【正文】 fmP=(A)記作P或者174。P0(x,y)174。(x0,y0)limf(P)=A或者xl174。xi0fmP=(A)或者y174。y0f(x,174。y)A,(P174。(x(x0,y0)。0P,y))Df趨于P0； 注：(x,y)174。P0(x0,y0)，把二元函數(shù)的極限也稱之為二重極限；。22例1 設(shè)f(x,y)=(x+y)sin1limf(x,y)=0。22，求證x174。x0y174。y0x+y2證明 顯然函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈f=R{(0,0)}，(0,0)是Df的聚點(diǎn)。因?yàn)?x2+y2)sin只須1122220163。x+y(x+y)sin0e，e0，所以對(duì)，要使2222x+yx+yx2+y2e成立即可。也就是說(shuō)，對(duì)e0，總$d=e0，2239。P(x,y)206。U0(O(0,0),d)時(shí)，總有(x+y)sin10e成立，故x2+y2x174。x0y174。y0lim(x2+y2)sin1=0。22x+ysin(x2y)=? 例2 求極限limx174。0x2+y2y174。0提示：四則運(yùn)算，并考慮重要極限和基本不等式。x3y例3 證明函數(shù)lim不存在？ x174。0x6+y2y174。0提示：設(shè)y=kx3。(xy)=?x174。0xy174。2236。xy,x2+y2185。0239。2limf(x,y)(x,y)=237。x+y的極限x174。0不存在？y174。0239。0,x2+y2185。0238。 回憶一元函數(shù)連續(xù)的定義：limf(x)=f(x0)。f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)219。x174。x0Df的聚點(diǎn)，且定義2 設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈f，P0(x0,y0)是limf(x,y)=f(x0,y0)P206。Dx174。x0。如果，那么稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P 0f0(x0,y0)處連續(xù)。y174。y0定義3 設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈f，且Df內(nèi)每一點(diǎn)都是聚點(diǎn)。如果函數(shù)z=f(x,y)在Df內(nèi)的沒(méi)一點(diǎn)處都連續(xù)，那么稱z=f(x,y)在Df上聯(lián)系或者稱z=f(x,y)為Df上的連續(xù)函數(shù)。注：。例1 設(shè)f(x,y)=sinx，證明函數(shù)f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù)？limf(x,y)=sinx02x174。x0(x,y)206。R分析：對(duì)P,證明（ed語(yǔ)言）。000y174。y0證明Df的聚點(diǎn)，=f(x,y)的定義域?yàn)镈f，且P0206。Df。0(x0,y0)是如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P則稱點(diǎn)P0(x0,y0)處不連續(xù)，0(x0,y0)為函數(shù)z=f(x,y)的間斷點(diǎn)。236。xy,x2+y2185。0239。22例2 函數(shù)f(x,y)=237。x+y在點(diǎn)O(0,0)的連續(xù)性？239。0,x2+y2185。0238。解：點(diǎn)O(0,0)雖為定義域R2的聚點(diǎn)，但由于f(x,y)在點(diǎn)O(0,0)無(wú)極限，故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)O(0,0)間斷。例3 函數(shù)f(x,y)=sin122的定義域?yàn)镈f={(x,y)x+y185。1}，但22x+y1C={(x,y)x2+y2=1}上的點(diǎn)為Df的聚點(diǎn)，又由于f(x,y)在C上沒(méi)有定義。故C上的點(diǎn)是f(x,y)的間斷點(diǎn)。；； 連續(xù)219。237。；238。多元函數(shù)的連續(xù)性的性質(zhì)與一元函數(shù)一致：； ； ；（定義區(qū)域：半酣定義域的區(qū)域或者閉區(qū)域）。可以利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性求極限。例4 limx+y=?x174。1xyy174。2,2)206。Df是內(nèi)點(diǎn)，因此存在U(P分析：Df={(x,y)x185。0且y185。0}，P0(10。d)205。Df是x+y3=f(1,2)=。Df內(nèi)的區(qū)域，因此limx174。1xy2y174。2一般地，若f(x,y)是初等函數(shù)，且P0(x0,y0)是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則x174。x0y174。y0limf(x,y)=f(x0,y0)。與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的最值定理類似，有性質(zhì)1 定義在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)必取得最大值和最小值。性質(zhì)2（介值定理）有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間 的任何一個(gè)值。性質(zhì)3 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù)。第五篇：極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性、難點(diǎn)： ，閉區(qū)間上連續(xù) （1）若與在處連續(xù)，則，（）在處也連續(xù)。（2）最大、最小值，若是[]上的連續(xù)函數(shù)，那么在上有最大值和最小值，最值可在端點(diǎn)處取得，也可以在內(nèi)取得?！镜湫屠}】 [例1] 求下列極限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式[例2] 求下列各數(shù)列的極限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式[例3] 已知數(shù)列是正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且滿足，其中是大于1的整數(shù)，是正數(shù)。（1）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）求的值。解：（1）由已知得∴ 是公比為的等比數(shù)列，則（2）① 當(dāng)時(shí)，原式 ② 當(dāng)時(shí)，原式 ③ 當(dāng)時(shí)，原式[例4] 判定下列函數(shù)在給定點(diǎn)處是否連續(xù)。（1）在處；（2），在處。解：（1），但故函數(shù)在處不連續(xù)（2）函數(shù)在處有定義，但，即故不存在，所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)。[例5] 已知函數(shù)，試求：（1）的定義域，并畫(huà)出的圖象；（2）求，；（3）在哪些點(diǎn)處不連續(xù)。解：（1）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，不存在 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，∴∴ 定義域?yàn)椋ǎǎ?，圖象如圖所示（2）∴ 不存在（3）在及處不連續(xù)∵ 在處無(wú)意義 時(shí)，即不存在∴ 在及處不連續(xù)[例6] 證明方程至少有一個(gè)小于1的正根。證明：令，則在（0，1）上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)。時(shí)，∴ 在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)，使即：至少有一個(gè)，滿足且，所以方程至少有一個(gè)小于1的正根。[例7] 函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是否連續(xù)？在區(qū)間[0，2]上呢？ 解：（且）任取，則∴ 在（0，2）內(nèi)連續(xù)，但在處無(wú)定義 ∴ 在處不連續(xù)，從而在[0，2]上不連續(xù)[例8] 假設(shè)，在上不連續(xù)，求的取值范圍。解：若函數(shù)，在上連續(xù)，由函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義，必有，因?yàn)椋?，所以，若不連續(xù)，則且。[例9] 設(shè)（1）若在處的極限存在，求的值；（2）若在處連續(xù)，求的值。解：（1），因?yàn)樵谔帢O限存在，所以，所以，即（2）因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以在處的極限存在，且，由（1）知，且，又，所以?！灸M試題】 ：，則下列結(jié)論正確的是（）.=1D.= （） （）（），則的取值范圍是（），則常數(shù)等于（）（）（）： ：（1）（2）（3），1，求。（1）在處是否連續(xù)？說(shuō)明理由；（2）討論在和上的連續(xù)性?！驹囶}答案】 D：（1）（2）① 當(dāng)時(shí)，∴② 當(dāng)時(shí)，∴③ 當(dāng)時(shí)，（3）：∵∴∴，：（1）∵，則∴∵，且∴∵∴ 不存在∴ 在處不連續(xù)（2）∵∴ 在上是不連續(xù)函數(shù) ∵∴ 在上是連續(xù)函數(shù)。