【導(dǎo)讀】已知兩個(gè)非零向量a和b(如圖)，作OA→＝a，OB→＝b，則∠AOB＝θ。叫做向量a與b的夾角，當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向；如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b.積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，＝|a|2或者|a|＝a·a；λa·b＝λ＝a·(λb)；7．若A，B，AB→＝a，則|a|＝?個(gè)與c共線的向量，a表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，AB→與BC→的夾角應(yīng)為120°，C．m(a＋b)＝ma＋mbD．·c＝a·解析由|a|＝|b|＝2，(a－b)＝－2，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，|AM→|＝1，AP→＝2PM→，[審題視點(diǎn)]由M是BC的中點(diǎn)，得PB→＋PC→＝2PM→.＝PA→·2PM→＝－4|PM→|2＝－49|AM→|2＝－49，故填－49.在菱形ABCD中，若AC＝4，則CA→·AB→＝________.CA→，CA→⊥OB→.所以CA→·AB→＝－12CA2＝－8.解·＝61，解得a·b＝－6.

　　

【正文】 題的命題動(dòng)向研究，對(duì)指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)無疑有十分重要的意義．現(xiàn)聚焦高考三角函數(shù)與平面向量試題，揭秘三角函數(shù)與平面向量高考命題動(dòng)向，挖掘三角函數(shù)與平面向量常見的考點(diǎn)及其求解策略，希望能給考生帶來幫助和啟示． 高考命題特點(diǎn) 新課標(biāo)高考涉及三角函數(shù)與平面向量的考題可以說是精彩紛呈，奇花斗艷，其特點(diǎn)如下： (1)考小題，重基礎(chǔ)：有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式；圖象與圖象變換；兩域 (定義域、值域 )；四 性 (單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性 )；簡單的三角變換 (求值、化簡及比較大小 )．有關(guān)向量的考查主要是向量的線性運(yùn)算以及向量的數(shù)量積等知識(shí)． (2)考大題，難度明顯降低：有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過公式變形轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)很少，而著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能與方法的題目卻在增加．大題中的向量，主要是作為工具來考查的，多與三角、圓錐曲線相結(jié)合． (3)考應(yīng)用，融入三角形與解析幾何之中：既能考查解三角形、圓錐曲線的知識(shí)與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，深受命題者的青睞．主要解法是充分利用 三角形內(nèi)角和定理、正、余弦定理、面積公式、向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件，向量的數(shù)量積等． (4)考綜合，體現(xiàn)三角的工具作用：由于近幾年高考試題突出能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)性和應(yīng)用性的考查，故常常在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，而三角知識(shí)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，故考查與立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等綜合性問題時(shí)突出三角與向量的工具性作用． 高考動(dòng)向透視 考查三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)的 基本關(guān)系 高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查主要以小題的形式出現(xiàn)，即利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值 、變形，或是利用三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進(jìn)行求值、求參數(shù)的值、求值域、求單調(diào)區(qū)間及圖象判斷等，而大題常常在綜合性問題中涉及三角函數(shù)的定義、圖象、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等，在這類問題的求解中，常常使用的方法技巧是 “ 平方法 ” ， “ 齊次化切 ” 等． 【示例 1】 ?(2020福建 )若 α∈ ??? ???0， π2 ，且 sin2α＋ cos 2α＝ 14，則 tan α 的值等于 ( )． A. 22 B. 33 C. 2 D. 3 解析 由二倍角公式可得 sin2α＋ 1－ 2sin2α＝ 14，即－ sin2α＝－ 34， sin2α＝ 34，又因?yàn)?α∈ ??? ???0， π2 ，所以 sin α＝ 32 ，即 α＝ π3，所以 tan α＝ tan π3＝ 3，故選 D. 答案 D 本題考查了三角恒等變換中二倍角公式的靈活運(yùn)用． 考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要包括：正弦 (型 )函數(shù)、余弦 (型 )函數(shù)、正切 (型 )函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖象的變換等五大塊內(nèi)容，在近年全國各地的高考試卷中都有考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的試題，而且對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查不但有客觀題，還有主觀題，客觀題常以選擇題的形式出現(xiàn)，往往結(jié)合集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查圖象的相關(guān)性質(zhì)；解答題主要在與三角恒等變換、不等式等知識(shí)點(diǎn)的交匯處命 題，難度中等偏下． 【示例 2】 ?(2020浙江 ) 已知函數(shù) f(x)＝ Asin??? ???π3x＋ φ ， x∈ R， A＞ 0,0＜ φ＜ π2， y＝ f(x)的部分圖象如圖所示，P， Q 分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (1， A)． (1)求 f(x)的最小正周期及 φ的值； (2)若點(diǎn) R 的坐標(biāo)為 (1,0)， ∠ PRQ＝ 2π3 ，求 A的值． 解 (1)由題意 得， T＝ 2ππ3＝ 6. 因?yàn)?P(1， A)在 y＝ Asin??? ???π3x＋ φ 的圖象上， 所以 sin??? ???π3＋ φ ＝ 1. 又因?yàn)?0＜ φ＜ π2， 所以 φ＝ π6. (2)設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (x0，－ A)， 由題意可知 π3x0＋ π6＝ 3π2 ，得 x0＝ 4，所以 Q(4，－ A)，如圖，連接 PQ，在 △ PRQ中， ∠ PRQ ＝ 2π3 ， 由 余 弦 定 理 得 cos ∠ PRQ ＝ RP2＋ RQ2－ PQ22RPRQ ＝A2＋ 9＋ A2－ ?9＋ 4A2?2A 9＋ A2＝－ 12，解得 A2＝ A＞ 0，所以 A＝ 3. 本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角運(yùn)算 等基礎(chǔ)知識(shí)． 求單調(diào)區(qū)間 高考對(duì)三角函數(shù)的單調(diào)性考查，常以小題形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在大題的某一小問中，屬中檔題．對(duì)于形如 y＝ Asin(ωx＋ φ)(或 y＝ Acos(ωx＋ φ))， Aω≠ 0 的單調(diào)區(qū)間的求法是：先考慮 A， ω的符號(hào)，再將 ωx＋ φ視為一個(gè)整體，利用 y＝ sin x 的單調(diào)區(qū)間，整體運(yùn)算，解出 x 的范圍即可． 【示例 3】 ?(2020安徽 )已知函數(shù) f(x)＝ sin(2x＋ φ)，其中 φ為實(shí)數(shù)，若 f(x)≤ ??? ???f??? ???π6對(duì) x∈ R恒成立，且 f??? ???π2 ＞ f(π)，則 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( )． A.??? ???kπ－ π3， kπ＋ π6 (k∈ Z) B.??? ???kπ， kπ＋ π2 (k∈ Z) C.??? ???kπ＋ π6， kπ＋ 2π3 (k∈ Z) D.??? ???kπ－ π2， kπ (k∈ Z) 解析 因?yàn)楫?dāng) x∈ R 時(shí)， f(x)≤ ??? ???f??? ???π6 恒成立，所以 f??? ???π6 ＝ sin??? ???π3＋ φ ＝ 177。1 ，可得 φ＝ 2kπ＋ π6或 φ＝ 2kπ－ 5π6 .因?yàn)?f??? ???π2 ＝ sin(π＋ φ)＝－ sin φ＞ f(π)＝ sin(2π＋ φ)＝ sin φ，故 sin φ＜ 0，所以 φ＝ 2kπ－ 5π6 ，所以 f(x)＝ sin??? ???2x－ 5π6 ，所以由－ π2＋ 2kπ≤ 2x－ 5π6≤ π2＋ 2kπ 得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ??? ???kπ＋ π6， kπ＋ 2π3 (k∈ Z)． 答案 C 本題的亮點(diǎn)是引入?yún)?shù) φ 與不等式恒成立問題，求解此類問題的關(guān)鍵是：利用隱蔽條件 “ 正弦函數(shù)的有界性 ” ，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) φ的方程，求出參數(shù) φ 的值，注意利用已知條件剔除增根；求出函數(shù)的解析式即可求其單調(diào)遞增區(qū)間，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性可加快求解此類問題的速度． 【訓(xùn)練】 (2020新課標(biāo)全國 )設(shè)函數(shù) f(x)＝ sin(ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋ φ)??? ???ω＞ 0， |φ|＜ π2的最小正周期為 π，且 f(－ x)＝ f(x)，則 ( )． A． f(x)在 ??? ???0， π2 單調(diào)遞減 B． f(x)在 ??? ???π4， 3π4 單調(diào)遞減 C． f(x)在 ??? ???0， π2 單調(diào)遞增 D． f(x)在 ??? ???π4， 3π4 單調(diào)遞增 解析 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋ φ)＝ 2sin??? ???ωx＋ φ＋ π4 ，由最小 正周期為 π 得 ω＝ 2，又由 f(－ x)＝ f(x)可知 f(x)為偶函數(shù)， |φ|＜ π2可得 φ＝ π4，所以 f(x)＝ 2cos 2x在 ??? ???0， π2 單調(diào)遞減． 答案 A 求最值 高考對(duì)三角函數(shù)最值的考查，常以小題形式呈現(xiàn)，屬中檔題．有時(shí)也在大題中的某一步呈現(xiàn)，屬中檔偏難題，高考?？疾橐韵聝煞N類型： ① 化成 y＝ Asin(ωx＋ φ)的形式后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其最值； ② 化成二次函數(shù)形式后利用配方法求其最值． 【示例 4】 ?(2020重慶 )設(shè) a∈ R， f(x)＝ cos x(asin x－ cos x)＋ cos2??? ???π2－ x 滿足 f??? ???－ π3＝ f(0)，求函數(shù) f(x)在 ??? ???π4， 11π24 上的最大值和最小值． 解 f(x)＝ asin xcos x－ cos2x＋ sin2 x＝ a2sin 2x－ cos 2x. 由 f??? ???－ π3 ＝ f(0)得－ 32 a2＋ 12＝－ 1，解得 a＝ 2 3. 因此 f(x)＝ 3sin 2x－ cos 2x＝ 2sin??? ???2x－ π6 . 當(dāng) x∈ ??? ???π4， π3 時(shí)， 2x－ π6∈ ??? ???π3， π2 ， f(x)為增函數(shù)， 當(dāng) x∈ ??? ???π3， 11π24 時(shí)， 2x－ π6∈ ??? ???π2， 3π4 ， f(x)為減函數(shù)， 所以 f(x)在 ??? ???π4， 11π24 上的最大值為 f??? ???π3 ＝ 2. 又因?yàn)?f??? ???π4 ＝ 3， f??? ???11π24 ＝ 2， 故 f(x)在 ??? ???π4， 11π24 上的最小值為 f??? ???11π24 ＝ 2. 本小題主要考查基本三角函數(shù)公式，以及運(yùn)用三角函數(shù)公式對(duì)相關(guān)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡的能力，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想． 【訓(xùn)練】 (2020上海 )函數(shù) y＝ 2sin x－ cos x 的最大值為 ________． 解析 注意到 y＝ 5??? ???25sin x－ 15cos x ＝ 5sin(x－ θ)．其中 cos θ＝ 25， sin θ＝15，因此函數(shù) y＝ 2sin x－ cos x 的最大值是 5. 答案 5 利用三角恒等 變換求三角函數(shù)值 三角恒等變換是研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形的基礎(chǔ)，在前幾年的高考中單獨(dú)命題的情況很少，但在今年的高考中加強(qiáng)了對(duì)三角恒等變換的考查，大多是結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形進(jìn)行命題，但有的省份對(duì)三角恒等變換進(jìn)行了單獨(dú)命題，由此可見，高考加大了對(duì)三角恒等變換的考查力度，高考命題考查的重點(diǎn)性質(zhì)是公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式． 【示例 5】 ?(2020天津 )已知函數(shù) f(x)＝ tan??? ???2x＋ π4 . (1)求 f(x)的定義域與最小正周期； (2)設(shè) α∈ ??? ???0， π4 ，若 f??? ???α2 ＝ 2cos 2α，求 α 的大小． 解 (1)由 2x＋ π4≠ π2＋ kπ， k∈ Z，得 x≠ π8＋ kπ2 ， k∈ Z，所以 f(x)的定義域?yàn)??????????x∈ R|x≠ π8＋ kπ2 ， k∈ Z ， f(x)的最小正周期為 π2. (2)由 f??? ???α2 ＝ 2cos 2α，得 tan??? ???α＋ π4 ＝ 2cos 2α， sin??? ???α＋ π4cos??? ???α＋ π4＝ 2(cos2α－ sin2α)， 整理得 sin α＋ cos αcos α－ sin α＝ 2(cos α＋ sin α)(cos α－ sin α)． 因?yàn)?α∈ ??? ???0， π4 ，所以 sin α＋ cos α≠ 0. 因此 (cos α－ sin α)2＝ 12，即 sin 2α＝ 12. 由 α∈ ??? ???0， π4 ，得 2α∈ ??? ???0， π2 .所以 2α＝ π6，即 α＝ π12. 本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力． 【訓(xùn)練】 (2020浙江 )若 0＜ α＜ π2，－ π2＜ β＜ 0， cos??? ???π4＋ α ＝ 13， cos??? ???π4－ β2 ＝ 33 ，則 cos??? ???α＋ β2 ＝ ( )． A. 33 B．－ 33 39 D．－ 69 解析 對(duì)于 cos??? ???α＋ β2 ＝ cos??? ?????? ???π4＋ α － ??? ???π4－ β2 ＝ cos??? ???π4＋ α cos??? ???π4－ β2 ＋ sin??? ???π4＋ αsin??? ???π4－ β2 ，而 ??? ???π4＋ α ∈ ??? ???π4， 3π4 ， ??? ???π4－ β2 ∈ ??? ???π4， π2 . 因此 sin??? ???π4＋ α ＝ 2 23 ， sin??? ???π4－ β2 ＝ 63 ， 則 cos??? ???α＋ β2 ＝ 13 33 ＋ 2 23 63 ＝ 5 39 .故選 C. 答案 C 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年來高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問題，新課標(biāo)高考更加注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用意識(shí)的考查，而且新課標(biāo)高考在考查的內(nèi)容以及形式上不斷推陳出新，三角函數(shù)不僅可以與集合、函數(shù)與方 程、不等式等結(jié)合命題，而且還可以結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)命題，給今后的命題提出了新的挑戰(zhàn)． 【示例 6】 ?設(shè)函數(shù) f(θ)＝ 3sin θ＋ cos θ，其中，角 θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn) P(x， y)，且 0≤ θ≤ π. (1)若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ??? ???12， 32 ，求 f(θ)的值； (2)若點(diǎn) P(x， y)為平面區(qū)域 Ω??? x＋ y≥ 1，x≤ 1，y≤ 1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角 θ 的取值范圍，并求函數(shù) f(θ)的最小值和最大值． 解 (1