高考理科數(shù)函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)習(xí)資料-資料下載頁
2025-08-11 14:49本頁面
【導(dǎo)讀】x取正值并且無限增大時(shí)，如果。的極限是a，記作.說a是函數(shù)f在點(diǎn)x0處的，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù).則下列結(jié)論一定正確的是(). 在變形中的應(yīng)用.
【正文】 ? 所以 (x0+1)(x02)2=0,解得 x0=1或 x0=2. ? 故所求的切線方程為 4xy4=0或 xy+2=0. ? 點(diǎn)評： 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的思路是：先求得函數(shù)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值 ， 即為切線的斜率 ， 然后根據(jù)切點(diǎn)的坐標(biāo) ， 再用點(diǎn)斜式可得切線方程 .若是經(jīng)過某點(diǎn)的切線 ， 注意先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo) ， 然后寫出切線方程 ， 再把已知點(diǎn)代入切線方程求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo) . 3 2 20 0 04 4 0 ,x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?20 0 0 01 4 1 1 0 ,x x x x? ? ? ? ?52 ? (2020全國課程標(biāo)準(zhǔn)卷 )曲線 y=在點(diǎn) (1， 1)處的切線方程為 ( ) ? A. y=2x+1 B. y=2x1 ? C. y=2x3 D. y=2x2 53 ? 解： 易知點(diǎn) (1， 1)在曲線上，即為切點(diǎn)， ? 又由于 f ′ (x)= = ， ? 故 f ′ (1)= ， ? 即切線的斜率為 2 ， 從而切線方程為y+1=2(x+1)， ? 化簡可得 y=2x+1. 222xxx? ? ??? ? ?222x? ? ?21 2 2?? ? ?54 ? 已知函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=1處連續(xù)， ? 且 求 f ′(1). ? 解： 因?yàn)?f(x)在點(diǎn) x=1處連續(xù)， ? 所以 又 參考題 題型 函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系分析 ? ?1l i m 21xfxx? ?? ，? ? ? ?1l i m 1 .x f x f? ? ? ?1l i m 21x fxx? ?? ，55 ? 所以 ? 即 f(1)=0. ? 所以 ? ? ? ?? ?? ?1111li m li m 11li m ( 1 ) li m 0 2 01xxxxfxf x xxfxxx????? ? ??? ? ? ? ? ??，? ?? ? ? ? ? ?011( 1 ) ( 1 )1 li m1li m li m 2.11xxxf x ffxf x f f xxx???????????? ? ???56 ? 求證：如果函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，那么函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x0處連續(xù) . ? 證明： 由已知，得 0000( ) ( )lim ( )xf x x f x fxx?????? ?? ，57 ? 所以 ? 所以命題得證 . ? ?? ?? ? ? ? ? ?00000000000000 0 0l i m l i m ( )l i m ( ) ( )( ) ( )l i m ( )( ) ( )l i m l i m ( )0.x x xxxxxf x f x xf x x f x f xf x x f xx f xxf x x f xx f xxf x f x f x?????????????????????? ? ? ???? ? ???? ? ?? ? ? ? ?［ ］［ ］58 ? 1. f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f ′(x0)也可理解為： 這相當(dāng)于 Δx=xx0，所以增量 Δx可用其他形式替代，如 t， 2t等 .但在轉(zhuǎn)換時(shí)，必須與導(dǎo)數(shù)概念保持一致，如 事實(shí)上， ? ? ? ?000limxxf x f xxx??? ，? ? ? ?0000l i m ( )tf x t f x fxt??? ?? ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0000l i m l i m .ttf x t f x f x t f x fxtt? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??［ ］59 ? 2. 求函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)最基本的題型 ，利用求導(dǎo)法則將 f(x)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ， 再套公式化簡整理 ， 是解決這類問題的基本思路 .有時(shí)可先對 f(x)作適當(dāng)變形 ，再求導(dǎo) . ? 3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則表明：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù) ， 等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù) ， 乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù) . 60 ? 求解時(shí)要正確分析函數(shù)的復(fù)合過程 ， 選好中間變量 ， 尤其是涉及多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù) ， 求導(dǎo)時(shí)首先要弄清它是幾層復(fù)合關(guān)系 ，然后由外而內(nèi) ， 逐層求導(dǎo) .必要時(shí)可通過換元 ， 使復(fù)合關(guān)系更加明確 、 具體 .同時(shí)注意在求導(dǎo)后 ， 要把中間變量換成自變量的函數(shù) . ? 4. 求 f ′(x0)的值 ， 一般先求 f ′(x)， 然后再求當(dāng) x=x0時(shí)導(dǎo)函數(shù)的值 .有時(shí)也可直接利用導(dǎo)數(shù)的定義 ， 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的極限 . 61 ? 5. 判斷函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=x0處是否可導(dǎo)，可轉(zhuǎn)化為判斷 是否存在 .若存在，則這個(gè)極限值就是 f(x)在 x0處的導(dǎo)數(shù) .如果函數(shù) y= f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，那么函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處連續(xù)，但其逆命題不成立 .即若函數(shù) y= f(x)在點(diǎn) x0處連續(xù)，那么 f(x)在 x0處不一定可導(dǎo) (例如函數(shù) y=|x|在點(diǎn) x=0處連續(xù)，但無導(dǎo)數(shù) )，它可直觀地理解為連續(xù)函數(shù)對應(yīng)的曲線在點(diǎn) x0處不一定有“切線” . ? ? ? ?000limxxf x f xxx???62 ? 6. 求過某個(gè)點(diǎn) M的曲線的切線方程 ， 關(guān)鍵是求切線的斜率 ， 從而轉(zhuǎn)化為求曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) .但必須注意的是 ， 先要明確點(diǎn)M是否在曲線上 .若點(diǎn) M在曲線上 ， 則它就是切點(diǎn) ， 否則 ， 要另設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo) ， 切不可把函數(shù)在點(diǎn) M處的導(dǎo)數(shù)誤認(rèn)為是切線的斜率 . ? 7. 由于函數(shù) y=f(x)在 x=x0處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn) P(x0， f(x0))處切線的斜率 ， 因此 ， 曲線 y=f(x)在點(diǎn) P(x0， f(x0))處的切線方程可按如下步驟求得： 63 ? 第一步 ， 求出函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x=x0處的導(dǎo)數(shù) ，即曲線 y=f(x)在點(diǎn) P(x0， f(x0))處切線的斜率 . ? 第二步 ， 在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下 ，求得切線方程為 y=y0+f ′(x0)(xx0). ? 如果曲線 y=f(x)在點(diǎn) P(x0， f(x0))處的切線平行于 y軸 (此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在 )， 由切線的定義可知 ，切線的方程為 x=x0.
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