎樣確定解題路徑上，臵數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用于解題的核心位臵 。 二、加強(qiáng)對波利亞解題思想的理解 ? 米山國藏指出 : 在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識 ,畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用 ,一兩年后 ,很快就忘掉了 .然而 ,不管他們從事什么工作 ,唯有深深銘刻在心中的 數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等 ,卻隨時隨地發(fā)生作用 ,使他們終生受益 . ? M歸結(jié)煨個要點(diǎn)： 程序化解題系統(tǒng)。 ” 學(xué)生畫出圖 3。如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關(guān)的問題。 第三，實(shí)現(xiàn)我們的計劃。 當(dāng) P點(diǎn)與 A點(diǎn)重合時 ,按極端原理 ,結(jié)論也應(yīng)能成立 ,是這樣嗎？ 這時 ,P點(diǎn)與 A點(diǎn)重合 ,E點(diǎn)與 B點(diǎn)重合 ,F點(diǎn)與 C點(diǎn)重合 . ∠BMN +∠CNM =∠MAC+∠NAB= 180 176。它的一般化便是⑵ 代數(shù)解法 :令 ∠ BMN = t,則 ∠ CNM =∠A +∠AMN = 60176。 , 可得∠ CNM =∠A +∠AMN = 60 176。 生 4：我利用四邊形的內(nèi)角和定理 在四邊形 BMNC中， ∠ BMN +∠CNM = 360 176。 A B E F C M N P 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點(diǎn) ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。數(shù)學(xué)教學(xué)中要揭示本質(zhì)是指教學(xué)中要溝通數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，提煉數(shù)學(xué)思想方法，把握基本數(shù)學(xué)規(guī)律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)理性精神。 “聽懂了”僅表明學(xué)生能在他人的解題思路的引領(lǐng)下，了解到問題的解答思路。 案例 2：這樣的啟發(fā)有用嗎？ 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 這種 “以教師的讀題來代替學(xué)生對問題的自主閱讀”的教學(xué)現(xiàn)象和 “以為教師對問題已經(jīng)理解便認(rèn)為學(xué)生也就能明確問題所提供的條件信息和目標(biāo)信息” 的教學(xué)觀念，在日常的課堂教學(xué)中實(shí)在比較常見。 T:(0580)2091040； 2091115 “問題是數(shù)學(xué)的心臟 ,數(shù)學(xué)是思維的體操 ” 數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上就是伴隨著解題（載體）來提高學(xué)生的思維能力的！ 對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的認(rèn)識與思考 著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家項(xiàng)武義先生說，教數(shù)學(xué)要教給學(xué)生 ? 大巧 ? — 通性通法，要教學(xué)生 ? 運(yùn)用之妙，存乎一心 ? ，以不變應(yīng)萬變，不講或少講只能對付一個或幾個題目的 ? 小巧 ? . 但思維能力的提高不能拘泥于一招一式 ,應(yīng)該講 ? 一般有用的方法 ? 小巧固不足取，大巧也確實(shí)太難 . 對于大多數(shù)學(xué)生，還要重視有章可循的招式。實(shí)驗(yàn)表明，對于數(shù)學(xué)題而言， 教師的有聲讀題在引起學(xué)生注意力水平上低于學(xué)生默讀 。因此在教學(xué)中，教師除了要幫助學(xué)生理解他人解題的思路外，還應(yīng)針對不同學(xué)生的思維特點(diǎn)和能力，通過個別輔導(dǎo)或同伴互助等方式， 幫助他們能從自身的思路出發(fā)獲得解決問題的策略，或幫助他們分析其思路受阻的原因，進(jìn)而領(lǐng)悟問題解決的策略。 ∠MPE ， ∠ CNM =180176。 師：不簡單，這樣的同位角，老師一時還看不大出來呢！ (好謙虛 !)，還有新解法嗎？ (教師總是期望著她的 ? 得意門生 ? ，一個接一個的能不斷的站出來助她一臂 !而她自己則已 ? 啟發(fā)乏術(shù) ?了呢 !？ ) 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ 教師在講解這樣一個例題（如圖） 題目： P是△ ABC內(nèi)一點(diǎn) ,PE∥AB,PF∥BC, ∠EPF = 60 176。 生 5：我利用內(nèi)錯角 ……… 生 6：我利用平角關(guān)系 ……… 教師得意的心情，清晰的反映在她的笑臉上了，輕松活躍的課堂，一個接一個的 ? 好 ? 解法，她的心花能不怒放嗎？ 然而，我恰陷入了沉思中 ! K 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 5：教師的作用在哪里？ A B E F C M N P K 案例分析： ? 偉大的 ? 發(fā)現(xiàn)活動？ 我一次次環(huán)顧四周 ,作著粗略的統(tǒng)計 .舉手的 , 在嘀咕的 ,合起來不超過 60％ .也就是對于這一不錯的班級來說 ,也有約 40％的學(xué)生 ,一直在做著這發(fā)現(xiàn)過程的陪客 !!對于他們來說 ,這純?nèi)皇且粋€超負(fù)荷超速度的灌輸 !!始終享受不到發(fā)現(xiàn)的樂趣 . ？他的作用體現(xiàn)在哪里？ 縱觀全過程，給人的唯一的深印象是： 教師缺乏啟發(fā)的好點(diǎn)子，總是一句 ? 誰還有好解法？ ? ，依賴優(yōu)生是她的法寶 。 ） = 140176。 +（ 180176。表中以提問的形式列出了如何 “ 弄清問題 ” 、 “ 擬定計劃 ” 、 “ 實(shí)現(xiàn)計劃 ” 、 “ 回顧反思 ” 四部分。正方形的兩個頂點(diǎn)在三角形的底邊上，另二個頂點(diǎn)分別在三角形的另兩邊上。請僅僅保持部分條件而舍去其余部分。按照圖中已有的兩個正方形的相同辦法，去畫出更多的三個角在邊線上的正方形。 波利亞就其本人在學(xué)生時代解決問題過程的體會，結(jié)合教學(xué)實(shí)際，對典型例題進(jìn)行了符合思維實(shí)際的啟發(fā)。通常稱為 “ 數(shù)學(xué)思想方法 ” 。 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 一、關(guān)于配方法 配方法就是利用完全平方公式對代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，再利用非負(fù)數(shù)的特性進(jìn)行解題的方法 .它在計算代數(shù)式的最值、確定代數(shù)式的取值范圍與解方程中都有很重要的應(yīng)用。 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 案例：我這樣教待定系數(shù)法 (八上一次函數(shù) )某地區(qū)從 1995年底開始 ,沙漠幾乎每年以相同的速度增長 .據(jù)有關(guān)報道 ,到 2020年底 ,該地區(qū)的沙漠面積已從 1998年底的 . (1)可選用什么數(shù)學(xué)方法來描述該地區(qū)的沙漠面積的變化 ? (2)如果該地區(qū)的沙漠化到不到治理 ,那么到 2020年底 ,該地區(qū)的沙漠面積將增加到多少萬公頃 ? 分析 :這個問題中涉及的量有 :1995底的沙漠面積 , 每年以相同的速度增長的沙漠面積 ,1995年到 2020年經(jīng)歷的年數(shù) ,2020年底