【導(dǎo)讀】聚類分析也是一種分類技術(shù)。其他方法相比，該方法理論上還不完善。，但由于它能解決許多實際問題，很受。人們的重視，應(yīng)用方面取得了很大成功。對10位應(yīng)聘者做智能檢驗。和Z分別表示數(shù)學(xué)推理能力，空間想象能。力和語言理解能力。其得分如下，選擇合。適的統(tǒng)計方法對應(yīng)聘者進(jìn)行分類。例如,對上市公司的經(jīng)營業(yè)績進(jìn)行分類；例如，根據(jù)經(jīng)濟(jì)信息和市場行情，客觀地對。不同商品、不同用戶及時地進(jìn)行分類。例如,當(dāng)我們對企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行評價時，關(guān)性，所以需要將相似的指標(biāo)聚為一類，從。而達(dá)到簡化指標(biāo)體系的目的。變量按測量尺度的不同可以分為以下三類：。用連續(xù)的數(shù)量來度量，如長度、重量、產(chǎn)值、成本。不能用明確的數(shù)量度量，用等級表示，有次序關(guān)系。性別中的男與女，品與第j樣品之間的距離記為dij. 定義第i個和第j個樣品間的距離要求滿足如。學(xué)生的身高與體重資料

　　

【正文】 距陣就發(fā)生變化， )1(22 ?? mmC m mVVVV ???? ?211)1(1312)1( ACTTATB mm ?? ??kjT)()2()1( kBBBA ???? ?kk CCACBCACCBBACB ?? 21)(212)1()2(1)1( , ????相應(yīng)的總方差 經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后 ， 它的總方差的改變不大時 ， 就停止旋轉(zhuǎn) 。 這時的 比 A要好 ， 根據(jù) 這個旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣 ， 得到因子模型 X= F kk CCACBCACCBBACB ?? 21)(212)1()2(1)1( , ????)()2()1( kBBBA ???? ?)()2()1( kVVVV ???? ?)(kB)(kB)(kB上例建立因子載荷陣 。 因子指標(biāo) Component 1 2 3 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 .885 .606 .912 .466 .486 .823 .383 .160 .739 .248 .594 .426 .121 .270 .212 .366 .797 .438 .212 第五步 對因子載荷陣實行方差最大旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩陣如下： 正交因子表 因子指標(biāo) Component 1 2 3 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 .955 .217 .871 .752 .944 .125 .841 .352 .927 .111 .968 .820 從上表可見 ， 每個因子只有少數(shù)幾個指標(biāo)的因子載荷較大 ， 因此可根據(jù)上表進(jìn)行分類 ， 將 8個指標(biāo)按高載荷分成三類 ， 列于下表： 高載荷指標(biāo) 意義 1 X1： GDP X3：固定資產(chǎn)投資 X8：工業(yè)總產(chǎn)值 總量因子 2 X2：居民消費(fèi)水平 X4：職工平均工資 X5：貨物周轉(zhuǎn)量 消費(fèi)因子 3 X6：居民消費(fèi)價格指數(shù) X7：商品零售價格指數(shù) 價格因子 第一個因子在指標(biāo) X X X8有較大的載荷 ， 這些是從 GDP、 固定資產(chǎn)投資 、 工業(yè)總產(chǎn)值三個方面反映經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的 ， 因此命名為總量因子 。 第二個因子在指標(biāo) X X X5有較大的載荷 ， 這些是從居民消費(fèi)水平 、 職工平均工資 、 貨物周轉(zhuǎn)量這三方面反映經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的 ， 因此命名為消費(fèi)因子 。 第三個因子在指標(biāo) X X7有較大的載荷 ， 因此命名為價格因子 。 第五節(jié) 因子得分 因子分析是將變量表示為公因子的線性組合 。由于公因子能充分反映原變量的信息 ， 并且公因子間不相關(guān) ， 用公因子代表原變量時 ， 更有利于描述研究對象的特征 。 因此 ， 往往反過來將公因子表示為原變量的線性組合 （ 如同主成分分析一樣 ） ， 即 稱上式為 因子得分函數(shù) ， 用它計算每個公因子的得分 。 mjXbXbF pjpjj ,2,1,11 ?? ????由于上式中方程的個數(shù)少于變量的個數(shù) ， 因此 ， 只能按回歸法在最小二乘意義下求得回歸方程 XbXbbXbXbF jjpjpjpjj ?????? ),( 111 ??由于變量和公因子都是標(biāo)準(zhǔn)化的 ， 所以有： 因為 0110 ????? pjpjjj XbXbFb ?pirbrbXXEbXXEbXbXbXEFXEraipjpijpijpijpjpjijiFXij ji,2,1),(),()]([),(111111????????????????即 j=1,2,… ,m ?????????????pjppjppjpjjpjpjjarbrbrbarbrbrb???221111122111寫成距陣 即 j=1,2,… m 則 從而 ???????????????????????????????pjjjpjppppaabbrrrr?????? 111111jj aRb ?jj aRb 1??XRaXbF jjj 1? ?????XRAXRaaXRaaXRaXRaFFFmmmm111111111),(????????????????????????????????????????????????? ????注： 因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因子是一個比較抽象的概念，而回歸因子有非常明確的實際意義； 主成分分析與因子分析也有不同， 主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構(gòu)造因子模型 。 主成分分析 :原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分； 因子分析： 潛在的假想變量和隨機(jī)影響變量的線性組合表示原始變量。 因子分析與主成分分析都是多元分析中用于降維的方法 。 兩者在求解過程中都是從協(xié)方差陣 （ 或相關(guān)系數(shù)陣 ）出發(fā) ， 但兩者有很大的不同 。 1） 主成分分析的數(shù)學(xué)模型實質(zhì)上是一種變量替換 ， 而因子分析的數(shù)學(xué)模型才是一種反應(yīng)數(shù)學(xué)關(guān)系的模型 。 2） 主成分分析中的系數(shù)是唯一確定的 ， 而因子分析中的因子載荷是不唯一的 ， 即因子載荷陣不唯一 。 3）主成分分析是將主成分表示為原變量的線性組合，而因子分析是將原變量表示為新因子的線性組合，即為新因子的綜合指標(biāo)，所以因子分析是主成分分析的發(fā)展 例 2 利用 1995年的數(shù)據(jù)對我國社會發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行綜合考察。 第一步 將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化 第二步 建立指標(biāo)間相關(guān)系數(shù)陣 R如下： X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 X2 X3 X4 X5 X6 .46 .76 .93 .29 .46 .26 .45 .66 .57 .76 .26 .85 .25 .13 .93 .45 .85 .39 .09 .29 .66 .25 .39 .75 .57 .13 .09 .75 第三步 求 R的特征值和累計貢獻(xiàn)率 。 序號 特征值 方差貢獻(xiàn)率 累計貢獻(xiàn)率 1 2 3 4 5 6 .492583 .263991 .088465 .039633 .66054 第四步 建立因子載荷陣 。 由于前三個特征值的累計貢獻(xiàn)率已達(dá) %， 故取前三個特征值建立因子載荷陣如下： 因子指標(biāo) Factor Factor Factor 1 2 3 1 2 3 4 5 6 .912657 .240291 .920468 .953077 .189462 .314504 .158874 .033665 .502540 .928865 .284904 .888718 .190316 .307010 .252020 第五步 將因子載荷陣實行方差最大正交旋轉(zhuǎn) ，得正交因子表如下： 因子 指標(biāo) Factor Factor Factor 1 2 3 X1 X2 X3 X4 X5 X6 .953927 .339698 .900450 .974914 .259744 .566074 .108737 .131773 .884824 .962020 .188985 .750912 .054662 .086750 .049149 第六步 將六個指標(biāo)按高載荷分成三類 ，并結(jié)合專業(yè)知識對各因子給引命名如下： 高載荷指標(biāo) 因子命名 1 人均 GDP 城鎮(zhèn)居民人均年可支配收入 農(nóng)村居民家庭人均純收入 收入因子 2 高等學(xué)校數(shù) 衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù) 社會因子 3 新增固定資產(chǎn) 投資因子 （二）主因子法 主因子方法是對主成分方法的修正，假定我們首先對變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換。則 R=AA′+D R*=AA′=RD 稱 R*為約相關(guān)矩陣， R*對角線上的元素是 , 而不是 1。 2ih21 12 1221 2 2212????ppp p ph r rr h rRr r h?????????????????R D直接求 R*的前 p個特征根和對應(yīng)的正交特征向量。 得如下的矩陣： * * * * * *1 1 2 2 pp? ? ???? ??A u u u* * *1 0p??? ? ?R 特 征 根 ：* * *12, , , pu u u正 交 特 征 向 量 ： 例 假定某地固定資產(chǎn)投資率 ，通貨膨脹率 ，失業(yè)率 ，相關(guān)系數(shù)矩陣為 試用主成分分析法求因子分析模型。 1x2x 3x?????????????15/25/15/215/15/15/11 特征根為： ?? ?? ??????????????? 0 3 2 0 3 2 8 7 A??????????????7 0 3 2 7 0 3 2 08 8 7 U????????????? 可取前兩個因子 F1和 F2為公共因子， 第一公因子 F1物價就業(yè)因子，對 X的貢獻(xiàn)為 第二公因子 F2為投資因子，對 X的貢獻(xiàn)為 。 共同度分別為 1， ， 。 211 FFx ??3212 FFFx ???3213 FFFx ???? 假定某地固定資產(chǎn)投資率 ，通貨膨脹率 ，失業(yè)率 ，相關(guān)系數(shù)矩陣為 試用主因子分析法求因子分析模型。假定用代替初始的。 。 1x 2x3x?????????????15/25/15/215/15/15/11)(||m a x? 2 ijrh iji ??2ih 52,1,51 232221 ??? hhh?????????????????????????????221251111515/25/25/15/215/15/15/15/1*R 特征根為： 1 ?? ??03 ?? 對應(yīng)的非零特征向量為： ????????????2 6 5 2 6 5 9 2 6 ????????????0 8 7 6 1 2 5 0 8 7 6 1 2 5 0 8 7 2 1 2 6 ?????????????0 7 2 0 7 2 2 7 5 1211 ???? FFx2212 ???? FFx3211 ????? FFx新的共同度為：18 12 2221 ??? oh396 2222 ???h471 2223 ???h 百米跑成績 跳遠(yuǎn)成績 鉛球成績 跳高成績