橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)與穩(wěn)定分析研究報(bào)告(文件)
【正文】 （ 26） 當(dāng)薄板以這一頻率振動(dòng)時(shí)，振形函數(shù)為 東南大學(xué) — 交通學(xué)院 第 4 頁(yè) bsins xna xminW mn ??? 而薄板的撓度為 bs i ns)s i nc os( mn xna xmintBtAw mnmnmn ???? ?? （ 2d) 則薄板在自由振動(dòng)中任一瞬時(shí)的總撓度為 ? ??? ?? ?? 1 1 mn bs i ns)s i nc os(m n mnmnmn xna xmintBtAw ???? （ 2e) 初撓度 0w 及初速度 0v 標(biāo)示成振形函數(shù)的級(jí)數(shù)為： ???????????? ?? ?? ?? ?????????????????。 mnmnA ? mnmnmn DBC ?? 代入式（ 2e),即得完整的解答如下： ,bs i ns)s i nc osC(1 1 mn? ??? ?? ?? m n mnmnmnmn xna xmintDtw ????? （ 28） 兩對(duì)邊簡(jiǎn)支的矩形薄板的自由振動(dòng) 設(shè)薄板的 x=0及 x=a的兩邊為簡(jiǎn)支邊。a xmyCyCyCyC ????? s i ns i nc oss i nhc os hW 4321 ???? （ 29） 在少數(shù)情況下， 2222 am ?? ? ，而式（ 3c)所示的四個(gè)跟都是實(shí)根。s i n39。將式（ 4g）代入（ 4f） ,即得 東南大學(xué) — 交通學(xué)院 第 7 頁(yè) ? ? ?nxKCxICxNCxJCW nnnn c o s)()()()( 4321 ???? 。引用量綱一的常數(shù) Dh42m??? （ 213） 則上列差分方程為 0)()(2)(8)20( 1211109876543210 ?????????????? WWWWWWWWWWWWW? 。這樣，由式（ 6b)及式（ 6c）可見(jiàn)，當(dāng)薄板距平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，則有 1sin ??t? ， W??w ， 0cos ?t? ，從而有 0???tw 。按照式（ 6c),這個(gè)最大動(dòng)能是 dx dyWmdx dytwm 222m a x,k 221E ???? ??????? ??? ? （ 217） 根據(jù)能量守恒定理有 max,kmax, EV ?? ，即 0EV m ax,km ax, ??? 這是 mC 的一組 m個(gè)齊次線性方程。選 mC 使得max,kmax, EV ?? 為最小，即 0)E(VC m a x,m a x,m ???? k? （ 219） 這是 mC 的一組 m個(gè)齊次線性方程。為此，振形函數(shù)須改用極坐標(biāo)表示，即 ),(W ??W? （ 220） 與此相應(yīng)， max,V? 也須改用極坐標(biāo)表示，可得 ? ? ??????????????? ddWWWWWWD ?? ?????????? ???????? ???????? ??????????????? ??????????? 2222222222m a x, 1111)1(22V（ 221） 當(dāng)全部邊界為夾支邊時(shí)，可得 ? ? ???? ddWD 22m a x, 2V ?? ?? （ 222） 同樣， max,kE 也須改用極坐標(biāo)表示，可得 ???? ddWm 22m a x,k 2E ??? （ 223） 東南大學(xué) — 交通學(xué)院 第 9 頁(yè) 對(duì)于圓形薄板的軸對(duì)稱自由振動(dòng)，可得 ?????????? dd WdddWddWd Wd? ???????? ??????????????????? 222222m a x, 21DV （ 224） 當(dāng)全部邊界為夾支邊時(shí)，可得 ??????? dddWd Wd? ???????? ?????????????????? 2222m a x, 1DV （ 225） 最大動(dòng)能的公式（ 223）則簡(jiǎn)化為 ???? dWm?? 22m a x,kE （ 226） 當(dāng)薄板上尚有集中質(zhì)量隨同薄板振動(dòng)時(shí)，還須按照設(shè)定的振形函數(shù) W，求出集中質(zhì) 量的最大動(dòng)能，計(jì)入 max,kE ，然后進(jìn)行計(jì)算。 例題 2：考慮四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，圖 24，用里茨法求最低自然頻率。代入公式（ 225），得 DadddWd Wd ???????? 2a02222m a x, 3321DV ????????? ?????????????????? ? 將式（ 7d)代入公式（ 226），假定 m 為常量，得 22022m a x,k 10E amdWm a ?????? ?? ? 東南大學(xué) — 交通學(xué)院 第 11 頁(yè) 命 max,kma, E?xV? ，即得 mDamDa 22 158 ??? 比精確解答只大出 1%。 為了求解薄板的受迫振動(dòng)問(wèn)題，必須首先求解該薄板的自由振動(dòng)問(wèn)題，求出它的各種振形的振形函數(shù)以及相應(yīng)的自然頻率，然后將它所受的動(dòng)力荷載展為振形函數(shù)的級(jí)數(shù)，即 ),()(F),( 1 yxWttyxq mm mt ???? （ 228） 現(xiàn)在，把微分方程（ 227）的解答取為如下的形式： ?? ???? ?? 11 ),()(Tww m mmm m yxWt （ 229） 將（ 228）及（ 229）兩式代入（ 227）式，得 ??? ?????? ??? 11 221 4 1TdmT m mmm mmm mm WFDWdtDW （ 8e） 另一方面，由（ 25）及（ 24）兩式可得 mmm WDWW m2m44 ?? ???
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