【導(dǎo)讀】在了解了利率衍生工具的基本特征后，本章將討論如何對(duì)前面介紹的幾種利率衍生工具及其定價(jià)，主要有利率期貨、利率互換及利率上、下限協(xié)議等。在衍生工具定價(jià)的討論中，經(jīng)常使用的一種思考方法被稱為無(wú)套利分析法，其基本原理是假定市場(chǎng)是充分有效的、市場(chǎng)信息是充分且完全的、市場(chǎng)信息的擴(kuò)散是瞬間完成的，在這些假定下，任何套利機(jī)會(huì)，即不需要任何凈投資就能獲得凈利潤(rùn)的機(jī)會(huì)都不可能長(zhǎng)期存在，即任何套利機(jī)會(huì)都可能在瞬間即被利用，市場(chǎng)價(jià)格對(duì)資產(chǎn)真實(shí)價(jià)值的任何偏離，都可以在瞬間回到資產(chǎn)的真實(shí)價(jià)值上來(lái)。根據(jù)上面的無(wú)套利原理，可以設(shè)想，國(guó)券期貨的價(jià)格無(wú)論是高于還是低于其真實(shí)價(jià)值，都可能出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。要求出債券期貨的理論價(jià)值，關(guān)鍵是弄清楚對(duì)債券期貨進(jìn)行套利的過(guò)程。相關(guān)資產(chǎn)的收益情況為：現(xiàn)金用于投資可產(chǎn)生無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益、借入資金須付出至少無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的成本、債券有息票收入。反之，則被稱為負(fù)持有成本。

　　

【正文】 不變，也不一定成立。這里不擬對(duì)這些變量的各種情況加以討論，只是在布萊克肖爾斯模型原假定的基礎(chǔ)上，對(duì)固定收益證券期權(quán)定價(jià)進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。對(duì)無(wú)收益資產(chǎn)歐式期權(quán)，其看漲期權(quán)定價(jià)的布萊克肖爾斯模型如下： （158） 假如某無(wú)息票債券看漲期權(quán)的有關(guān)參數(shù)如下：X＝90、t＝S＝8σ＝20％、r=5%，根據(jù)布萊克肖爾斯模型，可以算出：d1=、d2=，根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)，并代入公式。根據(jù)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系，即： （159）其中的p是同等條件的看跌期權(quán)的價(jià)格。 布萊克肖爾斯模型雖然可以用于歐式期權(quán)的價(jià)格分析，卻很難適用于美式期權(quán)的價(jià)格分析，因?yàn)槊朗狡跈?quán)有可能被提前執(zhí)行，期權(quán)具體的執(zhí)行時(shí)間是不完全確定的。對(duì)美式期權(quán)定價(jià)，常用前面介紹的二叉樹模型。 布萊克肖爾斯模型不僅可以作為一種定價(jià)的方法，而且可以作為期權(quán)價(jià)價(jià)格對(duì)不同因素敏感性或彈性的分析工具。最常用的是期權(quán)價(jià)值變化相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的Delta比率、以及Delta變化相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的Gamma比率、期權(quán)價(jià)值變化相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率變化的Vega比率、期權(quán)價(jià)值變化相對(duì)于時(shí)間變化的Theta比率、期權(quán)價(jià)值相對(duì)于利率變化的Rho比率等。這些比率的計(jì)算，實(shí)際上都是以布萊克肖爾斯模型為基礎(chǔ)，相對(duì)于某個(gè)變量求偏微分的結(jié)果。這些比率最重要的用途是，可以通過(guò)調(diào)整資產(chǎn)組合中不同標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)某些變量的彈性系數(shù)和頭寸，從而控制組合的風(fēng)險(xiǎn)，例如進(jìn)行套期保值等。 利率上限和利率下限協(xié)議的價(jià)格對(duì)利率上、下限協(xié)議的定價(jià)，最常用的方法仍然是二叉樹模型。與前面對(duì)看漲期權(quán)或看跌期權(quán)不同的是，三年兩年期的利率上、下限協(xié)議的價(jià)值，在這里假定是按年半年、在每半年末支付的，因此，要確定三年兩年期利率上、下限協(xié)議的價(jià)值，必須將在第一、二、三3和4個(gè)半年末的支付分別加以計(jì)算分別計(jì)算出協(xié)議的可能支付額的現(xiàn)值，然后將三4次支付的現(xiàn)值加在一起，才能就能確定利率上、下限協(xié)議的價(jià)值。仍然沿用前面例中的利率樹，并：％ 且名義本金為101,000,000美元元，則第一年末第4個(gè)半年末的支付情況及其現(xiàn)值的計(jì)算分別應(yīng)為Max[(％),0]101,000,000=，再按該節(jié)點(diǎn)的利率將其貼現(xiàn)到上一個(gè)節(jié)點(diǎn)，方法與前面所介紹的相同，一直貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)點(diǎn)，當(dāng)利率的波動(dòng)率分別為20%和40%時(shí)，其現(xiàn)值為：2668和2745元，具體過(guò)程，如下圖所示：，并按上升與下降的概率各為50％的比例，在這里，即（+0）/[2(1+3％)]＝： 圖表 1510 利率上限協(xié)議的估值同樣，可以計(jì)算出第二年末第3個(gè)半年末利率上限協(xié)議的支付額及其現(xiàn)值在利率波動(dòng)率分是20%和40%的情況如下為1177和1701元。從上圖中可以看到，第2個(gè)半年中，%實(shí)際利率的情況，因此其現(xiàn)金支付額為0。將第4半年現(xiàn)金支付額的現(xiàn)值相加，則可以得到，在利率波動(dòng)率分別為20%和40%的情況下，是3845元和4446元。：第三年末利率上限協(xié)議的支付額及其現(xiàn)值如下：最后可以求出三年期利率上限協(xié)議的價(jià)值為上述三年支付額的現(xiàn)值之和，+ +＝323683美元。對(duì)于利率下限協(xié)議，其基本原理與利率上限協(xié)議相同，只是年末的支付額，只有當(dāng)利率低于利率下限時(shí)，才按利率差和名義本金額進(jìn)行支付，％，其中第4個(gè)半年可能支付的現(xiàn)金及其現(xiàn)值的計(jì)算，如下圖所示： 則利率下限協(xié)議的價(jià)值計(jì)算如下： 圖表 1511 利率下限協(xié)議的估值顯然，％既是上限利率、也是下限利率，但上、下限協(xié)議的價(jià)值卻有非常大的差異，這是因?yàn)槔实钠谙藿Y(jié)構(gòu)呈上升趨勢(shì)，利率低于下限利率的概率和幅度遠(yuǎn)少于利率上限協(xié)議的緣故可以看到，利率波動(dòng)率分別為20%和40%的情況下，利率下限協(xié)議第4個(gè)半年現(xiàn)金流的現(xiàn)值分別為64元和1817元，同樣可以分別計(jì)算出第1個(gè)半年里，現(xiàn)金流的現(xiàn)值分別為180、1750元，1190、3184元和153和1479元，將這些現(xiàn)值分別相加，可以得，在利率波動(dòng)率分別為20%和40%的時(shí)候，3%利率下限協(xié)議的價(jià)值分別為：1586元和8229元。從這里可以清晰地看到，利率的波動(dòng)性，對(duì)利率協(xié)議價(jià)格的影響是非常顯著的。在分析利率協(xié)議價(jià)值的時(shí)候，合理地估計(jì)和假設(shè)利率波動(dòng)率，自然也就非常關(guān)鍵。本章要點(diǎn)l 利率期貨合約l 無(wú)套利定價(jià)l 凈融資成本l 持有成本l LIBORl 互換利率l 互換利差l 內(nèi)在價(jià)值l 時(shí)間價(jià)值l 實(shí)值期權(quán)l(xiāng) 虛值期權(quán)l(xiāng) 平價(jià)期權(quán)l(xiāng) 布萊克德曼托伊模型l 布萊克肖爾斯模型練習(xí)題1. 設(shè)某國(guó)債期貨合約的標(biāo)的債券息票利率為6％，面值為100美元元，下一付息日顯6個(gè)月后，且債券當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為95美元元，％ APR，則：(1) 該期貨的理論價(jià)格應(yīng)為多少？(2) 假如該期貨合約當(dāng)前的價(jià)格為98美元元，請(qǐng)問(wèn)是否存在套利機(jī)會(huì)，如果有，應(yīng)該如何套利？(3) 如果市場(chǎng)上的借款利率和借款利率不相同，％％，請(qǐng)問(wèn)是否存在套利機(jī)會(huì)，如果有，應(yīng)該如何套利？2. 有以下互換合約：設(shè)從2006年1月1日起，按實(shí)際天數(shù)/360天為時(shí)間計(jì)算方式、每半結(jié)算一次利息，基準(zhǔn)利率為6個(gè)月期LIBOR，名義本金總額為500萬(wàn)美元元，互換有效期為5年。(1) 假如2006年1月1日的6個(gè)月LIBOR為5％，則固定利率的支付方應(yīng)在2006年1月1日收到多少利息？(2) 假如以后兩年內(nèi)，從2006年1月1日起，每半年歐洲美國(guó)大額可轉(zhuǎn)讓存單的價(jià)格如下表： 試計(jì)算每半年的遠(yuǎn)期利率以及每半年末浮動(dòng)利率的支付方應(yīng)支付的利息額。3. 假定某互換協(xié)議中，固定利率為7％ APR，且按季度進(jìn)行利息結(jié)算，時(shí)間計(jì)算方式是實(shí)際天數(shù)/360，互換有效期為3年，名義本金為1000萬(wàn)元，如果以后3年中，每個(gè)季度的實(shí)際天數(shù)均為第一、二、三、四季度90、9991天：(1) 固定利率的支付方每個(gè)季度應(yīng)支付的利息額應(yīng)為多少？(2) 如果利息結(jié)算不是按季度，而是每半年結(jié)算一次，則固定利率的支付方每半年應(yīng)支付的利息額應(yīng)為多少？(3) 如果在（2）中，互換協(xié)議的名義本金在第一、二、三年時(shí)分別為1000萬(wàn)元、800萬(wàn)元和500萬(wàn)元，固定利率的支付方每半年應(yīng)支付的利息額又應(yīng)為多少？4. ，標(biāo)的無(wú)息債券的價(jià)格為80，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為100，期權(quán)期限為3年，％　BEP上漲到8％時(shí)，期權(quán)價(jià)格的變化為多少？5. 利用下面的無(wú)套利利率二叉樹圖回答以下問(wèn)題：(1) 息票利率為6％的三年兩年期國(guó)債（每半年付息一次）的價(jià)格應(yīng)為多少？(2) 上述國(guó)債，對(duì)執(zhí)行價(jià)格為100元的、息票利率為6％國(guó)債的兩三年期美式看漲期權(quán)，其價(jià)值為多少？ 如果期權(quán)的期限為兩年，則價(jià)值又為多少？(3) 上述國(guó)債，、息票利率為6％國(guó)債的三的兩年年期美式看跌期權(quán)，其價(jià)值為多少？ 如果期權(quán)的期限為兩年，則價(jià)值又為多少？6. 填寫下表：7. 設(shè)在某一5年期互換協(xié)議開始之初，以3個(gè)月LIBOR為基礎(chǔ)的浮動(dòng)利率支付額的現(xiàn)值為18,000美元元，固定利率的支付周期為半年，如果固定利率的支付額按下面的公式支付：(1) 試計(jì)算協(xié)議的互換利率為多少？(2) 如果新發(fā)5年期國(guó)債的收益率6％，互換利差是多少？8. 設(shè)某互換協(xié)議還有一年到期，協(xié)議的名義本金為1000萬(wàn)美元元，固定及浮動(dòng)利率利息的結(jié)算周期均按季度進(jìn)行，時(shí)間都按實(shí)際/360計(jì)算，參考的基準(zhǔn)利率為3個(gè)月LIBOR。(1) 填寫下表：(2) 按上面計(jì)算出的遠(yuǎn)期利率，計(jì)算每季度末浮動(dòng)利率支付方應(yīng)付的利息額？(3) ％，試計(jì)算每季度末固定利率支付方應(yīng)付的利息額(4) 計(jì)算該互換協(xié)議對(duì)浮動(dòng)利率支付方的價(jià)值。(5) 計(jì)算該互換協(xié)議對(duì)固定利率支付方的價(jià)