【導(dǎo)讀】 第1頁共123頁ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷.........................................................................1 1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案..................................................................3 1991全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷...........................................................................10 1991全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案..........................................................

　　

【正文】 ?? xxxy ； 當(dāng) 1?x 時(shí)， 212211 ???????? xxxy . 而在 1與 1之間無窮多個(gè)實(shí)數(shù) x，故有無窮多個(gè) x使 y取到最小值 . 4．（ C） 第 29 頁 共 123 頁 ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 給定方程組中的方程按順序兩兩相減分別得 2141 aaxx ??? ， 3252 aaxx ??? ， 4313 aaxx ??? ， 5424 aaxx ??? ， ∵ 54321 aaaaa ???? ， ∴ 41 xx ? ， 52 xx ? ， 13 xx ? ， 24 xx ? . 于是有 52413 xxxxx ???? . 5．（ A） 注意到 ?????? 73)1(1 2 xxx.0)6)(1( ,0)1)(2( ??? ??? xx xx 210)1)(2( ?????? xxxx 或. 610)6)(1( ??????? xxx . 于是原不等式的整數(shù)解是介于 1與 6之間且不等于 1,2的整數(shù) .即 0,3,4,5四個(gè)整數(shù) . 6．（ A） 設(shè) ABC? 的三條高線 AD、 BE、 CF 相交于點(diǎn) ABC? 為鈍角三角形，故其垂心 O在 ABC? 的外部（如圖） . ∵ B、 D、 F、 O四點(diǎn)共圓， 故 21 ??? . 又由題設(shè) BCOA? ， 知 OAFRt? ≌ BCFRt? ， ∴ BFOF? ， 于是 ??? 45BOF . 而 OC BOB C ??? ?????? 135180 B OF， ∴ ????? 135c o s)c o s ( O C BO B C 22?? . 第 30 頁 共 123 頁 ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 7．（ C） 如圖，設(shè) O是 ABC? 的外心， ROCOBOA ??? ， AB O CRm c os21c os ??? ， ∴ ARm cos? . 同理 BRn cos? ， CRp cos? . ∴ CBApnm c o s:c o s:c o s:: ? . 8．（ D） 原式 131323131 )122()91(3 ?? ??? 1212121)2(3 331131331???????????????????. 二、填空題 1． 4 2226221012612156322222?????????????xxxxxxxxxx 1)1( 26 2 ???? x， ∴ 當(dāng) x=1時(shí)，公式取最小值 4. 2． 7 設(shè)從左到右小盒里的球數(shù)為 7,a2,a3,? ,a1993, ∵ 307 432 ???? aaa ， 305432 ???? aaaa ， ∴ 75?a . 第 31 頁 共 123 頁 ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 同理 719931417139 ?????? ? aaaaa k?. 3．74 設(shè) yx ?2 ，原方程變?yōu)?0452 ???? kyy .設(shè)此方程有根 )0(, ???? ?? ，則原方程的四個(gè)根為 ?? ， ?? .由于它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)等距排列， ∴ )( ???? ???? ，故 ?? 9? . 由韋達(dá)定理 5???? ，得 21?? ， 29?? ， 于是 494 ??? ??k ， ∴ 47?k . 4． 3 如圖， BC為圓的直徑， ??????? 901 8 0 BECA E B ， ∴ 2330c osc os ???? AABAE . 又 ADE? ∽ ABC? ， ∴ 23?? ABAEACAD . 由此可知 2)(s i n21s i n21ABAEAACABAAEADSSABCAED ?????? 43? . 因而四邊形 DBCE面積 第 32 頁 共 123 頁 ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 ABCSS ?? 412. ∴ 3: 21 ?SS . 第 二 試 一、解法 1 不妨設(shè)角 A是銳角，連接 AH并延長交 BC于 D點(diǎn) .延長 BH、 CH分別交 AC于 E，交 AB于 F，如圖 . ∵ AHEBHD ??? , ∴ HAEHB D ??? . 因此 BDHRt? ∽ ADCRt? ∴ HDDCBDAD? . 又 BCDCBD 21?? , ∴ 241 BCDCBDHDAD ???? . 于是 )21)(21( BCHDBCADSSH B CA B C ???? ?? 4161 BC? . 當(dāng)∠ A? 90176。時(shí)，同理可證上式也成立，由于 BC 是不變的，所以當(dāng) A點(diǎn)至 BC的距離變小時(shí)，乘積 HBCABC SS ?? ? 保持不變 . 解法 2 作圖如解法 1，再延長 AD至 G，使 DG=DH，并分別連接 BG， GC. 由△ HBD≌△ GBD知， C A GC B HC B G ????? . 因而， A,B,G,C四點(diǎn)共圓 .由相交弦定理，得 DCBDDGADHDAD ????? 241BC? . 因此， HBCABC SS ?? ? )21)(21( BCHDBCAD ??? 4161 BC? . 第 33 頁 共 123 頁 ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 由于 BC是不變的 .所以當(dāng)點(diǎn) A至 BC的距離變小時(shí)，乘積 HBCABC SS ?? ? 保持不變 . 二、 由于 222 13125 ?? ，知△ ABC是直角三角形 .如圖 . 3012521 ?????ABCS， 設(shè) xAD? ， yAE? ， 由于 AxySA D E sin21?? 15? ， 135sin ?A ， 知 xy = 78. 由余弦定理知： )c o s1(2)(c o s2 2222 AxyyxAxyyxDE ??????? )13121(782)( 2 ?????? yx 12)( 2 ??? yx ? 12， 當(dāng) x=y時(shí)，上式的等號(hào)成立，此時(shí) 3212 ??DE 達(dá)到最小值 . 三、 （ 1）假如 01?x ,同由 021 ?xx ，知 02?x ，對(duì)于已知兩個(gè)方程用韋達(dá)定理得 2121 39。39。 xxbxx ????? ，這與已知 021 ?xx ， 039。39。 21 ?xx 矛盾 .因此 01?x ， 02?x . 同理 039。1?x ， 039。2?x . （ 2）由韋達(dá)定理及 01 ?x ， 02?x ，有 1)1( 2121 ?????? xxxxbc )1)(1( 21 ??? xx ? 0, c? b1. 第 34 頁 共 123 頁 ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 對(duì)于方程 02 ??? bcxx 進(jìn)得同樣討論，得 b? c1. 綜合以上結(jié)果，有 b1? c? b+1. （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)果可分下列情況討論： （ I）當(dāng) c=b+1時(shí)，由韋達(dá)定理有 12121 ???? xxxx 從而 2)1)(1( 21 ??? xx .由于x1,x2都是負(fù)整數(shù)，故 ??? ?????? .21 ,1121xx 或 ??? ??? ??? .11 ,2121xx 由此算出 5?b ， 6?c . 經(jīng)檢驗(yàn) 5?b ， 6?c 符合題意 . （ II）當(dāng) c=b時(shí)，有 )( 2121 xxxx ??? ，從而 1)1)(1( 21 ??? xx .因此 221 ??? xx .故 4??cb . 經(jīng)檢驗(yàn) 4??cb 符合題意 . （ III）當(dāng) 1???bc 時(shí)， 1??cb 對(duì)方程 02 ??? bcxx 作（ I）類似討論，得6?b ， 5?c . 綜上所述得三組值： ?????,65cb ?????,56cb ?????.44cb 1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第一試 一、選擇題 本題共有 8個(gè)小題，每小題都給出了（ A）、（ B）、（ C）、（ D）四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確結(jié)論代表字母在題后的圓括號(hào)內(nèi)。 1．若 0a1，則aaaa ?????? 1 1)11(2122可化簡(jiǎn)為 ( ) （ A） aa??11 （ B） 11??aa （ C） 21 a? （ D） 12?a 2．設(shè) a， b， c是不全相等的任意實(shí)數(shù)，若 bcax ?? 2 ， caby ?? 2 ， abcz ?? 2 ，則 x ， y ， z ( ) 第 35 頁 共 123 頁 ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 （ A） 都不小于 0； （ B）都不大于 0； （ C）至少有一個(gè)小于 0；（ D）至少有一個(gè)大于 0； 3．如圖，半圓 O的直徑在梯形 ABCD的底邊 AB上，且與其余三邊 BC， CD， DA相切。若 BC=2， DA=3。則 AB 的長 ( )。 （ A）等于 4； （ B）等于 5； （ C）等于 6； （ D）不能確定 4．當(dāng) 219941 ??x 時(shí)，多項(xiàng)式 20213 )199419974( ?? xx 的值為 ( ) （ A） 1； （ B） 1； （ C） 22021 （ D） 22021 5．若平行直線， EF， MN與相交直線， AB， CD相交 成如圖所示的圖形，同共得同旁內(nèi)角 ( )對(duì)。 （ A） 4； （ B） 8； （ C） 12； （ D） 16。 6．若方程 有兩個(gè)不相等的根，則實(shí)數(shù) P的取值范圍是 ( ) （ A） 0?p ； （ B） 41?p ； （ C） 410 ??p ； 41?p 答（ ） 7．設(shè)銳角△ ABC的三條高 AD， BE， CF相交于 H，若 BC= a， AC= b，AB= c，則 AH178。 AD+BH178。 BE+CH178。 CF 的值是 ( ) （ A） )(21 cabcab ?? （ B） )(21 222 cba ?? （ C） )(32 cabcab ?? （ D） )(32 222 cba ?? 8．若 yyx ba 1994?? （其中 a， b是自然數(shù)）且有zyx 111 ??，則 2a+b的一切可能的取值是 ( ) （ A） 1001； （ B） 1001， 3898； （ C） 1001， 1996 （ D） 1001， 1996， 3989 二、填空題 1．若在關(guān)于 x 的恒等式 bx caxxx NMx ?????? ? 222中 22 ???xx NMx，為最簡(jiǎn)分式，且有 ab， a+b= c，則 N=________。 2．當(dāng) 6|1| ??x 時(shí)，函數(shù) 12|| ??? xxxy 的最大值是 _________。 第 36 頁 共 123 頁 ab4dfd69a48508aab8393c5b3b0a7e01 3．在△ ABC中，設(shè) AD是高， BE是角平分線，若 BC=6， CA=7， AB=8，則 DE=__________。 4．把兩個(gè)半徑為 5 和一個(gè)半徑為 8 的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩相切，若要用大圓形紙片把這三個(gè)圓形紙片完全蓋住，則這個(gè)大圓形紙片的最小半徑等于 _________。 第二試 一、如圖所示，在△ ABC