【正文】 － 14 【試一試】 (2020BE→ ＝ ________. 錯因 搞錯向量的夾角或計算錯 實錄 － 12(填錯的結(jié)論多種 )． 正解 由題意畫出圖形如圖所示，取一組基底 {AB→ ， AC→ }，結(jié)合圖形可得 AD→ ＝ 12(AB→＋ AC→ )， BE→ ＝ AE→ － AB→ ＝ 23AC→ － AB→ ， ∴ AD→ 南京質(zhì)檢 )如圖所示，在 △ ABC 中， H 為 BC 上異于 B， C 的任一點， M 為 AH 的中點，若 AM→ ＝ λAB→ ＋ μAC→ ，則 λ＋ μ＝ ________. [審題視點 ] 由 B， H， C 三點共 線可用向量 AB→ ， AC→ 來表示 AH→ . 解析 由 B， H， C 三點共線，可令 AH→ ＝ xAB→ ＋ (1－ x)AC→ ，又 M 是 AH 的中點，所以 AM→ ＝ 12AH→ ＝ 12xAB→ ＋ 12(1－ x)AC→ ，又 AM→ ＝ λAB→ ＋ μAC→ .所以 λ＋ μ＝ 12x＋ 12(1－ x)＝ 12. 答案 12 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行 四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的． 【訓(xùn)練 1】 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若 AD→ ＝ xAB→ ＋ yAC→ ，則 x＝ ________， y＝ ________. 解析 以 AB 所在直線為 x 軸，以 A為原點建立平面直角坐標(biāo)系如圖， 令 AB＝ 2，則 AB→ ＝ (2,0)， AC→ ＝ (0,2)，過 D 作 DF⊥ AB 交 AB 的延長線于 F，由已知得 DF＝ BF＝ 3，則 AD→ ＝ (2＋ 3， 3)． ∵ AD→ ＝ xAB→ ＋ yAC→ ， ∴ (2＋ 3， 3)＝ (2x,2y)． 即有????? 2＋ 3＝ 2x，3＝ 2y，解得????? x＝ 1＋ 32 ，y＝ 32 . 另解： AD→ ＝ AF→ ＋ FD→ ＝ ??? ???1＋ 32 AB→ ＋ 32 AC→ ， 所以 x＝ 1＋ 32 ， y＝ 32 . 答案 1＋ 32 32 考向二 平面向量的坐標(biāo)運算 【例 2】 ?(2020b)2＝ |a|2|b|2 【示例 2】 ? (2020四川 )如圖，正六邊形 ABCDEF 中， BA→ ＋ CD→ ＋ EF→ ＝ ( )． A． 0 → → → 解析 BA→ ＋ CD→ ＋ EF→ ＝ DE→ ＋ CD→ ＋ EF→ ＝ CE→ ＋ EF→ ＝ CF→ . 答案 D 5．設(shè) a 與 b 是兩個不共線向量，且向量 a＋ λb 與 2a－ b 共線，則 λ＝ ________. 解析 由題意知： a＋ λb＝ k(2a－ b)，則有： ??? 1＝ 2k，λ＝－ k， ∴ k＝ 12， λ＝－ 12. 答案 － 12 考向一 平面向量的 概念 【例 1】 ?下列命題中正確的是 ( )． A． a 與 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 也共線 B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點 C．向量 a 與 b 不共線，則 a 與 b 都是非零向量 D．有相同起點的兩個非零向量不平行 [審題視點 ] 以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明其正確與否． 解析 由于零向量與任一向量都共線，所以 A 不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，所以 B 不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關(guān)，所以 D 不正確；對于 C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假設(shè) a 與 b 不都是非零向量，即 a 與 b 中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知 a 與 b 共線，符合已知條件，所以有向量 a 與 b 不共線，則 a 與 b 都是非零向量，故選 C. 答案 C 解決這類與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問題，其關(guān)鍵在于透徹理解平面向量的概念，還應(yīng)注意零向量的特殊性，以及兩個向量相等必須滿足： (1)模相等； (2)方向相同． 【訓(xùn)練 1】 給出下列命題： ① 若 A， B， C， D 是不共線的四點，則 AB→ ＝ DC→ 是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件； ② 若 a＝ b， b＝ c，則 a＝ c； ③ a＝ b 的充要條件是 |a|＝ |b|且 a∥ b； ④ 若 a 與 b 均為非零向量，則 |a＋ b|與 |a|＋ |b|一定相等． 其中正確命題的序號是 ________． 解析 ①② 正確， ③④ 錯誤． 答案 ①② 考向二 平面向量的線性運算 【例 2】 ?如圖， D， E， F 分別是 △ ABC 的邊 AB， BC， CA的中點，則 ( )． → ＋ BE→ ＋ CF→ ＝ 0 → － CF→ ＋ DF→ ＝ 0 → ＋ CE→ － CF→ ＝ 0 → － BE→ － FC→ ＝ 0 [審題視點 ] 利用平面向量的線性運算并結(jié)合圖形可求． 解析 ∵ AB→ ＋ BC→ ＋ CA→ ＝ 0， ∴ 2AD→ ＋ 2BE→ ＋ 2CF→ ＝ 0， 即 AD→ ＋ BE→ ＋ CF→ ＝ 0. 答案 A 三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法，共起點的向量，和用平行四邊形法則，差用三角形法則． 【訓(xùn)練 2】 在 △ ABC 中， AB→ ＝ c， AC→ ＝ b，若點 D 滿足 BD→ ＝ 2DC→ ，則 AD→ ＝ ( )． ＋ 13c － 23b － 13c ＋ 23c 解析 ∵ BD→ ＝ 2DC→ ， ∴ AD→ － AB→ ＝ 2(AC→ － AD→ )， ∴ 3AD→ ＝ 2AC→ ＋ AB→ ∴ AD→ ＝ 23AC→ ＋ 13AB→ ＝ 23b＋ 13c. 答案 A 考向三 共線向量定理及其應(yīng)用 【例 3】 ?設(shè)兩個非零向量 a 與 b 不共線． (1)若 AB→ ＝ a＋ b， BC→ ＝ 2a＋ 8b， CD→ ＝ 3(a－ b)． 求證： A， B， D 三點共線； (2)試確定實數(shù) k，使 ka＋ b 和 a＋ kb 共線． [審題視點 ] (1)先證明 AB→ ， BD→ 共線，再說明 它們有一個公共點； (2)利用共線向量定理列出方程組求 k. (1)證明 ∵ AB→ ＝ a＋ b， BC→ ＝ 2a＋ 8b， CD→ ＝ 3(a－ b)． ∴ BD→ ＝ BC→ ＋ CD→ ＝ 2a＋ 8b＋ 3(a－ b)＝ 5(a＋ b)＝ 5AB→ . ∴ AB→ ， BD→ 共線，又它們有公共點， ∴ A， B， D 三點共線． (2)解 ∵ ka＋ b 與 a＋ kb 共線， ∴ 存在實數(shù) λ，使 ka＋ b＝ λ(a＋ kb)， 即 (k－ λ)a＝ (λk－ 1)b. 又 a， b 是兩不共線的非零向量， ∴ k－ λ＝ λk－ 1＝ 0.∴ k2－ 1＝ 0.∴ k＝ 177。cos θ＝ 6.∴ |AB→ |BC→ ＝ 6，設(shè) AB→ 與 BC→ 的夾角為 θ. (1)求 θ的取值范圍； (2)求函數(shù) f(θ)＝ sin2θ＋ 2sin θ(2x＋ 3，－ x)＝ 1 (2x＋ 3)＋ x(－ x)＝ 0. 整理，得 x2－ 2x－ 3＝ 0，解得 x＝－ 1 或 x＝ 3. (2)若 a∥ b，則有 1 (－ x)－ x(2x＋ 3)＝ 0， 即 x(2x＋ 4)＝ 0，解得 x＝ 0 或 x＝－ 2. 當(dāng) x＝ 0 時， a＝ (1,0)， b＝ (3,0)， a－ b＝ (－ 2,0)， ∴ |a－ b|＝ ?－ 2?2＋ 02＝ 2. 當(dāng) x＝－ 2 時， a＝ (1，－ 2)， b＝ (－ 1,2)， a－ b＝ (2，－ 4)， ∴ |a－ b|＝ 2 5. 綜上，可知 |a－ b|＝ 2 或 2 5. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過解方程求出其中的參數(shù)值．在計算數(shù)量積時要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個向量的坐標(biāo)求出來，再計算數(shù)量積 ；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運算法則進(jìn)行整體計算，把這個數(shù)量積的計算化歸為基本的向量數(shù)量積的計算． 【訓(xùn)練 3】 已知平面內(nèi) A， B， C 三點在同一條直線上， OA→ ＝ (－ 2， m)， OB→ ＝ (n,1)，OC→ ＝ (5，－ 1)，且 OA→ ⊥ OB→ ，求實數(shù) m， n 的值． 解 由于 A， B， C 三點在同一條直線上， 則 AC→ ∥ AB→ ， AC→ ＝ OC→ － OA→ ＝ (7，－ 1－ m)， AB→ ＝ OB→ － OA→ ＝ (n＋ 2,1－ m)， ∴ 7(1－ m)－ (－ 1－ m)(n＋ 2)＝ 0， 即 mn＋ n－ 5m＋ 9＝ 0， ① 又 ∵ OA→ ⊥ OB→ ， ∴ － 2n＋ m＝ 0.② 聯(lián)立 ①② ，解得 ??? m＝ 6，n＝ 3 或????? m＝ 3，n＝ 32. 規(guī)范解答 10—— 如何解決平面向量與解三角形的綜合問題 【問題研究】 平面向量與三角的綜合性問題大多是以三角題型為背景的一種向量描述．它需要根據(jù)向量的運算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角的 相關(guān)知識來解答，三角知識是考查的主體．考查的要求并不高，解題時要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數(shù)學(xué)問題． 【解決方案】 解決這類問題時，首先要考慮向量工具性的作用，如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊長與夾角問題，然后注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表達(dá)形式，最后用三角知識規(guī)范解答． 【 示例 】 ? (本題滿分 12 分 )(2020 ∴ θ＝ 30176。b＋ |b|2＝ 3|a|2， ∴ |a＋ b|＝ 3|a|. ∴ cos θ＝ ab＋ b2＝ 37. ∴ |a－ b|＝ 37. 在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對 |a|＝ a(2a＋ b)＝ 61，解得 aOB→ .而 AO→ ＝－ 12CA→ ， CA→ ⊥ OB→ .所以 CA→ AB→ ＝ ________. 解析 AB→ ＝ AO→ ＋ OB→ ，故 CA→ 合肥模擬 )在 △ ABC 中， M 是 BC 的中點， |AM→ |＝ 1， AP→ ＝ 2PM→ ，則 PA→ 江西 )已知 |a|＝ |b|＝ 2， (a＋ 2b)( a＋ 2b)＝ ( )． A． 4 B． 3 C． 2 D． 0 解析 由 a∥ b 及 a⊥ c，得 b⊥ c，則 cc＝ ac＝ a而不是 60176。 b)c 表示一個與 c 共線的向量， a(bb＝ ab＝ x1x2＋ y1y2； (2)|a|＝ x21＋ y21； (3)cos〈 a， b〉 ＝ x1x2＋ y1y2x21＋ y21 x22＋ y22； (4)a⊥ b? a( λb)； (3)(a＋ b)b＝ ba＝ |a|2或者 |a|＝ ab＝ 0； (3)當(dāng) a 與 b 同向時， aa＝ 0. 3． 向量數(shù)量積 的幾何意義 數(shù)量積 a時， a 與 b 反向 ；如果 a 與 b 的夾角是 90176。第 3 講 平面向量的數(shù)量積 【高考會這樣考】 1．考查平面向量數(shù)量積的運算． 2．考查利用數(shù)量積求平面向量的夾角、模． 3．考查利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時，應(yīng)緊扣平面向量數(shù)量積的定義，理解其運算法則和性質(zhì)，重點解決平面向量的數(shù)量積的有關(guān)運算，利用數(shù)量積求解平面向量的夾角、模，以及兩向量的垂直關(guān)系． 基礎(chǔ)梳理 1．兩個向量的夾角 已知兩個非零向量 a 和 b(如圖 )，作 OA→ ＝ a， OB→ ＝ b，則 ∠ AOB＝ θ(0176。時， a 與 b 同向 ；當(dāng) θ＝ 180176。b＝ |a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0，即 0e＝ |a|cos θ； (2)a⊥ b? ab＝－ |a||b|，特別的， ab|≤ |a||b|. 5． 向量數(shù)量積 的運算律 (1)ab)＝ ac. 6． 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算 設(shè)向量 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，向量 a 與 b 的夾角為 θ，則 (1)ab＜ 0，能否說明 a 和 b 的夾角為鈍角？ 三個防范 (1)若 a， b， c 是實數(shù)，則 ab＝ ac? b＝ c(a≠ 0)；但對于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量 a， b， c 若滿足 a c)，這是由于 (a c)不一定相等． (3)向量夾角的概念要領(lǐng)會，比如正三角形 ABC 中， AB→ 與 BC→ 的夾角應(yīng)為 120176。b|a||