【導(dǎo)讀】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。過點(diǎn)D作DG垂直于BC于G，過E作EF垂直于AD交AD的延長(zhǎng)線于F，∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°，又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A. 分別令x=0，y=0可得直線4yx43???∵旋轉(zhuǎn)前后三角形全等，∴由圖易知點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)為OA長(zhǎng)3，橫坐標(biāo)為OA+O′B′=OA+OB=3+4=7。符號(hào)相同．作AM⊥x軸于M，A′N⊥x軸于N點(diǎn)，在Rt△OAM和Rt△A1ON中，OA=OA1，∠AOM=∠A1ON，同樣可考慮第二、三、四象限的情形，得到同樣結(jié)論。綜上所述，當(dāng)△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時(shí)，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α的值是：30，45，75，135，∴△OAB每三次旋轉(zhuǎn)后回到原來的狀態(tài)，并且每三次向前移動(dòng)了3+4+5=12個(gè)單位?！嗳切微獾闹苯琼旤c(diǎn)的坐標(biāo)為。

　　

【正文】 都不在這條拋物線上。 ② 存在。 m 的值是 1 或－ 1。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義， 特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1） 根據(jù)勾股定理即可求得點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)。 （ 2） ① 分點(diǎn) C 在第一象限和點(diǎn) C 在第四象限兩種情況討論即可。 ②∵ b=－ 2am， ∴ 拋物線為： ? ? 222y a x 2 a m x c a x m a m c? ? ? ? ? ? ?。 ∵ OC=1， ∴ － 1≤點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) ≤1。 又 ∵ 這條拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn) C， ∴ － 1≤m≤1。 當(dāng) m=177。1 時(shí)，點(diǎn) C 在 x軸上，此時(shí) A， B 兩點(diǎn)都在 y 軸上， ∴ 當(dāng) m=177。1 時(shí)， A， B 兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上。 13.（ 2020年 浙江 臺(tái)州 12分） 如圖 1， Rt△ ABC≌ Rt△ EDF， ∠ ACB=∠ F=90176。， ∠ A=∠ E=30176。． △ EDF 繞 著邊 AB 的中點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)， DE， DF 分別交 線段 ． ． AC 于點(diǎn) M， K． （ 1）觀察： ① 如圖 圖 3，當(dāng) ∠ CDF=0176。 或 60176。時(shí)， AM+CK ▲ MK(填 “”， “”或 “=”)． ② 如圖 4，當(dāng) ∠ CDF=30176。 時(shí)， AM+CK ▲ MK(只填 “”或 “”)． （ 2）猜想：如圖 1，當(dāng) 0176。＜ ∠ CDF＜ 60176。時(shí)， AM+CK ▲ MK，證明你所得到的結(jié)論． （ 3） 如果 2 2 2M K CK AM??，請(qǐng)直接寫出 ∠ CDF 的度數(shù)和 MKAM 的值． 【答案】 解：（ 1） ① =。 ② ＞ 。 （ 2） ＞ 。 證明 如下 ： 作點(diǎn) C 關(guān)于 FD 的對(duì)稱點(diǎn) G，連接 GK， GM， GD， 則 CD=GD， GK=CK， ∠ GDK=∠ CDK。 ∵ D 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ AD=CD=GD。 ∵∠ A=30176。， ∴∠ CDA=120176。 ∵∠ EDF=60176。， ∴∠ GDM+∠ GDK=60176?！?ADM+∠ CDK=60176?！唷?ADM=∠ GDM。 ∵ DM=DM， ∴ AD D GAD M G D MD M D M???? ? ????? ，∴△ ADM≌△ GDM，（ SAS） ?！?GM=AM。 ∵ GM+GK＞ MK， ∴ AM+CK＞ MK。 （ 3） 15176。 ； 32 。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn) 問題， 等腰三角形 的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短線段問題），勾股定理和逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義， 特殊角的三角函數(shù)值 。 【分析】 （ 1）先證明 △ CDA是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明 AM+CK=MK；在 △ MKD 中， AM+CK＞ MK（兩邊之和大于第三邊） ： ① 在 Rt△ ABC 中， D 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ AD=BD=CD=12 AB， ∠ B=∠ BDC=60176。 又 ∵∠ A=30176。， ∴∠ ACD=60176。 － 30176。=30176。 又 ∵∠ CDE=60176。，或 ∠ CDF=60176。時(shí)， ∴∠ CKD=90176。 ∴ 在 △ CDA中， AM（ K） =CM（ K），即 AM（ K） =KM（ C）（等腰三角形底邊上的垂線與中線重合） 。 ∵ CK=0，或 AM=0， ∴ AM+CK=MK。 ② 由 ① ，得 ∠ ACD=30176。， ∠ CDB=60176。 又 ∵∠ A=30176。， ∠ CDF=30， ∠ EDF=60176。， ∴∠ ADM=30176。 ∴ AM=MD， CK=KD。∴ AM+CK=MD+KD。 ∴ 在 △ MKD 中， AM+CK＞ MK（兩邊之和大于第三邊） 。 （ 2）作點(diǎn) C 關(guān)于 FD 的對(duì)稱點(diǎn) G，連接 GK， GM， GD．證明 △ ADM≌△ GDM 后，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)， GM=AM， GM+GK＞ MK， ∴ AM+CK＞ MK。 （ 3）由（ 2），得 GM=AM， GK=CK， ∵ 2 2 2M K CK AM??，∴ 2 2 2M K GK GM??。 ∴∠ GKM=90176。 又 ∵ 點(diǎn) C 關(guān)于 FD 的對(duì)稱點(diǎn) G， ∴∠ CKG=90176。， ∠ FKC=12 ∠ CKG=45176。 又 由 （ 1），得 ∠ A=∠ ACD=30176。， ∴∠ FKC=∠ CDF+∠ ACD。 ∴∠ CDF=∠ FKC－ ∠ ACD=15176。 在 Rt△ GKM 中， ∠ MGK=∠ DGK+∠ MGD=∠ A+∠ ACD=60176。， ∴∠ GMK=30176。， ∴ MK 3GM 2? 。∴ MK 3AM 2? 。 14.（ 2020 年 浙江 金 華、 麗水 10 分） 在平面直角坐標(biāo)系中，如圖 1，將 n 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊 OA和 OC 分別落在 x 軸和 y 軸的正半軸上，設(shè)拋物線 ? ?2y ax b x c a 0? ? ? ＜過矩形頂點(diǎn) B、C． （ 1）當(dāng) n=1 時(shí)，如果 a =﹣ 1，試求 b 的值； （ 2）當(dāng) n=2 時(shí)，如圖 2，在矩形 OABC 上方作一邊長(zhǎng)為 1的正方形 EFMN，使 EF在線段 CB 上，如果 M，N 兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式； （ 3）將矩形 OABC 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn) B 落到 x 軸的正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過原點(diǎn) O． ① 試求當(dāng) n=3 時(shí) a 的值； ② 直接寫出 a 關(guān)于 n 的關(guān)系式． 【答案】 解：（ 1）由題意可知，當(dāng) n=1 時(shí)，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， 1） ∴ 拋物線對(duì)稱軸為直線 x =12 ， a =﹣ 1， ∴ b12a 2??，得 b =1。 答： b 的值是 1。 （ 2）解：設(shè)所求拋物線解析式為 2y ax bx 1? ? ? 由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過點(diǎn) B（ 2， 1）和點(diǎn) M（ 12 ， 2），代入 2y ax bx 1? ? ? 得 4a 2b 1 111a b 1 242? ? ???? ? ? ???，解得4a38b3??????????。 ∴ 所求拋物線解析式為 248y x x 133? ? ? ?。 （ 3）解： ① 當(dāng) n=3 時(shí)， OC=1， BC=3， 設(shè)所求拋物線解析式為 2y ax bx??， 過 C 作 CD⊥ OB 于點(diǎn) D，則 Rt△ OCD∽ Rt△ CBD。 ∴ OD OC 1CD BC 3??。 設(shè) OD=t，則 CD=3t， ∵ OD2+CD2=OC2， ∴ （ 3t） 2+t2=12， ∴ 1 10t10 10??。 ∴ C（ 10 3 , 1010 10 ，）。 又由勾股定理，得 B（ 10 ， 0）， ∴ 把 B、 C 坐標(biāo)代入拋物線解析式，得 10 a 10 b 01 10 3 10ab10 10 10? ???? ????，解得， 10a 3?? 。 答： a 的值是 103? 。 ② 答： a 關(guān)于 n 的關(guān)系式是 2n1a n??? 。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，；勾股定理；正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類歸納。 【分析】 （ 1）根據(jù)已知得到拋物線對(duì)稱軸為直線 x =12 ， 代入即可求出 b 。 （ 2）設(shè)所求拋物線為 2y ax bx 1? ? ? ，由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過點(diǎn) B（ 2， 1）和點(diǎn) M（ 12 ， 2），把 B、M 的坐標(biāo)代入得到方程組，求出 a 、 b 的值即可得到拋物線解析式； （ 3） ① 當(dāng) n=3 時(shí)， OC=1， BC=3，設(shè)所求拋物線解析式為 2y ax bx??，過 C 作 CD⊥ OB 于點(diǎn) D，則 Rt△ OCD∽ Rt△ CBD，得出 OD OC 1CD BC 3??，設(shè) OD=t，則 CD=3t，根據(jù)勾股定理 OD2+CD2=OC2，求出 t，得出 C 的坐標(biāo)，把 B、 C 坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得到方程組，求出 a 即可。 ② 根據(jù)（ 1）、（ 2） ① 總結(jié)得到答案。 15.（ 2020年 浙江衢州 12 分 ） 已知兩直線 l1， l2分別經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 0），點(diǎn) B（﹣ 3， 0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于 y 正半軸的點(diǎn) C 時(shí)，恰好有 l1⊥ l2，經(jīng)過點(diǎn) A、 B、 C 的拋物線的對(duì)稱軸與直線 l2 交于點(diǎn) K，如圖所示． （ 1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）拋物線的對(duì)稱軸被直線 l1，拋物線，直線 l2和 x 軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由； （ 3）當(dāng)直線 l2繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 M，請(qǐng)找出使 △ MCK為等腰三角形的點(diǎn) M，簡(jiǎn)述理由，并寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo)． 【答案】 解：（ 1）由題意易知： △ BOC∽△ COA， ∴ CO AOBO CO? ，即 CO 13 CO? ， ∴ CO= 3 。 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（ 0， 3 ）。 由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 2y ax bx 3? ? ? ， 把 A（ 1， 0）， B（﹣ 3， 0）的坐標(biāo)分別代入 2y ax bx 3? ? ? ，得 a b 3 09a 3b 3 0? ? ? ???? ? ???，解得3a323b3? ?????? ????。 ∴ 拋物線的函數(shù)解析式為 23 2 3y x x 333? ? ? ?。 （ 2）截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為 KD=DE=EF。理由如下： 可求得直線 l1 的解析式為 y 3x 3?? ? ，直線 l2 的解析式為 3y x 33??， ∵ 拋物線的函數(shù)解析式可化為 ? ?23 4 3y x 133? ? ? ?， ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x =－ 1，頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 433 ）； 把 x =－ 1 代入 y 3x 3?? ? 即可求得點(diǎn) K 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 23）； 把 x =－ 1 代入 3y x 33??即可求得點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 233 ）； 又點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 0）， ∴ KD= 233 ， DE= 233 ， EF=233 。 ∴ KD=DE=EF。 （ 3）當(dāng)點(diǎn) M的坐標(biāo)分別為（﹣ 2， 3 ），（﹣ 1， 433 ）時(shí)， △ MCK 為等腰三角形．理由如下： （ i）連接 BK，交拋物線于點(diǎn) G，連接 CG， 易知點(diǎn) G 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 3 ）， 又 ∵ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， 3 ）， ∴ GC∥ AB。 ∵ 可求得 AB=BK=4，且 ∠ ABK=60176。，即 △ ABK 為正三角形， ∴△ CGK 為正三角形。 ∴ 當(dāng) l2與拋物線交于點(diǎn) G，即 l2∥ AB 時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn) M1的坐標(biāo)為（﹣ 2， 3 ）。 （ ii）連接 CD，由 KD= 233 ， CK=CG=2， ∠ CKD=30176。，易知 △ KDC 為等腰 三角形。 ∴ 當(dāng) l2過拋物線頂點(diǎn) D 時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn) M2坐標(biāo)為（﹣ 1， 433 ）。 （ iii）當(dāng)點(diǎn) M 在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn) M 與點(diǎn) A重合時(shí)，滿足 CM=CK， 但點(diǎn) A、 C、 K 在同一直線上，不能構(gòu)成三角形。 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)分別為（﹣ 2， 3 ），（﹣ 1， 433 ）時(shí)， △ MCK 為等腰三角形。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān) 系，解二元一次方程組，等腰三角形的判定。 【分析】 （ 1）利用 △ BOC∽△ COA，得出 C 點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可； （ 2）可求得直線 l1 的解析式為 y 3x 3?? ? ，直線 l2 的解析式為 3y x 33??，從而得出 D， E，F(xiàn) 點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出三條線段數(shù)量關(guān)系。 （ 3）利用等邊三角形的判定方法得出 △ ABK 為正三角形，以及易知 △ KDC為等腰三角形，從而得出△ MCK 為等腰三角形時(shí) M點(diǎn)坐標(biāo)。 16.（ 2020 年浙江湖 州 12 分） 如圖 1，已知菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 23，點(diǎn) A在 x 軸負(fù)半軸上，點(diǎn) B 在坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 3 ， 3），拋物線 y=ax2+b（ a≠0）經(jīng)過 AB、 CD 兩邊的中點(diǎn)． （ 1）求這條拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）將菱形 ABCD以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 x軸正方向勻速平移（如圖 2），過點(diǎn) B 作 BE⊥ CD于點(diǎn) E，交拋物線于點(diǎn) F，連接 DF、 AF．設(shè)菱形 ABCD 平移的時(shí)間為 t 秒（ 0＜ t＜ 3 ） ① 是否存在這樣的 t，使 △ ADF 與 △ DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由； ② 連接 FC，以點(diǎn) F為旋轉(zhuǎn)中心，將 △ FEC 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 180176。，得 △ FE′C′，當(dāng) △ FE′C′落在 x軸與拋物線在 x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊