【導(dǎo)讀】張堯庭，方開泰《多元統(tǒng)計(jì)分析引論》,科學(xué)出。何曉群《多元統(tǒng)計(jì)分析》,中國人民大學(xué)出版。自然科學(xué)、社會科學(xué)、人文科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。學(xué)，農(nóng)業(yè)，工業(yè)，法律，語言學(xué)，文學(xué)，管理科學(xué)，政治學(xué)，宗教研究，社會學(xué)，分類學(xué)等等。抽取樣本，并取得樣本統(tǒng)計(jì)資料。對描述樣本的指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，選擇最佳的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。對數(shù)量模型進(jìn)行檢驗(yàn)、優(yōu)化以及運(yùn)用。研究對象和主要內(nèi)容。多元統(tǒng)計(jì)分析方法與一元統(tǒng)計(jì)的比較。多元分析是以多維隨機(jī)變量的內(nèi)在聯(lián)系及統(tǒng)計(jì)。規(guī)律為其研究對象。是統(tǒng)計(jì)中討論多維隨機(jī)變。從形式上看，一類是單變量常用的統(tǒng)計(jì)方法在。馬爾科夫概型分析

　　

【正文】 ??????????????????????2212222111211nnnppn xxxxxxxxx???????xxxX21稱為 樣本數(shù)據(jù)矩陣 ? ? )]()(21e x p[)( 112 ??? ????? ??? ? iininp2 XX ??)()()()( 21 nXfXfXff ???X)]()(21e x p[)2( 12121 ??? ????? ???? iipni xx ??為 樣本聯(lián)合密度函數(shù) 。 167。 2 樣本分布 一 、 維希特 （ Wishart） 定義 隨機(jī)矩陣的分布 ?????????????npnnppxxxxxxxxx??????212222111211X設(shè)隨機(jī)矩陣 矩陣中的 每一個(gè)元素均為隨機(jī)變量 ，則矩陣 X的分布是其列 向量拉長，組成一個(gè)長向量 ? ? 的分布。?? npnpp xxxxxx ????? 1221111x 定義 : 維希特（ Wishart）分布的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) 個(gè)隨機(jī)向量 n ),3,2,1(),( 21 niXXX ipiii ?? ???X???????????????????????????????? )()2()1(212222111211npnnpnnppXXXXXXXXXXXX???????X 獨(dú)立同分布于 ，則 隨機(jī)矩陣 ),( ?μpN ?? ?? n 1i ii??? 服從 自由度為 的 非中心維斯特分布 ， 記為 。 n ),(~ μ?? nW p?? ?? nl ljil XX1???????????????????????????npnnppnpppnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXA????????????212222111211212221212111 特別當(dāng) 是 階對稱陣，則 的分布的下三角部分組成的長向量 X p X? ??? ??? pppppppp xxxxxxx ,1,1,1222111 ????x 在一元正態(tài)隨機(jī)變量中，我們曾經(jīng)討論了 分布，在多元 正態(tài)隨機(jī)變量也有類似的樣本分布。 維希特分布（ Wishart）相當(dāng) 于一元統(tǒng)計(jì)中的 分布。 2?2? 定理 1：若 ，且 ， ，則 的分布密度為 特別，當(dāng) 和 時(shí)， 服從 分布。 ),(~ ?? nW p pn?0???0,)21(||2)21e x p (||)(1221)1(212)1(???????????ainAtraaFpinnppnpp????1?p 1???2?維希特（ Wishart）分布的密度函數(shù) 二、維斯特 (Wishart)分布有如下的性質(zhì)： （ 1）若 A1和 A2獨(dú)立，其分布分別 和 ，則 的分布為 ，即維斯特 (Wishart)分布有 可加性 。 ),( 1 ?nW p ),( 2 ?nW p21 ?? ? ),( 21 ?nnW p ?（ 2） ， C為 m p階的矩陣，則 的分布為 分布。 ),(~ ?? nW p CC ??),( CC ??nW m三、 抽樣分布 定理 1：設(shè) X1,X2,…… Xn是來自多元正態(tài)總體 Np(?,?)的簡單隨機(jī)樣本，有 ),( 11211 ?? pxxx ?1x),( 222212 ?? pxxx ?x),( 21 ?? npnnn xxx ?x???? ni in 11 ??令 ?? ???? n 1i XXXXS ))(( ii 則有 XXXXS i ???? ?? nn jj1)1,(~1 ?? nN p ?、相互獨(dú)立和、 S?2),1(~3 ??nWS p、證明： ? ? 為一正交矩陣設(shè)?????????????????????????????????nnnijnn??????????2111******?? ? ????? ???? nn XXX ?? 2121 )(令為正交矩陣，所以且獨(dú)立同正態(tài)分布由于 ?,),4,3,2,1( ni ??iX獨(dú)立同正態(tài)分布)( 21 n???? ???????? ni in n 11)1,3,2,1()()( 1 ??? ?? narEE nj jaja ?????? nj ajr1 ?01 ?? ??ni njaj rrn ???????jijiC o vji ???0),(???nj aj nrn 11 ??nEnE ni in ?? ?? 1 )(1)( ?? ΣZ n nV a r 1)( ?)1,(~1 ???? nNn pn ?X??????n jj1 ))((i XXXXSXXXXS i ???? ?? nn jj1nnnjj ?? ???? ?? 1i XXSnn ?????? ?????S??? ?? 11nj jj??S相互獨(dú)立與 S??),1(~11 ??? ??? ??? nW pnj jjS當(dāng) ， 時(shí) ， 由卡方分布的定義可知 1?p1????? ?? 11 22 )1(~ni i nyA ?可見維希特分布是由卡方分布在多元下的推廣 。 ),4,3,2,1( ni ??iX)(1)( 0120 ?? ?????????? ? xx0 ?nT? ? )()( 01 ?? ???? ? xx 0 ?n服從自由度為 的卡方分布 。 p定理 2 設(shè) 獨(dú)立同正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量 證： 由于樣本均值 )1,(~ ?n?pNx)(21 ??? ? X?? n令??? ??? ? )]([)( 21 ?XnEEpnDD ??? ???? )]([)( 21 ?X)(~)(21 Io,X pNn ??? ???)~ 2222212 pZZZ p （所以 ??????? ????相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和為 自由度為 的卡方分布 。 p在一元正態(tài)的情形下 ， 我們有樣本的統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)總體的方差未知時(shí) ， 我們必須用樣本的方差 來代替總體的方差 ， 則 那么在多元正態(tài)的情形下 ， 是否有相同的問題呢 ？ 回答時(shí)肯定的 。 )1,0(~ NnxZ ? ????? ??? ni i xxnS 1 22* )(11)1(~* ??? ntnSxt ?定義： 則相互獨(dú)立和設(shè) ,),(~),(~ ??? μpp NunW),(~ 212 μuu npTn ??? ??稱 T2服從參數(shù)為 P和 n的 非中心霍特林（ Hotelling)分布 ，當(dāng)。 定理 ： ),(~)()( 212 npTxxn ?? ???? ???則相互獨(dú)立和設(shè) ,),(~),(~ ??? ?pp NxnW 當(dāng) 時(shí) ， 服從自由度為 n的 中心 霍特林分布 ，記為 。 0?μ uu 12 ??? ?? nuu 12 ??? ?? n ),(~ 2 npT)1,(~1 2 ???? pnpFTnppn … ),( 11211 ?? pxxx ?1x),( 222212 ?? pxxx ?x),( 21 ?? npnnn xxx ?x樣本均值令 ????? ni in 11 ??樣本叉積矩陣???? ???? n 1i XXXX ))(( iiS)1,(~)()()1( 212 ?????? ? npTxSxnn ???則)1,(1),(2 ????? pnpFpn npnpT且 定理 ： 設(shè) 是來自多元正態(tài)總體 的簡單隨機(jī)樣本 ， 有 n21 xxx , ? ),( ??pN 定理： 設(shè) 是來自多元正態(tài)總體 的簡單隨機(jī)樣本 ， 1, n21 xxx ? ),( ??pN … ),( 11211 ?? pxxx ?1x),( 222212 ?? pxxx ?x),( 1111 21 ?? pnnnn xxx ?x),( 2222 21 ?? pnnnn YYYY ?),( 11211 ?? pYYYY ?1),( 222212 ?? pYYYY ??21 ?? ?若)1,(~)()( 22121211212 ??????? ? npTnnnnxxSxxp則2)1()1(212211??????nnSnSnSp 設(shè) 是來自多元正態(tài)總體 的簡單隨機(jī)樣本 ， ),( 2 ??pN2, n21 YYY ?（ 1） Wilks分布 定義：設(shè) 和 ，且 相互獨(dú)立， 和 ， ，則稱 服從 Wilks分布，記 。 可以證明，當(dāng) 和 時(shí)， Wilks分布可以用 分布近似。 ),(~ 1 ?? nW p ),(~ 2 ?? nW p ??,pn ?1 pn ?20??|| || ?? ?? ??),(~ 21 nnp??2??p22 ?n 2? 四 、 基于 維斯特 (Wishart)分布的統(tǒng)計(jì)量 F 在一元方差分析中 ， 常常遇到基于獨(dú)立的 分布隨機(jī)變量比值的 統(tǒng)計(jì)量 。 在多元統(tǒng)計(jì)分析中 ， 起到相同作用的是統(tǒng)計(jì)量 和 分布 。 2?? ? Λ統(tǒng)計(jì)量和 Λ分布 設(shè) k個(gè)總體 ， 它們服從 。 分別抽出如下的樣本： kGG ,1 ? ),( )( ?ipN ?)1()1(2)1(11, nxxx ?)2()2(2)2(12, nxxx ?)()(2)(1 , knkkkxxx ????? ka ann 1? ??? )()(2)(1 , anaa axxx ?ax? ?? ?? kaniaia xn 1 1)(1x??? aniaiaa xn 1)(1x? ?? ? ???? ka ni a1 1 )( x)(xxxW ( a )i( a )i? ?? ? ???? ka ni aa1 1 )( x)(xxxE ( a )ia( a )i?? ???? ka an1 )( x) ( xxxB ( a )i( a )i W=E+B 當(dāng) K個(gè)總體的均值相等時(shí) , ),1(~ ??nW pW),(~ ?? knW pE),1(~ ??kW pBWEBEE ???? 服從 Wilks Λ分布。 多元正態(tài)