【文章內(nèi)容簡介】 是說分 G類是合適的。但是，分類越多，每個類的類內(nèi)的離差平方和就越小， 也就越大；所以我們只能取合適的 G，使得 足夠大，而 G本生很小，隨著 G的增加， 的增幅不大。比如，假定分 4類時， =；下一次合并分三類時，下降了許多， =，則分 4 類是合適的。 TPR G?? 122RGP2R2R2R2R2R偽 F統(tǒng)計量的定義為 偽 F統(tǒng)計量用于評價聚為 G類的效果。如果聚類的效果好，類間的離差平方和相對于類內(nèi)的離差平方和大，所以應(yīng)該取偽 F統(tǒng)計量較大而類數(shù)較小的聚類水平。 )()1()(GnPGPTFGG????偽 統(tǒng)計量的定義為 其中 和 分別是的類內(nèi)離差平方和， 是將 K和 L合并為第 M類的離差平方和 = 為合并導(dǎo)致的類內(nèi)離差平方和的增量。用它 評價合并第 K和 L類的效果，偽 統(tǒng)計量大說 明不應(yīng)該合并這兩類，應(yīng)該取合并前的水平。 )2()(2???? LKLKKLNNWWBtKLB MW LW KWKWLW2t第八章 因子分析 第一節(jié) 什么是因子分析及基本思想 因子分析是主成分分析的推廣 ， 它也是一種把多個變量化為少數(shù)幾個綜合變量的多元統(tǒng)計分析方法 。 目前因子分析在 心理學(xué) 、 社會學(xué) 、 經(jīng)濟學(xué) 、 人口學(xué) 、 地質(zhì)學(xué) 、 生理學(xué) 、化學(xué) 、 物理學(xué)中 都取得了成功的應(yīng)用 例如考慮人的五個生理指標(biāo)： X1：收縮壓 ， X2：舒張壓 ， X3：心跳間隔 ， X4：呼吸間隔 ， X5：舌下溫度 從生理學(xué)的知識知道 ， 這五個指標(biāo)是 受植物神經(jīng)支配的 ， 植物神經(jīng)分為交感神經(jīng)與副交感神經(jīng) ，因此至少有兩個公共的因素對它們有影響 。 如果用 F1 、 F2分別表示 交感神經(jīng) 與 副交感神經(jīng) ，稱為 公因子 ， 那么可以設(shè)想 X X X X X5是F1 、 F2的線性函數(shù) ， 即 i=1,2,… ,5 iiii FaFaX ???? 2211即 用矩陣表示 或 X=AF+ε 5252151542421414323213132222121212121111????????????????????FaFaXFaFaXFaFaXFaFaXFaFaX????????????????????????????????????????????52121522212512111521??????? FFaaaaaaXXX5252151542421414323213132222121212121111????????????????????FaFaXFaFaXFaFaXFaFaXFaFaX這里 是其它對 有影響的因子 ， 通常是指公共因子以外的因子稱為 特殊因子 。 只對 有影響 。 通常假定 i? iXi? iX),0(~ 2ii N ??注意這里 X是已知的， F是未知的 。與回歸模型是不同的。 或 X=AF+ε 因子分析就是要估計出 A， 求出因子模型 ， 因子分析有 R型因子分析 和 Q型因子分析 。 R型因子分析是對 變量 作因子分析； Q型因子分析是對 樣品 作因子分析 這里以 R型因子分析為例 。 Q型類似 。 X=AF+ε 第二節(jié) 因子分析的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型（也稱正交 因子模型 ） 一般地 R型因子分析的 數(shù)學(xué)模型： 用矩陣表示 : ??????????????????????pmpmpppmmmmFaFaFaXFaFaFaXFaFaFaX???????2211222221212112121111????????????????????????????????????????????????????????pmpmppmmp FFFaaaaaaaaaXXX????????????212121222211121121簡記為 )1()1()()1( ??????pmmppFAX ?滿足此假定的 因子模型 稱為 正交因子模型 。 方差不同之間不相關(guān)即之間不相關(guān)且方差皆為即是不相關(guān)的和即，DFFIFD）FFC o vEFEpmppmmF????????????1221100)(1)(4,0),()30)(,0)()2)1????????????????????且滿足： 這里 是原始變量 ， 是公共因子 ， 也就是說 F對每個 Xi都起作用 ， ε 稱為特殊因子 ， ε i只對 起作用 。 A稱為 因子載荷矩陣 ， 其中元素 稱為 因子載荷 , 是原變量 在公因子 上的負(fù)荷 。 ),( 21 ?? pXXXX ?),( 21 ?? mFFFF ?iXijaiX jF??? FAX????????????????????????????????????????????????????????pmpmppmmp FFFaaaaaaaaaXXX????????????212121222211121121或 由 E(F)=0， E(ε)= 0， 知 E(X)=0 假定 X的每一個分量的方差都是 1， Var(Xi)=1, 即 Xi為標(biāo)準(zhǔn)化變量 X=AF+ε ),(21 ?? pXXXX ????????????????pmppmmaaaaaaaaaA??????212222111211(1) 因子載荷 aij的統(tǒng)計意義 ijjijmimjjijjijijijijmimjjijjijijijimimjijiiiaFEFFEaFFEaFFEaFFEaFXEFFFaFFaFFaFFaFXFFaFaFaFaX??????????????????????)()()()()()(221122112211?????????于是得：兩端右乘0),( ?ji FFE ji ?1)(),( ?? jjj FV arFFE0),( ?ji FE ?ijjijijiFX aFXEFV arXV arFXrji???1),()()(),c ov (因子載荷矩陣的統(tǒng)計意義 即 是原變量 與公共因子 的相關(guān)系數(shù)，即 依賴 的程度（比重）， 因此用統(tǒng)計學(xué)的術(shù)語叫 “ 權(quán) ” ，心理學(xué)家叫它“ 載荷 ” ，表示第 i個變量在第 j個公共因子上的負(fù)荷。 ijaiX jFiX jFimimjijiii FaFaFaFaX ???????? ??2211ijjijijiFX aFXEFV arXV arFXrji???1),()()(),c ov ((2) 變量共同度的統(tǒng)計意義 將下式兩邊求方差 ， 即 記 稱為變量共同度 ， 是因子載荷矩陣A中第 i行元素的平方和 ,是所有公共因子對 的方差貢獻 每一個 表示相應(yīng) 對 的方差貢獻 。 反映了特殊因子對 的方差貢獻 ， 叫特殊因子方差 。 則 2222222122221212211)()()()()(iiiimiiimimiiiimimiiihaaaVa rFVa raFVa raFVa raXVa rFaFaFaX????????????????????????2212 imii aah ??? ?iX2i?iX 2i?1)( 22 ??? iii hXV a r ?2ija jF iX???????????????pmppimiimaaaaaaaaaA?????????212111211說明變量 的方差由兩部分組成：第一部分 為變量共同度 ， 它反映了全部公因子對變量 的總方差所作的貢獻 ， 第二部分 為特殊因子方差 。 若 則說明變量 的幾乎全部信息都被所選取的公因子說明了 。 若 則說明 幾乎全部信息都由特殊因子解釋公因子對 起的作用很小 。 由此可見 ， 反映了變量 對公因子 F的依賴程度 iX2ih iX2 1ih ? iX2iho? iXiX2ihiX2i?22)( iii hXV a r ???1)( 22 ??? iii hXV a r ?（ 3） 公因子 的方差貢獻的統(tǒng)計意義 考慮指定的一個公因子 ， 對各變量 的影響 ， 由 A 中第 j列的元素平方和來描述 。 令 j=1， 2， … ， p 稱 為公因子 對 X的貢獻 。 表示公因子 對每一個 變量 所提供的方差貢獻總和 。 很明顯 ， 的值越大 ， 反映了 對 X的影響越大 ， 所以 是衡量公因子重要性的一個尺度 ,一個指標(biāo) 。 jFjFjFiX???????piijpjjjj aaaaS1222221 ?jS jFjF iXjS jFjS???????????????pmpjpmjmjaaaaaaaaaA?????????122211111總結(jié)上述討論 ， 我們得到 矩陣 A中元素的統(tǒng)計意 義 如下： （ 1） 是原變量 與公因子 的相關(guān)系數(shù) （ 2） = 是公因子 F對 的方差貢獻 ， 也是 變量 對公因子 F的依賴程度 （ 3） 是公因子 對 X的方差貢獻， 是衡量公因子重要性的一個指標(biāo)。 ija iX jF2ih ??mjija12 iX???piijj aS12 jFiX???????????????pmppmmaaaaaaaaaA??????212222111211 （ 1） 每一個 是原變量 與公共因子 的相關(guān)系數(shù) （ 2） 每一行元素的平方和 = 是所有公因子 對 的方差總貢獻 （ 3） 每一列元素的平方和 是公因子