【文章內(nèi)容簡介】 子載荷矩陣 ，它們都不是唯一的。設(shè) 是初始公共因子，則可以建立如下它們的線性組合得到新的一組公共因子 ，使得， ，彼此相互獨立同時也能很好地解釋原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。 AmFFF , 21 ?39。39。239。1 , mFFF ? 39。39。239。1 , mFFF ?mm FdFdFdF 12121111 39。 ???? ?mm FdFdFdF 22221212 39。 ???? ?mmmmmm FdFdFdF ???? ?221139。 ???? 這樣的線性組合可以找到無數(shù)組，由此便引出了因子分析的第二個步驟 —— 因子旋轉(zhuǎn)。建立因子分析模型的目的不僅在于要找公共因子，更重要的是知道每一個公共因子的意義，以便對實際問題進行分析。 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 31 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .4 因子旋轉(zhuǎn) 然而我們得到的初始因子解各主因子的典型代表變量不是很突出，容易使因子的意義含糊不清，不便于對實際問題進行分析。出于該種考慮，可以對初始公因子進行線性組合，即進行因子旋轉(zhuǎn)，以期找到意義更為明確，實際意義更明顯的公因子。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，公共因子對 的貢獻 并不改變，但由于載荷矩陣發(fā)生變化，公共因子本身就可能發(fā)生很大的變化，每一個公共因子對原始變量的貢獻 不再與原來相同，從而經(jīng)過適當?shù)男D(zhuǎn)我們就可以得到比較令人滿意的公共因子。 iX 2ih2ig 因子旋轉(zhuǎn)分為正交旋轉(zhuǎn)與斜交旋轉(zhuǎn)，正交旋轉(zhuǎn)由初始載荷矩陣 右乘一正交陣而得到。經(jīng)過正交旋轉(zhuǎn)而得到的新的公因子仍然保持彼此獨立的性質(zhì)。而斜交旋轉(zhuǎn)則放棄了因子之間彼此獨立這個限制，因而可能達到更為簡潔的形式，其實際意義也更容易解釋。 A2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 32 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .4 因子旋轉(zhuǎn) 但不論是正交旋轉(zhuǎn)還是斜交旋轉(zhuǎn)，都應(yīng)當使新的因子載荷系數(shù)要么盡可能地接近于 0，要么盡可能的遠離 0。因為一個接近于 0的載荷 表明 與 的相關(guān)性很弱；而一個絕對值比較大的載荷 則表明公因子 在很大程度上解釋了 的變化。這樣，如果任一原始變量都與某些公共因子存在較強的相關(guān)關(guān)系，而與另外的公因子之間幾乎不相關(guān)的話，公共因子的實際意義就會比較容易確定。 ija iX jF ijajF iX 下面介紹正交旋轉(zhuǎn)中的方差最大化正交旋轉(zhuǎn)，該方法由 澤 ()首先提出，是應(yīng)用最為普遍的正交旋轉(zhuǎn)方法。方差最大化正交旋轉(zhuǎn)方法的提出以下面的假設(shè)為前提：公因子 的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差，即 的方差來度量。我們先考慮兩個因子的平面正交旋轉(zhuǎn)，設(shè)因子載荷矩陣為 : jF22221 , pjjj aaa ?2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 33 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .4 因子旋轉(zhuǎn) ?????????????2122211211pp aaaaaa??A 令 ?????? ??????c o ss ins inc o sΓ則 為正交陣 , Γ 記 AΓB ?????????????????????????????????????c o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o s21212212222112111211pppp aaaaaaaaaaaa?????????????????2122211211pp bbbbbb?? () 經(jīng)過如上變換，希望所得結(jié)果能使載荷矩陣的每一列元素的絕對值向 1和 0兩極分化，或者說使因子的貢獻 盡量分散。這實際上就是希望把變量 分成兩部分，一部分主要與第一因子有關(guān)，另一部分主要與第二因子有關(guān)，這也就要求 ， 這兩組數(shù)據(jù)的方差要盡可能地大。分別考慮兩列的相對方差 2igpXXX , 21 ?),( 2 1221211 pbbb ?),( 2 2222212 pbbb ?? ?? ???pipi iiiihbphbpV 1 1222222)1()(1 ????????? ?? ??????pi iipi iihbhbpp 122212222 )()(12,1?? （ ） 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 34 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .4 因子旋轉(zhuǎn) 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 35 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .4 因子旋轉(zhuǎn) 2212jjjj haav ? 這里取 是為了消除 符號不同的影響，除以 是為了消除各個變量對公共因子依賴程度不同的影響，現(xiàn)在要求總的方差達到最大，即要求使 2?ib ?ib 2ih21 VVG ??達到最大值，考慮 對 的導(dǎo)數(shù)，利用 ()，（ ）式，經(jīng)過計算知要使 G ?0??ddG須滿足： ?pBACpABDtg/)(/2422 ?????（ ） 其中： ??? pj juA1??? pj jvB1 ???? pj jjvuC122 )( ??? pj jjvuD122221 )()(jjjjj hahau ??而 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 36 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .4 因子旋轉(zhuǎn) 如果公共因子多于兩個，我們可以逐次對每兩個進行上述的旋轉(zhuǎn)，當公共因子數(shù) 時，可以每次取兩個，全部配對旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時總是對初始載荷矩陣 中的 列，列同時進行，此時公式 ()中只需將 ， 就可以了。變換共需進行 次，這樣就完成了第一輪旋轉(zhuǎn)，然后對第一輪旋轉(zhuǎn)所得結(jié)果用上述方法繼續(xù)進行旋轉(zhuǎn)，得到第二輪旋轉(zhuǎn)的結(jié)果。每一次旋轉(zhuǎn)后，矩陣各列平方的相對方差之和總會比上一次有所增加。如此繼續(xù)下去，當總方差的改變不大時，就可以停止旋轉(zhuǎn)，這樣就得到了新的一組公共因子及相應(yīng)的因子載荷矩陣，使得其各列元素平方的相對方差之和最大。 2?mA ? ??jj aa ?1 ?jj aa ?2????????2m )1(21 ?? mm 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 37 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .5 因子得分 當因子模型建立起來之后，我們往往需要反過來考察每一個樣品的性質(zhì)及樣品之間的相互關(guān)系。比如當關(guān)于企業(yè)經(jīng)濟效益的因子模型建立起來之后，我們希望知道每一個企業(yè)經(jīng)濟效益的優(yōu)劣，或者把諸企業(yè)劃分歸類，如哪些企業(yè)經(jīng)濟效益較好，哪些企業(yè)經(jīng)濟效益一般，哪些企業(yè)經(jīng)濟效益較差等。這就需要進行因子分析的第三步驟的分析，即因子得分。顧名思義，因子得分就是公共因子 在每一個樣品點上的得分。這需要我們給出公共因子用原始變量表示的線性表達式，這樣的表達式一旦能夠得到，就可以很方便的把原始變量的取值代入到表達式中求出各因子的得分值。 mFFF , 21 ?2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 38 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .5 因子得分 在上一章的分析中我們曾給出了主成分得分的概念，其意義和作用與因子得分相似。但是在此處公因子用原始變量線性表示的關(guān)系式并不易得到。在主成分分析中，主成分是原始變量的線性組合，當取 個主成分時，主成分與原始變量之間的變換關(guān)系是可逆的，只要知道了原始變量用主成分線性表示的表達式，就可以方便的得到用原始變量表示主成分的表達式；而在因子模型中，公共因子的個數(shù)少于原始變量的個數(shù)，且公共因子是不可觀測的隱變量，載荷矩陣 不可逆，因而不能直接求得公因子用原始變量表示的精確線性組合。一個解決該問題的方法是用回歸的思想求出線性組合系數(shù)的估計值，即建立如下以公因子為因變量，原始變量為自變量的回歸方程： pApjpjjj XXXF ??? ???? ?2211 ),2,1( mj ??2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 39 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .5 因子得分 此處因為原始變量與公因子變量均為標準化變量，因此回歸模型中不存在常數(shù)項。在最小二乘意義下，可以得到 的估計值： FXRA39。F 1??? （ ） 式中，為因子載荷矩陣，為原始變量的相關(guān)陣， 為原始變量向量。這樣，我們在得到一組樣本值后，就可以代入上面的關(guān)系式求出公因子的估計得分，從而用少數(shù)公共因子去描述原始變量的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用公因子得分去描述原始變量的取值。在估計出公因子得分后，可以利用因子得分進行進一步的分析，如樣本點之間的比較分析，對樣本點的聚類分析等，當因子數(shù) m 較少時，還可以方便地把各樣本點在圖上表示出來，直觀地描述樣本的分布情況，從而便于把研究工作引向深入。 A R X2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 40 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .6主成分分析與因子分析的區(qū)別 因子分析把展示在我們面前的諸多變量看成由對每一個變量都有作用的一些公共因子和一些僅對某一個變量有作用的特殊因子線性組合而成。因此，我們的目的就是要從數(shù)據(jù)中探查能對變量起解釋作用的公共因子和特殊特殊因子，以及公共因子和特殊因子組合系數(shù)。主成分分析則簡單一些，它只是從空間生成的角度尋找能解釋諸多變量變異絕大部分的幾組彼此不相關(guān)的新變量（主成分）。 因子分析中是把變量表示成各因子的線性組合，而主成分分析中則是把主成分表示成各變量的線性組合。 主成分分析中不需要有假設(shè)，因子分析則需要一些假設(shè)。因子分析的假設(shè)包括：各個公共因子之間不相關(guān)，特殊因子（ specific factor）之間也不相關(guān)，公共因子和特殊因子之間也不相關(guān)。 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 41 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .6主成分分析與因子分析的區(qū)別 抽取主因子的方法不僅僅有主成分法，還有極大似然法等，基于這些不同算法得到的結(jié)果一般也不同。而主成分只能用主成分法抽取。 主成分分析中，當給定的協(xié)方差矩陣或者相關(guān)矩陣的特征值是唯一的時候，主成分一般是固定的；而因子分析中因子不是固定的，可以旋轉(zhuǎn)得到不同的因子。 在因子分析中，因子個數(shù)需要分析者指定（ spss根據(jù)一定的條件自動設(shè)定，只要是特征值大于 1的因子進入分析），指定的因子數(shù)量不同而結(jié)果不同。在主成分分析中，成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個變量就有幾個主成分。 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 42 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 .6主成分分析與因子分析的區(qū)別 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助解釋因子，在解釋方面更加有優(yōu)勢。而如果想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個新的變量（新的變量幾乎帶有原來所有變量的信息）來進入后續(xù)的分析，則可以使用主成分分析。當然，這種情況也可以使用因子得分做到。所以這種區(qū)分不是絕對的。 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 43 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 因子分析的步驟與邏輯框圖 167。 因子分析的步驟 167。 因子分析的邏輯框圖 2022/5/29 中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 44 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 因子分析的步驟與邏輯框圖 上面我們介紹了因子分析的基本思想及基本的理論方法，下面我們把因子分析的步驟及