【導讀】本文探討了泰勒公式的若干問題。首先給出了幾種不同形式的泰勒公式并給出。列式，判斷級數(shù)斂散性，判斷函數(shù)凹凸性等方面的應用，并輔以具體的例子進行說明，于無窮大兩種情況進行了討論，當區(qū)間長度趨于零與無窮時中間點?之間的關系以及泰勒公式與泰勒級數(shù)在計算方面的應用。的關系等方面的研究，都取得了一定的進展。其中劉瑜[3]給出了泰勒公式在n階行列。的漸近性態(tài)問題；鮑春梅[12]討論了當區(qū)間長度。公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系等。

　　

【正文】 () 又 ( ) ( ) ( )( ) ( ) !( ) ( ) n nnnnAf x x a p xx p x nx a x a? ? ? ?? ??? ()( ) ( ) ()( ) ! ! !nnnf x p x A f Ax a n n n??? ? ? ?? 。 () 由 ()與 ()式可取 1=??。 濟南大學畢業(yè) 論文 18 又 ( ) ( )+l i m ( ) l i m [ ( ) ] 0nnxxx x x f x A B???? ? ? ? ?? ? ? ?，且 ( , )xa? ? ?? ()( ) 0n x? ? ，由定理有 11 ( 1 )l i m l i m [ ]! (1 )xx aanx a x a n ???? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?。 以上我們討論了帶拉格朗日余項的泰勒公式“中間點”的漸近問 題，得到了 當區(qū)間長度趨于零與無窮時的 ? 滿足的條件，下面我們討論泰勒公式與泰勒級數(shù)的關系。 濟南大學畢業(yè) 論文 19 5 泰勒公式與泰勒級數(shù) 泰勒公式和泰勒級數(shù)在解決實際問題中有某些的相似性 ,但是它們引入不同 ,因此還是有一定的差異性，由于泰勒公式是通過重復運用柯西中值定理得來的 ,過程比較復雜 ,泰勒級數(shù)屬于函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù) ,與泰勒公式 類似 在近似計算、極限運算、級數(shù)與廣義積分的斂散性判斷等方面 也 有具體應用 。接下來我們具體探 討泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別 與 聯(lián)系 以及泰勒級數(shù)的應用問題 。 泰勒級數(shù)與泰勒公式的區(qū)別 首先我們討論泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別 。 如果在定義 中抹去余項 ()nRx，那么在 0x 附近 f 可用定義 式右邊的多項式來近似代替，如果函數(shù) f 在 0xx? 處存在任意階 的導數(shù)，這時稱形式為 2020 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! !n nf x f xf x f x x x x x x xn???? ? ? ? ? ? ?? 。 的級數(shù)為函數(shù) f 在 0x 的泰勒級數(shù)。 泰勒公式 中含有有限多項式，泰勒級數(shù)中含有無限多項式，泰勒公式不是泰勒 級數(shù)，泰勒級數(shù)也不是泰勒多項式 。 當 ()fx的各階導數(shù)都存在時， ()fx的泰勒級數(shù)在收斂情況下一定等于 ()fx； 但不論 ()fx的泰勒級數(shù)是否收斂，只要 ()fx有 1n? 階導數(shù)，就有泰勒公式成立，可見泰勒級數(shù)收斂時，與泰勒公式結(jié)果一致，都是 ()fx。 當 ()fx在含有 0x 的某個鄰域 (, )ab 內(nèi)具有任意階的導數(shù)，可將 ()fx展成 0()xx?冪級數(shù)，其中 0()nxx? 的乘冪的系數(shù)分別為 0()fx ，01 ()1!fx?，01 ()2!fx??， ，01 ()! nfxn，稱為冪級數(shù)系數(shù) .可見 ()fx在 0x 處的泰勒級數(shù)也是 ()fx展成 0()xx? 的冪級數(shù) 。 特別，當 ()fx是 x 的 n 次多項式，將 ()fx展成 0()xx? 的多項式，在初等數(shù)學中，只能采用待定系數(shù)法，在高等數(shù)學中，當學了泰勒公式后，我們可以先求出 0()fx ，0()fx? ， 0()fx?? ， ， 0()nfx， ，再按泰勒公式展成 0()xx? 的多項式形式 濟南大學畢業(yè) 論文 20 20 0 0 0 0 0 011( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( )2 1 ( 1 ) 2 1 nnf x f x f x x x f x x x f x x xnn? ??? ? ? ? ? ?? ? ?。 泰勒級數(shù)與泰勒公式的應用 對于一階微分方程， = ( , )dy f x ydx 若 ( , )f xy 為關于 x ， y 的多 項式，則可設其通解為 20 1 2 nny a a x a x a x? ? ? ? ?將 y 及 y? 代入 ,比較同次冪的系數(shù)，就可得出待定系數(shù) 0a ， 1a ， ， na ， ，從而得 到通解 20 1 2 nny a a x a x a x? ? ? ? ?。 例 求方程 =dydx 2xy? ，滿足 0 0xy ? ? 的特解。 解：設 20 1 2 nny a a x a x a x? ? ? ? ? ? 因為 0 0xy ? ? ，所以 0 0a? , 所以 212 nny a x a x a x? ? ? ? ?， 1112 nny a a x a x ?? ? ? ? ? ? 將 y ， y? 代入原方程得 1 2 21 2 1 22 ( )nna a x n a x x a x a x a x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 2 3 2 41 1 2 1 3 22 (2 )x a x a a x a a a x? ? ? ?+ 51 4 2 3(2 2 )a a a x?? 比較同次冪系數(shù)，得 1 0a? ， 221a? ， 2313aa? ， 4 1 242a aa? ， 25 1 3 252a a a a??， 6 1 4 2 36 2 2a a a a a?? ? 1 0a? ， 2 12a? ， 3 0a? ， 4 0a? ， 5 1 1 15 4 20a ? ? ? ， 6 0a? ， 從而， 25112 2 0y x x? ? ?。 對于形如 + ( ) ( ) 0y p x y x y??? ???的方程，當 ()px ， ()x? 可在 R x R? ? ? 內(nèi)展為 x 的冪級數(shù)時，那么在 R,R（ ） 內(nèi)，必有形如0nnny a x????的解。 我們接下來利用泰勒公式求解。 例 求 43() 1+xfx x?在點 0x? 處的各階導數(shù) ()(0)nf 的值 。 解：利用泰勒公式對其 1(1 )x?? 展開，可求得 31(1 )x??? 的麥克勞林公式 濟南大學畢業(yè) 論文 21 3 3 2 3 3 231 1 ( ) ( 1 ) ( ) ( )1+ n n nx x x xx ? ?? ? ? ? ? ? ?， 0x? 。 則 ()fx的麥克勞林公式為 4 4 7 10 3 4 3 63( ) ( 1 ) ( )1 nnxf x x x x x xx ???? ? ? ? ? ? ? ??， ( 0)x? 。 由麥克勞林公式及其各項系數(shù)之間所具有的聯(lián)系可知 ( 3 4 ) ( 0) ( 1 ) ( 3 4) !kkfk? ? ? ?， 0,1,2,k? 。 而 ()fx在 0x? 處的其他各階導數(shù)為零。 泰勒公式與泰勒級數(shù)除了上面的應用以外在概率的計算方面也有應用，這里就不再 贅 述。總之，泰勒公式與泰勒級數(shù)的應用范圍相當?shù)膹V泛，巧妙合理的利用泰勒公式與泰勒級數(shù)，可以解決一些較難解決的高階導問題，在其他方面的應用有待于我們進一步地研究和探討。 濟南大學畢業(yè) 論文 22 結(jié) 論 隨著數(shù)學的飛速發(fā)展，許多數(shù)學家們研究 出了許多的定理與 公式 ,以便我們在解決數(shù)學疑難問題時有 多重的選擇。本文我們 總結(jié) 了不同于課本上證明 泰勒公式的方法，并通 過 三個方面了解了泰勒公式的應用。泰勒公式的應用非常廣泛，不僅局限于本文介紹的求行列式，函數(shù)斂散性，函數(shù)凹凸性。 泰勒公式 在各個學科中也有廣泛的應用，如果能很好的應用它來解題，會使更多的人能更好的學好數(shù)學，數(shù)學領域會發(fā)展的更好。 濟南大學畢業(yè) 論文 23 四、參考文獻 [1]華東師范大學數(shù)學系 .數(shù)學分析 [M].高等教育出版社 .2020 [2]劉玉璉 ,傅沛仁 .數(shù)學分析講義 (下冊 )[M].北京 :高等教育出版社， 1992. [3]劉瑜 ,陳美燕 ,于超 .泰勒公式在 n階行列式 計算中的應用 [J].內(nèi)江師范學院報 ,2020,S1(73): 222223 [4]齊成輝 .泰勒公式的應用 [J].陜西師范大學學報 (自然科學版 ),2020,S1(9): 2325 [5]鮑培文 .泰勒公 式與泰勒級數(shù)的異同和典型應用 [J].懷化學院學報 ,2020,2(9):9093 [6]王倩 .帶有皮亞諾型余項的泰勒公式的推廣與應用 [J].沈陽建筑大學學報 (自然科學版 ),2020,6(43):774776 [7]黃福同 .泰勒公式在函數(shù)凹凸性理論中的應用 [J].山東建筑工程學院學報 ,1997,3(22):10510 7 [8]續(xù)鐵權 .泰勒公式“中間點”的漸近性 [J].青島教育學院學報 ,1996,2(8):2526 [9]徐香勤，張小勇 .關于泰勒 (Taylor)公式的幾點應用 [J].河南教育學院學報 (自然科學版 )， 2020， 2(8):1617 [10]邱 忠文，劉瑞金 .函數(shù)的凹凸性及不等式的證明 [J].工科數(shù)學， 1993,3(49):151154 [11]黃宗文 ， 簡靈鋒 .泰勒公式在討論級數(shù)收斂性中的應用 [J].玉林師范學院學報 ， 2020,3(7)： 2123 [12]鮑春梅 .關于 Taylor 中值定理“中間點”漸 近 性的討論 [J].赤峰學院學報 (自然科學版 )，2020,5(3):10 [13]繼鐵權 .泰勒公式“中間點”的漸 近 性 [J].青島職業(yè)技術學院學報 ， 1996,2(8):2526 [14]張樹義 .泰勒中值定理 “中間點 ”當 x→+ ? 時的漸近性態(tài) [J].沈陽師范大學學報 (自然科學版 )， 1997,3(1):14 [15]楊彩萍 .Taylor公式中間點的漸近性態(tài) [J].天津工業(yè)大學學報， 2020,4(26):7172 [16]BY . [J]， 65(1995),147153 [17] Dale J . E. Rigdon. Calculus[M] .Beijing :China Machine Press ,2020 :467476 濟南大學畢業(yè) 論文 24 致 謝 在長達三個多月的論文寫作結(jié)束之際，在大學最后的畢業(yè)之際，首先，我要感謝在四年里面那些曾經(jīng)幫助過我的老師們，感謝這樣一支愿意從事基礎科學研究的數(shù)學系教師隊 伍；還要感謝在數(shù)學領域辛勤 踏實 工作的人們，以及被我選中作為我畢業(yè)論文參考文獻的文章作者和各位數(shù)學前輩，你們是我的榜樣和楷模。 在畢業(yè)論文的完成過程中 ,我的指導老師徐老師以治學嚴謹 , 嚴格要求給了我深刻的印象 ,也同時給了我莫大的幫助還有耐心的指導 .從選題、定題開始，到論文任務書和開題報告 ,再到最后論文的反復修改、潤色，徐老師始終認真負責地給予我深刻而細致地指導，耐心的為我解答論文 寫作 過程中遇到的種種問題 ,幫助我開拓研究思路，正是徐老師的無私幫助與耐心講解，我的畢業(yè)論文才能夠得以順利完成 .感謝她利用緊張忙碌的教 學任務之余 ,利用個人休息時間幫我指點論文以及搜集外文翻譯資料。謝謝 ! 四年大學 ，所收獲的不僅僅是愈加豐厚的知識，更重要的是在閱讀、實踐中所培養(yǎng)的思維方式、表達能力和廣闊視野。很 慶幸這四 年來我遇到了如此多的良師益友，無論在學習上、生活上，還是工作上，都 給予了我無私的幫助和熱心的照顧，讓我在一個充滿溫馨的環(huán)境中度過四 年的大學生活。感恩之情難以用言語量度，謹以最樸實的話語致以最崇高的敬意。 最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對中國傳統(tǒng)文化的濃厚的興趣，讓我在漫長的人生旅途中使心靈有了虔敬的歸依，而且也為我能 夠順利的完成畢業(yè)論文提供了巨大的支持與幫助。在未來的日子里，我會更加努力的學習和工作，不辜負父母對我的殷殷期望！ “長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海?！边@是我少年時最喜歡的詩句。就用這話作為這篇論文的一個結(jié)尾，也是一段生活的結(jié)束。希望自己能夠繼續(xù)少年時的夢想，永不放棄。