【導(dǎo)讀】倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)多變量、高階次、非線性和強(qiáng)耦合的典型不穩(wěn)定控制系統(tǒng)，它的各項(xiàng)參數(shù)具有不確定性，同時(shí)還受到不確定因素的干擾。倒立擺是各界學(xué)者公認(rèn)。的典型教學(xué)和科研設(shè)備，也是控制理論教學(xué)中具有代表性的被控對(duì)象。性能的線性矩陣不等式。的條件，并用倒立擺系統(tǒng)實(shí)例及其仿真來(lái)驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性。桿速度、小車(chē)位移和小車(chē)加速度的函數(shù)圖像，并輸出了仿真動(dòng)畫(huà)。淺談控制器增益在。加法式攝動(dòng)下的非脆弱魯棒H?出了非脆弱魯棒H?控制器存在的充分條件，利用Matlab中的LMI工具箱求解了控制。問(wèn)題，結(jié)合實(shí)際情況，在理論分析和仿真過(guò)程中反復(fù)驗(yàn)證，得出了比較合理的參數(shù)，保證了設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的合理及有效性。

　　

【正文】 的伺服驅(qū)動(dòng)器提供。如圖 所示。 圖 執(zhí)行機(jī)構(gòu)示意圖 計(jì)算機(jī) 運(yùn)動(dòng)控制卡 伺服驅(qū)動(dòng)器 伺服電機(jī) 倒立擺 光電編碼盤(pán) 1 光電編碼盤(pán) 2 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 15 傳感器檢測(cè)及其接口電路設(shè)計(jì) 傳感器是一種檢測(cè)裝置，能感受到被測(cè)量的信息，并能將感受到的信息，按一定規(guī)律變換成為電信號(hào)或其他所需形式的信息輸出，以滿足信息的傳輸、處理、存儲(chǔ)、顯示、記錄和控制等要求。 傳感器前期信號(hào)處理：傳感器與微機(jī)的接口電路主要由信號(hào)預(yù)處理電路、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)接口電路組成。其中，預(yù)處理電路把傳感器輸 出的非電壓量轉(zhuǎn)換成數(shù)字量；計(jì)算機(jī)接口電路把 A/D 轉(zhuǎn)換后的數(shù)字信號(hào)送入計(jì)算機(jī)，并把計(jì)算機(jī)發(fā)出的控制信號(hào)送至輸入接口的各功能部件；計(jì)算機(jī)還可通過(guò)其他接口把信息數(shù)據(jù)送往顯示器、控制器等等。 傳感器接口技術(shù)：輸入到微型計(jì)算機(jī)的信息必須是其能夠處理的數(shù)字量信息。傳感器的輸出形式可分為模擬量、數(shù)字量和開(kāi)關(guān)量。模擬量接口方式為：傳感器輸出信號(hào) → 放大 → 采樣、保持 → 模擬多路開(kāi)關(guān) →A/D 轉(zhuǎn)換 →I/O 接口 → 微型機(jī)；開(kāi)關(guān)量接口方式：開(kāi)關(guān)型傳感器輸出二值式信號(hào)（邏輯 1 或 0） → 三態(tài)緩沖器 → 微型機(jī)；數(shù)字量接口方式：數(shù)字型傳感器輸出數(shù)字量 （二進(jìn)制代碼、 BCD 碼、脈沖序列等） → （計(jì)數(shù)器） → 三態(tài)緩沖器 → 微型機(jī)。 傳感器非線性補(bǔ)償原理：以往在使用模擬電路組成檢測(cè)回路時(shí)，為了進(jìn)行非線性補(bǔ)償，通常用硬件電路組成各種補(bǔ)償回路，如常用的信息反饋式補(bǔ)償回路使用對(duì)數(shù)放大器、反對(duì)數(shù)放大器等，這不但增加了電路的復(fù)雜性，而且也很難達(dá)到理想的補(bǔ)償。這種非線性補(bǔ)償完全可以用計(jì)算機(jī)的軟件來(lái)完成，其補(bǔ)償過(guò)程較簡(jiǎn)單，精確度也很高，又減少了硬件電路的復(fù)雜性。造成非線性的原因是因?yàn)樵S多傳感器的轉(zhuǎn)換原理是非線性，采用的測(cè)量電路也是非線性的。解決這類(lèi)問(wèn)題一般采用三種方法： ?縮小測(cè)量 范圍，并取近似值 ?采用非線性的指示刻度 ?增加非線性補(bǔ)償環(huán)節(jié)。 數(shù)字濾波：數(shù)字濾波器由數(shù)字乘法器、加法器和延時(shí)單元組成的一種算法或裝置。數(shù)字濾波器的功能是對(duì)輸入離散信號(hào)的數(shù)字代碼進(jìn)行運(yùn)算處理，以達(dá)到改變信號(hào)頻譜的目的。數(shù)字濾波器是按照程序計(jì)算信號(hào)，達(dá)到濾波的目的。通過(guò)對(duì)數(shù)字濾波器的存儲(chǔ)器編寫(xiě)程序，就可以實(shí)現(xiàn)各種濾波功能。對(duì)數(shù)字濾波器來(lái)說(shuō)，增加功能就是增加程序，不用增加元件，不受元件誤差的影響，對(duì)低頻信號(hào)的處理也不用增加芯片的體積。用數(shù)字濾波方法可以擺脫模擬濾波器被元件限制的困擾。 直線一級(jí)倒立擺的牛頓 —?dú)W拉方法建模 系統(tǒng)建?？煞譃閮煞N：機(jī)理建模和試驗(yàn)建模。試驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關(guān)系。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 16 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，試驗(yàn)建模存在一定的困難。但是經(jīng)過(guò)假設(shè)忽略一些次要因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng) 的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。這里采用其中的牛頓 —?dú)W拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 倒立擺控制方法 控制器設(shè)計(jì)是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因?yàn)榈沽[是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為了實(shí)現(xiàn)倒立擺穩(wěn)定性控制并且可以承受一定的干擾，需要給系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，目前典型的控制器設(shè)計(jì)理論有： 控制：通過(guò)機(jī)理分析建立動(dòng)力學(xué)模型 ,使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出非線性模型，并在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，從而設(shè)計(jì)出 PID 控制器實(shí)現(xiàn)控制。 ：使用狀 態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)控制，如劉珊中等應(yīng)用狀態(tài)反饋和 Kalman 濾波相結(jié)合的方法，對(duì)二級(jí)倒立擺平衡系統(tǒng)進(jìn)行控制。 ：用云模型構(gòu)成語(yǔ)言值，用語(yǔ)言值構(gòu)成規(guī)則 ,形成一種定性的推理機(jī)制 [15]。 ：模糊控制是采用模糊化，模糊推理，解模糊運(yùn)算等的模糊控制方法。其主要工作是模糊控制器的設(shè)計(jì)?，F(xiàn)以倒立擺控制來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明模糊控制器設(shè)計(jì)的一般方法。以擺桿的傾角和速度作為輸入變量 可以將傾角描述成：向左傾角大、中、??；向右傾角小、中、大。速度描述成 :倒得非 ?？臁⒖?、慢、靜止；升得慢、快、非?？?。它們都可以用模糊語(yǔ)言變量來(lái)表示用類(lèi)似的模糊集合，可以對(duì)控制小車(chē)運(yùn)動(dòng)的輸出進(jìn)行定義。接著定義某些隸屬函數(shù)，這個(gè)安排隸屬度的過(guò)程就是對(duì)變量實(shí)現(xiàn)模糊化的過(guò)程接著是建立一系列的模糊規(guī)則，如：如果擺桿向左傾斜大并倒的非?？?，那么向左做快運(yùn)動(dòng)；如果擺桿向左傾斜大并升的慢，那么向左做慢運(yùn)動(dòng)，等等。最后，模糊輸出被分解成可以加到小車(chē)上的確切的驅(qū)動(dòng)電壓，這個(gè)過(guò)程為解模糊判決。此外，還有對(duì)倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制方案。 ：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，它能學(xué)習(xí)和 適應(yīng)嚴(yán)重不確定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 [16]。所有定量或定性的信息按等勢(shì)分布儲(chǔ)存與網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的神經(jīng)元，有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)性，也可將 Q 學(xué)習(xí)算法和 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無(wú)模型學(xué)習(xí)控制。楊振強(qiáng)等為解決模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在控制多變量系統(tǒng)時(shí)的規(guī)則組合爆炸問(wèn)題，提出用狀態(tài)變量合成模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺。 ：主要為倒立擺設(shè)計(jì)各種自適應(yīng)控制器。上述控制算法大都針對(duì)倒立擺工作在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定控制 本論文設(shè)計(jì)的控制器首先是能實(shí)現(xiàn)倒立擺的起擺，在擺起到平衡位置附近時(shí)再切換至穩(wěn)定控制。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 17 第四章 單級(jí)倒立擺的魯 棒控制器設(shè)計(jì) 控制器設(shè)計(jì)方案探索 wuzyP( s)K( s) 圖 系統(tǒng)框圖 如圖 ，線性不變動(dòng)態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下： 121 1 1 1 22 2 1 2 2x Ax B Bz C x D Dy C x D D??????? ? ?? ? ?? ? ? （ ） 其中 nxR? ， pR?? ， rzR? ， qyR? 分別表示系 統(tǒng)狀態(tài)向量、系統(tǒng)控制輸入信號(hào)、系統(tǒng)受控輸出信號(hào)和量測(cè)輸出信號(hào)； ? 為從外部接收的輸入信號(hào) （ 包括測(cè)量噪聲和干擾 ）， 考慮 ? 不確定且能量有限 ， 則 2L?? ；系統(tǒng)矩陣 nnAR?? ， 其余矩陣 12BB、 、12CC、 、 11 12 21 22D D D D、 、 、 為適當(dāng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。 假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可以直接測(cè)量 ， 本文的目的就是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器 KX?? （ ） 使得一個(gè)相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng) ? ?? ?211 12 11x A B K x Bz C D K x D??? ? ?? ? ? （ ） 漸近穩(wěn)定 ， 且閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)滿足如下要求 ? ? ? ? ? ? 12 1 1 1zT S C D K s I A B K B D?? ?? ?? ? ? ? ? ????? （ ） 基于 LMI 的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì) 有界實(shí)引理 假設(shè)存在 ??Ts這樣一個(gè)傳遞函數(shù)，使得 ? ? ? ? 1T s D C s I A B?? ? ?成立，那么得到以下兩個(gè)條件是完全等價(jià)的： （ a）系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且有 ? ?s ?? ?丁， （ b）存在一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣 X ，使 0TTTA X X A X B CB X I DC D I???????????? （ ） 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 18 定理 對(duì)于系統(tǒng) ()，存 在一個(gè)狀態(tài)反饋 H∞控制器。當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣 X 和矩陣 W ，使得如下的 LMI成立時(shí) ? ? ? ?2 2 1 1 121 111 12 110TTTTA X B W A X B W B C X D WB I DC X D W D I???? ? ? ????????? （ ） 那么可以得出 1()u WX x?? 即是所求系統(tǒng)的狀態(tài)反饋 H? 控制器。 證明 運(yùn)用前面的有界實(shí)引理得 ， 對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng) （ ）， 當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣 P 使得 ? ? ? ? ? ?2 2 1 1 121 111 12 110TTTTP A B K A B K P P B C D KB P I DC D K D I????? ? ? ????????? （ ） 成立時(shí) ， 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 ， 且 ? ?Ts ?? ?。由此式進(jìn)一步推導(dǎo)，矩陣左、右兩端分別乘以矩陣 1 1 12 2 2,I I I? ? ?? ? ???????，并令 1QP??? ,得到 ? ? ? ? ? ?2 2 1 1 121 111 12 110TTTTQ A B K A B K Q Q B C D KB P I DC D K D I????? ? ? ????????? （ ） 因?yàn)樯鲜街惺怯蓛蓚€(gè)未知矩陣變量 KQ、 和一些常數(shù)矩陣 組成的非線性矩陣不等式 ，想要 直接對(duì)其求解是相當(dāng)困難的。所以在（ ）式矩陣左、右兩端分別乘上矩陣? ?1Q I I?， ， 得等價(jià)的 LMI： ? ? ? ?1 1 1 1 1 12 2 1 1 121 111 1 21 12 110TTTTAQ B K Q AQ B K Q B C Q D K QB I DC Q D K Q D I?? ? ? ? ? ?????? ? ? ????????? （ ） 令 1X Q K X????， ，化簡(jiǎn)得矩陣不等式 （ ）， 證畢。 注解： XW、 和一些常數(shù)矩陣組成的矩陣不等式（ LMI），這是一個(gè)具有 LMI約束和線性目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。想要得 到魯棒控制器? ?1= KX x? ? ，可以運(yùn)用 Matlab中的 LMI工具箱所提供的求解器 mincx可求解 XW、 。 仿真及其結(jié)果 倒立擺控制系統(tǒng)是是被公認(rèn)的一類(lèi)典型的多變量、非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng) ， 對(duì)倒立擺控制系統(tǒng)進(jìn)行研究的重要的意義體現(xiàn)在它的運(yùn)動(dòng)特性與火箭飛行、雙足機(jī)器人行走等現(xiàn)代高科技產(chǎn)品的功能原理上存在相似性 ，以及更多的工程實(shí)際問(wèn)題 ?，F(xiàn)以單級(jí)倒立擺模型為例 ， 應(yīng)用上述設(shè)計(jì)方法的思路實(shí)現(xiàn)對(duì)其有效控制。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 19 系統(tǒng)組成及建模 Mzumlθ 圖 單級(jí)倒立擺系統(tǒng)示意圖 單級(jí)倒立擺模型，如圖 。由剛性擺桿、電機(jī)和小車(chē)組成 。 電機(jī)施加水平控制驅(qū)動(dòng)使小車(chē)根據(jù)擺桿偏角 θ的變化控制以相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)系數(shù)在軌道上左右往復(fù)運(yùn)動(dòng) ，最終趨于平衡， 并且使擺桿始終保持垂直位置。 應(yīng)用牛頓動(dòng)力學(xué)原理對(duì)系統(tǒng)建立非線性數(shù)學(xué)模型如下所示： ? ?22 s i nd z dM m z ldt dt ??? ? ? （ ） ? ?22 s in c o s s indm z l l m ldt ? ? ????????? （ ） 為了得到可分析的平衡系統(tǒng)，我們?cè)谄胶恻c(diǎn)附近對(duì)其進(jìn)行線性化處理 ，求 得 ? ?M m z m l??? ? ? （ ） z l g???? （ ） 化簡(jiǎn)、消元，得到一個(gè)四階系數(shù)微分方程如下 ? ? ? ?4 1M m g gZZM l M M l???? ? ? （ ） 選擇 ? 作為 狀態(tài)變量， ? ?yz?? ， 為輸出變量 ， 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示 ? ?0 1 0 0 0100000 0 0 11000M m gMlMlxxgMMl??? ???? ???????????? ??????????????? （ ） 繼而可以得到： 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 20 0 0 1 01 0 0 0yx??? ???? （ ） 仿真結(jié)果 在控制領(lǐng)域中，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才具有研究意義。而 代入上述倒立擺的機(jī)械參數(shù)? ?1 , 0 .1 , 1M k g m k g l m? ? ?，求解開(kāi)環(huán)系統(tǒng) （ ） 的特征值為 ? ?0 0 3 .2 8 3 3 3 .2 8 3 3?。因?yàn)榇嬖谟野肫矫娴奶卣髦?， 所得的系統(tǒng)是不穩(wěn)定。因此，為了得到一個(gè)穩(wěn)定運(yùn)行的系統(tǒng)，我們利用 LMI求解器 求出控制器的特征值 K 如下（求解過(guò)程詳見(jiàn)附件一） [17]。 ? ?65 20 5 3K ? 在 Matlab中搭建系統(tǒng)的 Simulink仿真模型如圖 。 xuAA 1S t e pS c o p eI n t e g r a t o r1sG a i n 2k * uG a i n