橋梁結(jié)構(gòu)振動與穩(wěn)定分析研究報告-資料下載頁
2025-02-04 00:39本頁面
【導(dǎo)讀】試求薄板振動的頻率，特別是最低頻率。設(shè)已知薄板的初始條件，即已知處撓。度及初速度，試求薄板在任意瞬時的撓度。，這時，薄板所受的橫向靜荷載為。則薄板的彈性曲面微分方程為：。，則薄板每單位面積上在該。，將與橫向荷載q及慣性力iq成平衡，即。不隨時間改變，0. tw，所以上式可以改寫成為。在這里，薄板上每一點(x,y)的撓度，被標(biāo)示成為無數(shù)多個簡諧振動下的撓度相疊加，另一方面，薄板在每一瞬時t的撓度，則被標(biāo)示成為無數(shù)。代入式(2-1),然后消去因子)sincos(tBtA???，得出所謂振形微分方程。自由振動的頻率，稱為自然頻率或固有頻率，它們完全決定于薄。板的固有特性，而與外來因素?zé)o關(guān)。實際上，只有當(dāng)薄板的m為常量時，才有可能求得函數(shù)形式的解答。值，然后再用（2-4）式求出相應(yīng)的頻率。，代入表達(dá)式（2-2），就有可能利用初始條件求得該表達(dá)式中的系數(shù)mA及mB。在數(shù)學(xué)處理上是比較困難的。在絕大多數(shù)的情況下，只能求得各種振形的振形函數(shù)及相應(yīng)的頻
【正文】 由于 ew 不隨時間而變， 0t22 ??? ew ，所以上式可以改寫為 )()w 224 ettet wwtmqwD ???????（ （ 8d） 注意 et ww? 就是薄板在任一瞬時的、從平衡位置量起的 w，即可由上式得 東南大學(xué) — 交通學(xué)院 第 12 頁 DqtwDm t????? 224 w （ 227） 這就是薄板受迫振動微分方程。 為了求解薄板的受迫振動問題，必須首先求解該薄板的自由振動問題，求出它的各種振形的振形函數(shù)以及相應(yīng)的自然頻率，然后將它所受的動力荷載展為振形函數(shù)的級數(shù)，即 ),()(F),( 1 yxWttyxq mm mt ???? （ 228） 現(xiàn)在，把微分方程（ 227）的解答取為如下的形式： ?? ???? ?? 11 ),()(Tww m mmm m yxWt （ 229） 將（ 228）及（ 229）兩式代入（ 227）式，得 ??? ?????? ??? 11 221 4 1TdmT m mmm mmm mm WFDWdtDW （ 8e） 另一方面，由（ 25）及（ 24）兩式可得 mmm WDWW m2m44 ?? ??? （ 8f) 在將式（ 8f）代入式（ 8e)的左邊，然后比較兩邊 mW 的系數(shù)，得 mmmm FdtTdT m1222 ??? （ 8g) 常微分方程（ 8g）的解答可以標(biāo)示成為 )(s i nBc o sA tttT mmmmmm ??? ??? （ 8h） 其中的 )(tm? 是任一特解。系數(shù) mA 及 mB 則必由初始條件來確定，與自由振動的情況下相同。將式（ 8h)代入（ 229）式，即得薄板在任一瞬時的撓度： ? ? ),()(s i nBc osA11 yxWtttww mm mmmmmm m ?? ???? ???? ??? （ 230） 例題：設(shè)簡支邊矩形薄板受有動力荷載 tyxqt ?cos),(q 0? （ 8i） 這標(biāo)示：動力荷載的分布形式保持不變，但它的數(shù)量卻以頻 率 ? 周期性地隨時間變化。 已知簡支邊矩形薄板的振形函數(shù)為 b xna xmmn ?? s ins inW ? （ 8j） 首先把動力荷載 tq 的表達(dá)式（ 8i）展為振形函數(shù)的級數(shù)： 東南大學(xué) — 交通學(xué)院 第 13 頁 ? ??? ???? 1m 10 s i ns i nc osc os),(q n mnt b xna xmtCtyxq ???? （ 8k） 即 ? ??? ??? 1m 10 s i ns i n),( n mn b xna xmCyxq ?? 按照重三角級數(shù)的展開公式，我們有 ? ?? a bmn dx dyb xna xmyxqC 0 0 0 s i ns i n),(ab4 ?? （ 8l） 現(xiàn)在，將式（ 8k）及式（ 8j)一并代入（ 228）式，即可見 tCF mnmn ?cos? 而常微分方程（ 8g）成為 tCdtTdT mnmmm ?? c osm12 n22 ?? 這一微分方程的特解可以取為 )(m cos 22mn ?? ?? ?? mnmn tC 于是由（ 230）式得撓度的表達(dá)式 b xna xmtCttww m n mnmnmnmnmnmnm n mn ???? ??? s i ns i n)(m c o ss i nBc o sA1 1 221 1 ? ?? ????????? ?????????????（ 8m） 并從而得到速度的表達(dá)式 ? ??? ?? ???????? ?????? 1 1 22 s i ns i n)(m s i n)s i nAc o sB(t m n mnmnmnmnmnmnmn b xna xmtCtt ???? ?????? （ 8n） 設(shè)動力荷載 tq 開始作用時，薄板是靜止地處于平衡位置，則初始條件為 0)(w 00 ?? ?tw ， 0v00 ??????? ????ttw 由后一條件得 0B ?mn ，從而由前 一條件得 )(mA 22 ?? ??? mnmnmn C 代入式（ 8m） ,即得撓度的最后解答 ? ?? ? ?? ???? ?? ???? 1 1 221 1 s i ns i n)c os(c o s)(mm n mnmn mnm n mn b xna xmttCww ??????（ 8o） 東南大學(xué) — 交通學(xué)院 第 14 頁 其中的系數(shù) mnC 如式（ 8l)所示。 當(dāng)動力荷載 tq 的頻率 ? 趨于薄板的某一個自然頻率 mn? 時，解答（ 8o）中相應(yīng)的一項mn? 將具有 0/0 的形式，不便討論。因此，利用關(guān)系式 2 )(s i n2 )(s i n2c osc os tttt mnmnmn ?????? ???? 將上述一項變換為 b xna xmttCw mnmnmn mnmn ???????? s i ns i n2 )(s i n2 )(s i n2)(m 22 ???? 當(dāng) ? 趨于 mn? 時，這一項成為 b xna xmtCw mnmnmnmn ???? s i ns i n)s i n(tm2? 它 具有因子 t，因而隨著時間的經(jīng)過而無線增大，表示共振現(xiàn)象將發(fā)生。當(dāng)然，由于阻尼力的存在，此項振動不會無限增大，但可能增大到一定的數(shù)值而使薄板破壞。因此，當(dāng)設(shè)計薄板構(gòu)件時，和設(shè)計其他種構(gòu)件時一樣，必須使薄板的各階自然頻率不會接近動力荷載的頻率，通常是使薄板構(gòu)件的最低自然頻率遠(yuǎn)大于該構(gòu)件所可能收到的動力荷載的頻率。這就說明，在薄板的振動問題中，最低自然頻率的計算是重要的問題。 3 薄板的穩(wěn)定理論及應(yīng)用 薄板受縱橫荷載的共同作用
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