數(shù)學分析函數(shù)極限兩個重要的極限-資料下載頁
2025-08-22 09:06本頁面
【導讀】所以時，因為當,??????txxt時則若令由此可得。在實際應(yīng)用中，公式與具有相同作用.所以由歸結(jié)原則，＝而,01,e11lim2?????????定義1內(nèi)有定義，的某鄰域在點設(shè))(00xUxf?xfxx若.0時的無窮小量為則稱xxf?性質(zhì)1可由極限的四則運算性質(zhì)直接得到.下面對性質(zhì)２加以證明..01sin時的無窮小量為的有界量，那么?從幾何上看，曲線在近旁發(fā)生無0?限密集的振動，其振幅被兩條直線xy??
【正文】 s i n ,1s i nlim0???xxxx xx所以因為。)0(~a r c t a n ,1a r c t a nlim 0???xxxx xx所以因為則稱若 ,1)( )(lim .40?? xgxfxx 時的為與 0 )( )( xxxgxf ?等價無窮小量，記作 也就是說，這里的 “ =” 類似于 .”“?返回 后頁 前頁 .0)(21~co s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)： ),( )(~)( ),( )(~)( 00 xxxhxgxxxgxf ??若.1)( )(lim)( )(lim)( )(lim 000?????? xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無窮小量階的比較 , 值得注意的是 , 并 .)( )(~)( 0xxxhxf ?那么 這是因為 不是任何兩個無窮小量都可作階的比較 . 例如 返回 后頁 前頁 xxsin 與 21x 均為 ???x 時的無窮小量 , 卻不能 按照前面討論的方式進行階的比較 . 這是因為 )(si n1si n2???? xxxxxx是一個無界量，并且 (2 π ) s in ( 2 π ) 0 .nn ?下面介紹一個非常有用的定理： 返回 后頁 前頁 定理 設(shè)函數(shù) f, g, h 在 )( 0xU ? 內(nèi)有定義 , 且 .)()(~)( 0xxxgxf ?。)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxf xxxx ?? ?? 則若.)( )(lim,)( )(lim)2(00Axg xhAxf xhxxxx????則若.)()()( )(lim)()(lim00Axhxfxf xgxhxgxxxx????證 ,1)( )(lim,)()(lim)1(00???? xgxfAxhxfxxxx因為 所以 返回 后頁 前頁 定理 告訴我們，在求極限時，乘積中的因子 例 1 .2s i na r c t a nlim0 xxx ?計算.212lim2si na r c t a nlim00???? xxxxxx解 ),0(2~2si n,~a r c t a n ?xxxxx因為 所以 (2) 可以類似地證明 . 可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法 .
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