20xx年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽加試試題-資料下載頁(yè)
2025-08-13 08:42本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】求證：存在λ，使得ｄ≤222()abc???求出使不等式（*）成立的最小正數(shù)λ并給予證明.，得AB×CD＋AD×BC＝AC×AB×CD＝AD×BC，AE＝EC，所以。有2AB×CD＝2AE×BD＝2EC×BD，即有AB×CD＝AE×BD＝EC×△CED與△BAD中，得△ABE∽△DBC，∠AEB＝∠∠AEB＝∠DCB＝180°－∠BAD＝180°－∠。CED＝∠AED，此即EP平分∠，得BPPD＝BEED.若b＞a+c2,則a≤2b，且d＝2（a-b）.因此，2225()dabc???.由此可見(jiàn),對(duì)于任。意正數(shù)λ＜15，有22213()55dabcac????，上式右邊就大于222()abc???綜上所述，可知滿(mǎn)足（*）的最小正數(shù)λ為15.1A.若含a的集合不少于5個(gè)，那么，由已知條件得知，1A與這5個(gè)集合各有一個(gè)公共。另一方面，因?yàn)镃ard1A＋Card2A＋Card3A＋…＋CardnA＝4n,所以每個(gè)元恰好屬于4. 2A4AnA）＝3×4＋1＝n＞13,那么存在元c1A2A3A4A.7，8，9｝，｛0，10，11，12｝，｛10，1，4，7｝，｛10，2，5，8｝，｛10，3，6，9｝，｛11，3，5，7｝符合要求.故n的最大值為13.
【正文】 A ，則由上述的結(jié)論可知， Card （ 1A 歡迎光臨 《 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 下載 資料 浙江省甌海中學(xué) 徐進(jìn)光 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 版權(quán)所有 @中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 2A 4A nA ）＝ 3 4＋ 1＝ n＞ 13,那么存在元 c 1A 2A 3A 4A . 設(shè)含 c的集合為 5A ,則 5A 不是 1A ， 2A ， 3A ， 4A ，因 而不含 5A 與 1A ， 2A ， 3A ， 4A 各有一個(gè)公共元（當(dāng)然不是 b） ,這 4個(gè)公共元互不相同（理由同上），又都不是 c,從而 Card 5A ≥5，因此 n≤ 13. n≤ 13是可能的， 例如，不難驗(yàn)證，如下 13個(gè)集：｛ 0， 1， 2， 3｝，｛ 0， 4， 5， 6｝，｛ 0，7， 8， 9｝，｛ 0， 10， 11， 12｝，｛ 10， 1， 4， 7｝，｛ 10， 2， 5， 8｝，｛ 10， 3， 6， 9｝，｛ 11，1， 5， 9｝，｛ 11， 2， 6， 7｝，｛ 11， 3， 4， 8｝，｛ 12， 1， 6， 8｝，｛ 12， 2， 4， 9｝，｛ 12，3， 5， 7｝符合要求 .故 n的最大值為 13.
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