【正文】 了幾次，仍然有部分學(xué)生不得要領(lǐng)，課后作業(yè)仍有好幾位學(xué)生出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)畫圖上的錯誤。 這也是從簡單到復(fù)雜的變式訓(xùn)練，符合方法論大師笛卡兒 “ 從最簡單的情形開始 ” 的教導(dǎo) ! 上述的分析與講法，不是單純的就題論題。這不是一個很有趣的游戲嗎？ 也可以 “ 從多到少 ” ，十八個小方塊，搭成滿足主視圖的有三層的模型；然后，再一塊一塊的減去，使?jié)M足俯視圖而止。 主視圖有種種填法，不同的填法間進行比較后，這題也就講好了。 第二位老師則是這么教的： “ 同學(xué)們，你們能根據(jù)主視圖和俯視圖填出一個帶數(shù)字的俯視圖來嗎？ ” 這倒是個好主意 !，美中不足的是，這主意是由老師提示的，而不是學(xué)生們自己想到的。二是在具體解決問題的過程中 ,有機的滲透從特殊到一般 ,分類討論 ,數(shù)形結(jié)合 ,方程及函數(shù)等思想方法 ,讓學(xué)生在必要的觀察、猜想、類比、推理與交流中感悟這些思想方法的概括與內(nèi)化過程 ,對于喚醒學(xué)生的認知內(nèi)驅(qū)力 ,促進他們的思維發(fā)展 ,進而形成有效的思維策略有著顯著的效果 ,也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的價值 . (具體見中數(shù)參 2020年第 9期） 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 解法的多樣性 如圖 1所示 ,有一塊銳角三角形余料ABC,它的邊 BC=12, 高線 AD=8,現(xiàn)要把它加工成正方形零件 ,使正方形的一邊在 BC上 , 其余兩個頂點分別在 AB,AC上 .問加工成的正方形邊長為多少 ? ? ? ? ? 21 1 18 0 1 2 0 1 2 0 8 02 2 2x x x x? ? ? ? ? ? ? QH GFEDCBA解法 ?相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比? ,建立以 正方形的邊長為未知數(shù)的一元一次方程 . 解法 ,構(gòu)造以正方形 邊長為未知數(shù)的方程求解 . 解法 EF轉(zhuǎn)化到邊 BC上 ,利用相似三 角形的對應(yīng)邊成比例求解 . 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 進一步研究 :應(yīng)用這個圖形的基本模型 拓展 ,設(shè)邊 BC=a,高 AD=h,可得 x=ah/a+h,所以 ,如圖正方形SRPQ的邊長為 x=a(h/a+h)2. 拓展 ,內(nèi)接于最短邊上 的正方形面積最大 ,內(nèi)接于最長邊上的正方形面積 最小 .(江蘇省數(shù)學(xué)競賽題 ) RSQPABCDE FGH 五、充分提高例（習(xí)）題的教育價值 案例 1：從最簡單的情形開始 “ 用小立方塊搭一個幾何體，使得它的主視圖和 俯視圖如圖 1所示 .這樣的幾何體只有一種嗎？ 它最少需要多少個小立方塊？最多需要多少個 小立方塊？ ” （最少 10，最多 16） 兩位老師用了兩種不同的教法： 第一位老師的啟發(fā)簡單實用： “ 根據(jù)這兩個圖形，先搭一下模型 ! 誰上臺來操作？ ” 一位同學(xué)上講臺完成了搭模型的任務(wù)，笑咪咪的下去了。 因此，例題講解時要做到? 一題多解，多題歸一 ?，防止? 熟能生笨，熟能生厭 ?（李士錡 ,數(shù)學(xué)教育學(xué)報 ,1999(3)(4)). 多講背景聯(lián)系（來龍去脈）、少掐頭去尾燒中段； 多啟發(fā)通性通法，少灌輸技巧技法； 多挖掘本質(zhì)特征，少進行題海訓(xùn)練； 多注意變式引申，少一些簡單重復(fù)。 分析：對比這兩種思維水平，所用到的知識相同，結(jié)果也都正確。若購甲 4件，乙 10件，丙 1件，共需 410元，現(xiàn)購買甲、乙、丙各一件，共需多少元？ 解：設(shè)甲、乙，丙的單價分別是 x,y,z元，則由題意得， ?????????4 101043 1573zyxzyx?????????????410)3(3)(315)3(2)(yxzyxyxzyx?????????zyxzyx4 101043 1573 ( 3 7 ) ( 4 10 ) 31 5 42 03 4 ( 7 10 ) ( ) 31 5 42 0x y z kx y z x y zx y z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?目 標 ：平 面 系 ：即 （ ） 四、提高學(xué)生解題能力的四要素 例 2.（一道經(jīng)典幾何題） DEIFGHAB CJk??????DEIFGHAB C 四、提高學(xué)生解題能力的四要素 例 2的拓展：向外作矩形， AB=kAH,AC=kAF,試探究HE與 EF的數(shù)量關(guān)系？ EGIAB CHFDββγγααEGIAB CHFDJ 四、提高學(xué)生解題能力的四要素 例 x1,x2是實系數(shù)二次方程 x22mx+m+2=0的兩根； （ 1） m為何值時， x1=x2。每次只能移動 1個金屬片，且較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。 同一性 .即不重不漏 . 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 例 x1,x2,x3,… ,x2020是整數(shù)，且滿足下列條件： ① 1≤x n≤2 ， n=1， 2， 3， … ， 2020； ② x1+x2+… +x2020=200； ③ x12+x22+… +x20202=2020. 求 x13+x23+… +x20203的最小值和最大值 . 例 y=2x24ax+a2+2a+2. （ 1）通過配方，求當(dāng) x取何值時， y有最大或最小值，最大或最小值是多少？ （ 2）當(dāng) 1≤x≤2 時，函數(shù)有最小值 a所有可能取的值。 數(shù)形結(jié)合百般好 ,隔離分家萬事休！ 例 .已知 232,10,10,1 ????????? zyyxzyx 且zyxM 452 ???求 的最大值與最小值 y=x+ 1 x 1 y O y=2x+M4 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 y ≥ x+ ≤y≤1, 0≤x≤ Y=2x+M4 最大值 5， 最小值 4 例、若 2x+y≥1，試求函數(shù) w=y22y+x2+4x的最小值。 甲說： ? 這個題目好象條件不夠，不能求解 ? ； 乙說： ? 它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試 ? ； 丙說： ? 能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以 5，通過換元替換的方法來解決 ? 。 （ 1）甲、乙二人從 A地到達 B地 的平均速度各是多少（用 v1和 v2表示 )？ （ 2）甲、乙二人誰先到達 B地 ?為什么？ （ 3）如圖是甲從 A地到達 B地的路程 s與 時間 t的函數(shù)圖像，請你在圖中畫出相應(yīng) 的乙從 A地到達 B地的路程 s與 t時間的函數(shù) 圖像 . B A t s 中點 C 甲 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 方法 1:如圖 1,聯(lián)結(jié) BD并延長與過點 A且平行于 DF的直線相交于點 E,再過點 E作 AD的平行線 ,則折線 AEG即為所求 . 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 G F E D 圖 1 F 方法 2:如圖 2, 過點 A作 DF的平行于 AE,過點 D作橫軸的垂線與 AE交于點 I,取線段 DI的中點 H,作直線 AH與過點 B的直線相交于點 G,再過點 G作 AD的平行線與 AE交于點 E,則折線 AEG即為所求 . 從廣義上理解，待定系數(shù)法的本質(zhì)就是先尋求問題中的幾個量應(yīng)該滿足的關(guān)系 .然后再利用條件進行求解。k,a,b,c等系數(shù) 的意義一定要使學(xué)生有深刻的理解。如：求值、解方程、因式分解等。 在具體的教學(xué)活動中，以恰當(dāng)?shù)姆绞胶蜁r機揭示數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生能體會、感悟 ,逐漸的理解、領(lǐng)會、內(nèi)化，并進行正確的運用。 三、解題教學(xué)要滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法 教師對數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵要有深入的理解 ,認識到數(shù)學(xué)思想在解題中的 定向功能、聯(lián)想功能、構(gòu)造功能和模糊延伸功能 。兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是所站的角度不同。 探索性的問題轉(zhuǎn)換。 啟發(fā)式的過程分析。如果學(xué)生能猜到第 四個角的軌跡是一條直線，他就 得到這個主意了。正象你說的，你的正方形是不確定的，它能變化；第四個角也是這樣，它怎樣變化 ?”…… “如果你希望的，你可以用實驗的辦法試試看?，F(xiàn)在 未知的確定到了什么程度 ?” “如果正方形只有三個頂點在三角形 的邊線上，那么它是不確定的。 ” 二、加強對波利亞解題思想的理解 “所謂部分條件涉及的頂點數(shù)應(yīng)當(dāng)少于四個。 ” “ 是否可能滿足條件 ?” “我想如此，但不太有把握。 波利亞的例題 一個作圖題 :在給定三角形中作一正方形。 著名的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家瓦爾登在 1952年月 2日瑞士蘇黎世世界數(shù)學(xué)教育家大會的致詞中就曾說過 ” 每個大學(xué)生，每個學(xué)者 ,特別是每個教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書 ” ,對這本書給予了高度的評價 .今天 ,人們公認 ,在數(shù)學(xué)解題研究方面 ,波利亞是一面旗臶 ,他作出了劃時代的貢獻 . 波利亞說 :我們把工作分為四個階段。 這樣的思想方法與思路 ,的確是獨具匠心、發(fā)人深省的呵！ 我們認為 ,發(fā)現(xiàn)教學(xué)的價值 ,就在于它的啟發(fā)提問 ,它的過程的一般性、普遍適用性 . A(P) M N B C 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 二、加強對波利亞解題思想的理解 對于數(shù)學(xué)解題方法，美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞進行了畢生的研究，著有世界名著 “ 怎樣解題 ” 一書，他集數(shù)十年的教學(xué)和科研經(jīng)驗，在書中歸納了一張 “ 怎樣解題表 ” 。 +∠CPE= 240 176。 t） ∴∠ BMN +∠CNM = t + 60 176。 =240176。 100176。四邊形 。 +∠A = 240 176。 +∠A ，延長 EP交 AC 于 K ，易得 ∠ A=∠EPF=60 176。 +∠EPF =240 176。 ∠NPF =180 176。 ,求 ∠ BMN +∠CNM. 教師運用的是啟發(fā)發(fā)現(xiàn)法，想突出學(xué)生的主體地位，在充分調(diào)動著學(xué)生的思維積極性： 師 :只知道一個角的大小 ,但有兩個平行關(guān)系 ,如何來求解呢？ 問題不難，學(xué)生的水平又不錯 ,于是一個個解法被學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了 !每一個提出了新解法 ,為我們的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)添磚加瓦也作了貢獻的學(xué)生 ,當(dāng)教師夸獎他并叫他坐下時 ,自得的心情溢于言表 .于是 ,課堂的氣氛十分活躍！ 生 1：我利用同旁內(nèi)角 ∠ BMN =180176。求證： AE∥BD. B C A D E F 解出習(xí)題并不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全部或最終目的，應(yīng)通過反思活動，去挖掘題目背后的本質(zhì)，若對圖形的幾何本質(zhì)沒有實質(zhì)性的揭示，各種證明方法只能是同一水平的簡單重復(fù)。 若學(xué)生不能真正領(lǐng)悟解題思路的獲得過程，那么，除了當(dāng)時在解題思路上相互之間產(chǎn)生共鳴的學(xué)生外，對于其他學(xué)生，尤其是對于那些理解能力較弱的學(xué)生，當(dāng)他們面對相似的甚至同一個問題時，仍然難以順利解決。 于是教師便以為學(xué)生真的懂了。否則學(xué)生扮演的無非是教師的“同聲筒”角色，這樣的教學(xué)，是無法產(chǎn)生理想的教學(xué)效果的。 教師：由 ∠ QAP=∠BAC 可得 ∠ QAP+∠BAP=∠BAC+∠BAP, 于是有 ∠ QAB=∠PAC ，題中還有一個已知條件是 AB=AC，那么能否得到△ ABQ≌ △ ACP呢？為什么？ 學(xué)生 2：能得到，根據(jù) SAS定理。對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的 認識與思考 舟山南海實驗初中 鄭偉君 \張宏政 : 。 A B C P Q 圖 1 A B C Q P 圖 2 （教師把題目朗讀了一遍后，便引導(dǎo)學(xué)生進行分析 …… ） 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” A B C P Q 圖 1 A B C Q P 圖 2 教師：如圖 2， AQ是由 AP旋轉(zhuǎn)得到的，因此它們之間的關(guān)系是怎樣的呢？ 學(xué)生 1：相等。但學(xué)生是否“ 明確了問題所提供的條件信息和目標信息，并在頭腦里建立起問題的表象 ”了呢？這些都是學(xué)生進行數(shù)學(xué)問題解決的第一步，也是至關(guān)重要的一步。 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 教學(xué)中教師常發(fā)出信息： 你們都聽懂了嗎？ 收到學(xué)生回復(fù)的信息也常是： 聽懂了。但數(shù)學(xué)問題的 關(guān)鍵是尋找解題思路和突破解題的難點。 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 一、要讓學(xué)生“知其然，更知其所以然！” 案例 4：解題貴在揭示本質(zhì) 如圖，將矩形紙片 ABCD沿對角線 BD對折，使點 C落在點 E處， BE交 AD于 F，連結(jié) AE。 △ ABC中， CH⊥ AB,∠ A=2 ∠ B,說明： AH+CA=BH 案例