【導(dǎo)讀】較、歸納、總結(jié)，并深入探討兩類方程的解法。最后，利用兩類方程的理論知識(shí)去分。析和解決某些特殊的非線性常微分方程，并給出相關(guān)應(yīng)用的例子。中的那些非線性常微分方程進(jìn)行求解，使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)便化。列舉了幾種常數(shù)變易法區(qū)別于教材中的一些用法，并比較了此方法在。某些方面的優(yōu)劣。常數(shù)變易法是求解一階非齊次線性常微分方程行之有效的方法。的常數(shù)變易法用于更加廣泛的地發(fā)去。結(jié)合，并對(duì)定理運(yùn)用常數(shù)變易法進(jìn)行證明，求解。變換方法的使用范圍，提供微分方程的可積類型，給出幾個(gè)通積分的表達(dá)式。本文利用常數(shù)變易法對(duì)二階非。進(jìn)行討論后,給出了求其通解表達(dá)式的具

　　

【正文】 為非零常數(shù)，則二階非線性微分方程 1 39。 39。39。 1 39。39。 39。 2 2 39。 2 39。 2( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 0w y w y y w w y y w y w y y? ? ??? ? ?? ? ? ? (7) 的通積分為 12()w y C x C? ?? (8) 其中 12,CC為任意常數(shù)。 在定理 4中令 ()wy y? ，則有下面的推論。 推論 4 若 ? 為非零常數(shù)，則二階非線性微分方程 1 39。39。 2 39。 2( 1 ) 0y y y y?????? ? ? 的通積分為 12y Cx C? ??。 其中 12,CC為任意常數(shù)。 定理 5 若 2,w C a b? 為非零常數(shù)，則二階非線性微分方程 ? ? ? ?39。 39。39。 39。39。 39。 2 39。 2 39。 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0a b w y w y y a b w y w y y b w y y? ? ? ? ? （ 9） 的通積分為 ? ? 12( ) 2 ( )w y a bw y C x C? ? ? （ 10） 其中 12,CC為任意常數(shù)。 在定理 5中令 ()wy y? ，則有下面的推論。 推淪 5 若 ,ab為非零常數(shù)，則 二階非線性微分方程 39。39。 39。2( ) 0a by y by? ? ? 的通積分為 12( 2 )y a by C x C? ? ?，其中 12,CC為任意常數(shù)。 定理 6 若 21,w C f g C??，則二階非線性微分方程 39。39。 39。 2 39。 39。39。 39。 2 39。 2 2 39。 39。39。 3 39。 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0w y w y y w y w y y w y y f x w y w y yf x w y g x w y? ? ?? ? ? （ 11） 的通積分為 ? ? ? ?11 1( ) ( )2( ) ( )C g x d x C g x d xw y e f x e d x C?????????????? （ 12） 其中 12,CC為任意常數(shù)。 在定理 6中令 ()wy y? 時(shí)，則有下面的推論。 推論 6 若 1,f g C? ，則二階非線性微分方程 39。39。 39。 2 2 39。 39。 3 39。 2( ) ( ) ( ) 0y y y f x y y f x y g x y? ? ? ? ? 的通解為 ? ? ? ?11 1( ) ( ) 2()C g x d x C g x d xy e f x e d x C ?????????????? 其中 12,CC為任意常數(shù)。 舉例 ：求解 39。39。 39。2 0yy y?? 解：原式可化為： 39。239。39。 yyy?? 明顯可知 yx? 是上面方程對(duì)應(yīng)的方程： 39。39。 0y? 的一個(gè)不恒為零的解。 令 y xu? ，則 39。39。( ) ( )y u x xu x?? ， 39。39。 39。39。 39。( ) 2 ( )y xu x u x?? 代回到原式可得： 39。239。39。 39。 [ ( ) ( ) ]( ) 2 ( ) ()u x x u xx u x u x x u x?? ? ? 令 39。()z u x? ，則 239。 [ ( ) ]2 ()u x xzxz z xu x?? ? ? 則通過(guò)一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解 2 12y cx c??，也可由定理 1 得出。 ： 求解 39。39。 39。 2 39。 10yy y yy? ? ? ? 解：原式可化為： 39。239。39。 39。 1 yyyy??? 明顯可知 xye? 是上面方程對(duì)應(yīng)的方程： 39。39。 39。 0yy??的一個(gè)不恒為零的解。 令 xy ue? ，則 39。39。( ) ( )xxy e u x e u x??， 39。39。 39。39。 39。( ) 2 ( ) ( )x x xy e u x e u x e u x? ? ? 代回到原式可得： 39。239。39。 39。 1 [ ( ) ( ) ]( ) ( ) ()xxxxxe u x e u xe u x e u x e u x??? ? ? 令 39。()z u x? ，則 239。 1 [ ( )]()z u xzz ux??? ? ? 則通過(guò)一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解 2 122( ) xy x c c e? ? ?，也可由定理 2 得出。 ： 求解 39。39。 39。 0xy y?? 解：原式可化為： 39。39。39。 yy x?11( 1 ) ( 1 ) 1211[]1c x c xy e e cc?? ???? 明顯可知 yx? 是上面方程對(duì)應(yīng)的方程： 39。39。 0y? 的一個(gè)不 恒為零的解。 令 y ux? ，則 39。39。( ) ( )y u x xu x?? ， 39。39。 39。39。 39。( ) 2 ( )y xu x u x?? 代回到原式可得： 39。39。39。 39。 ( ) ( )( ) 2 ( ) u x x u xx u x u x x??? 令 39。()z u x? ，則 39。 ()2 u x xzxz z x??? 39。 20xz z??的通解為：2cz x? 設(shè)原方程的通 解為2()cxz x?代入原方程可得： 39。 ()( ) ( )cxc x u xx?? 可知其為可分離變量的常微分方程，所以可以用常數(shù)變異法來(lái)求解。 可得： 39。( ) ( ( ) ( ) )c x x x u x u x c? ? ? ? ?則 39。2( ( ) ( ) )x xu x u x cz x? ? ? ?? 化簡(jiǎn)并代入 39。()z u x? 可得： 39。 ()() 2uxu x cx?? 可知可用常數(shù)變易法求解，求解可得： ()u x x cx?? 又 ()y xu x? 則 212y x x c x c? ? ? 再將 212y x x c x c? ? ?帶回到原方程即可得到 12( 1) lny c x c? ? ?， 也可由定理 3得出。 ： 求解 39。39。 1 39。 2( 1) 0y y y? ?? ? ? 解：原式可化為： 39。39。 1 39。2(1 )y y y? ??? 明顯可知 yx? 是上面方程對(duì) 應(yīng)的方程： 39。39。 0y? 的一個(gè)不恒為零的解。 令 y ux? ，則 39。39。( ) ( )y u x xu x?? ， 39。39。 39。39。 39。( ) 2 ( )y xu x u x?? 代回到原式可得： 39。239。39。 39。 [ ( ) ( ) ]( ) 2 ( ) (1 ) ()u x x u xx u x u x x u x? ?? ? ? 令 39。()z u x? ，則 239。 [ ( ) ]2 (1 ) ()u x xzxz z xu x? ?? ? ? 則通過(guò)一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解 12y cx c? ??，也可由定理 4 得出。 ： 求解 39。39。 39。2( ) 0a by y by? ? ? 解：原式可化為： 39。239。39。 byya by?? ? 明顯可知 yx? 是上面方程對(duì)應(yīng)的方程： 39。39。 0y? 的一個(gè)不恒為零的解。 令 y ux? ，則 39。39。( ) ( )y u x xu x?? ， 39。39。 39。39。 39。( ) 2 ( )y xu x u x?? 代回到原式可得： 39。239。39。 39。 [ ( ) ( ) ]( ) 2 ( ) ()b u x x u xx u x u x a b x u x?? ? ? ? 令 39。()z u x? ，則 239。 [ ( ) ]2 ()b u x xzxz z a bxu x?? ? ? ? 則通過(guò)一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解 12()y a by c x c? ? ?，也可由定理 5 得出。 ： 求解 39。39。 39。2 2 39。 0yy y y y? ? ? 解：原式可化為： 39。239。39。 39。yy yyy?? 明顯可 知 yx? 是上面方程對(duì)應(yīng)的方程： 39。39。 0y? 的一個(gè)不恒為零的解。 令 y ux? ，則 39。39。( ) ( )y u x xu x?? ， 39。39。 39。39。 39。( ) 2 ( )y xu x u x?? 代回到原式可得： 39。239。39。 39。 39。[ ( ) ( ) ]( ) 2 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]()u x x u xx u x u x x u x u x x u xx u x?? ? ? ? 令 39。()z u x? ，則 239。 [ ( ) ]2 ( ) [ ( ) ]()u x x zx z z x u x u x x zx u x?? ? ? ? 則通過(guò)一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解 11( 1 ) ( 1 ) 1211[]1c x c xy e e cc?? ???? ，也可由定理 6 得出。 結(jié) 論 本文重點(diǎn)探討 了一階和二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 ，即對(duì) 兩類方程 進(jìn)行系統(tǒng) 地 分析、比較、歸納、總結(jié)。針對(duì) 兩類方程 ， 本文 分別給出 八 種和 是四 種 解題 方法，每一個(gè)方法都有自己的特點(diǎn)。在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，需根據(jù) 各 類問(wèn)題 的特點(diǎn)，適當(dāng)選擇相應(yīng)的 解法 可簡(jiǎn)化計(jì)算。 然后指出 我們做非線性常微分方程的方法可歸結(jié)為：線性化，可積化，降階化。通過(guò)這三種方法可將一階，二階非線性常微分方 程求解出來(lái)，甚至更高階的非線性常微分方程求解得出，其中必不可少的一個(gè)方法就是常數(shù)變易法。 致 謝 在完成這次畢業(yè)論文的過(guò)程中，要非常感謝指導(dǎo)老師 —鄧麗 老師。在整個(gè)過(guò)程中，鄧 老師 給予了 我很大的幫助和支持。論文初期，老師給了我很多相關(guān)的資料和書(shū)籍，并指出了需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的主要章節(jié)。老師給我安排了合理的進(jìn)度，每周都不辭辛苦 地從老校區(qū)趕到新校區(qū)答疑，總是能夠非常圓滿 地 解決我所遇到的困難。平時(shí) 鄧?yán)蠋熯€專門(mén)抽時(shí)間 打電話詢問(wèn) 論文 進(jìn)展情況，督促我抓緊時(shí)間按質(zhì)按量完成任務(wù)。論文初稿完成后， 鄧 老師 進(jìn)行了 仔細(xì) 地 審閱，對(duì)一 些基本格式和論文內(nèi)容的修改提出了很多寶貴意見(jiàn)。能夠 順利 完成這次畢業(yè)論文，離不開(kāi) 鄧 老師的大力支持和幫助。 另外， 在這期間，還不斷就一些基本知識(shí)及定理的證明請(qǐng)教同學(xué)，大家都熱情 地與我一起討論，使得一些問(wèn)題得到了順利地解決 ，在此 深表謝意 。 同時(shí)，對(duì)四年來(lái)辛勤培養(yǎng)和關(guān)心我們的數(shù)學(xué)系全體老師表示由衷地感謝，感謝在生活和學(xué)習(xí)上幫助過(guò)我的同學(xué)們，從他們的身上我學(xué)到了書(shū)本上永遠(yuǎn)學(xué)不到的東西，謝謝你們。 參考文獻(xiàn) [1] 湯光榮等，求解 39。 ( ( )) ( )f h x g x? 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