【導讀】點B，E在函數(shù)1yx??反比例函數(shù)的應用，曲線上點的坐標與方程的關系，二次根式的化簡和大小比較。又∵由圖可知E點的橫坐標大于縱坐標，而515122>??沖之“割圓術”的啟發(fā)，采用“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的方法．正確地求出了橢圓的面積，因為半徑為a的球的體積為34a3?∠BCD的平分線交BD于E，設k=512?∵等腰△ABC中，∠A=36°，∴△BCD和△CDE都是等腰三角形，且∠CBD=∠DCE=∠A=36°。表示圖中的弦CD的長度，通過比較運動的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關系，發(fā)現(xiàn)了一個關于正數(shù)x，動線問題，垂徑定理，相交弦定理。∵直徑AB⊥弦CD于E，AE=x，BE=y，關于點對稱擴大倍″″′′，

　　

【正文】 5ax 4a? ? ? 。 ∴ 頂點 N 的坐標為 5 9a24??????? 。 由拋物線、半圓的軸對稱可知，拋物線的頂點在過點 M且與 CD垂直的直線上，又點 N 在半圓內， ∵ 由 A（ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 4， 2）得 AD=2，半圓離 AB 的最短距離為 12 ， ∴ 1 9a 224? ，解這個不等式 ，得 82a99??。 （ 3）設 EF=x，則 CF=x， BF=2－ x， AF=2+x， AB=3， 在 Rt△ ABF 中，由勾股定理 2 2 2AB BF AF??，即 ? ? ? ?2223 2 x 2 x? ? ? ?， 解得 9x 8? ， BF=78 。 ① 由 △ ABF∽△ CMN 得， AB BFCM MN? ， ∴ 73B F C M 782MN A B 3 1 6??? ? ?。 當點 N 在 CD 的下方時，由 9a 7 2524 16 16? ? ? ? ，得 N1 5 252 16?????? 。 當點 N 在 CD 的上方時，由 9a 7 3924 16 16? ? ? ? ，得 N2 5 392 16?????? 。 ② 由 △ ABF∽△ NMC 得， AB MCNM BF? ， ∴ 33A B C M 362MN7B F 78??? ? ?。 當點 N 在 CD 的下方時，由 9a 36 2224 7 7? ? ? ? ?，得 N3 5 2227??????? 。 當點 N 在 CD 的上方時，由 9a 36 5024 7 7? ? ? ? ，得 N4 5 5027?????? 。 綜上所述，當以點 A、 F， B 為頂點的三角形與以 C、 N、 M 為頂點的三角形相似時，點 N的坐標為 5 252 16?????? ，或 5 392 16?????? ，或 5 2227??????? ，或 5 5027?????? 。 【考點】 一次、二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，矩形的性質，切線的性質，勾股定理，相似三角形的性質，分類思想的應用。 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的性質及 A點坐標可求出 C點坐標，再根據(jù) A、 C 兩點的坐標用待定系數(shù)法即可求出過 A、 C 兩點直線的解析式． （ 2）矩形 ABCD中， AB=3， BC=2，點 A的坐標為（ 1， 0），可求出 B、 D、 M、 E點的坐標，根據(jù)拋物線與坐標軸交與 A、 B 兩點故可設出拋物線的交點式，根 據(jù)交點式可求出 N 點坐標，由拋物線、半圓的軸對稱可知，拋物線的頂點在過點 M 且與 CD 垂直的直線上，又點 N 在半圓內，即可求出 a 的取值范圍。 （ 3）根據(jù)切線的性質定理、矩形的邊長及勾股定理可求出 △ 各邊的長，因為在 △ ABF 與 △ CMN 均為直角三角形，故應分兩種情況討論即 △ ABF∽△ CMN， △ ABF∽△ NMC，同時在討論時還要考慮到 N 在 CD的下方與上方的情況。 7.（ 2020年 浙江 麗水 14分） 為宣傳秀山麗水，在 “麗水文化攝影節(jié) ”前夕，麗水電視臺攝制組乘船往返于麗水 （ A）、青田（ B）兩碼頭，在 A、 B 間設立拍攝中心 C，拍攝甌 江沿岸的景色．往返過程中，船在 C、 B處均不停留，離開碼頭 A、 B 的距離 s（千米）與航行的時間 t（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示 ． 根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題： （ 1）船只從碼頭 A→B ，航行的時間為 ▲ 小時、航行的速度為 ▲ 千米 /時；船只從碼頭 B→A ，航行的時間為 ▲ 小時、航行的速度為 ▲ 千米 /時； （ 2）過點 C 作 CH∥ t 軸，分別交 AD、 DF 于點 G、 H，設 AC=x， GH=y，求出 y 與 x之間的函數(shù)關系式； （ 3）若拍攝中心 C 設在離 A 碼頭 25 千米處， 攝制 組在拍攝中心 C 分兩組行動，一組 乘橡皮艇漂流而下，另一組乘船到達碼頭 B 后，立即返回． ① 求船只往返 C、 B 兩處所用的時間； ② 兩組在途中相遇，求相遇時船只離拍攝中心 C 有多遠． 【答案】 解：（ 1） 25； 15。 （ 2）設 CH 交 DE 于 M， 由題意： ME=AC=x ， DM=75－ x， ∵ GH//AF∴ △ DGH∽△ DAF 。 ∴ GH DMAF DE? ，即 y 75 x8 75?? 。 ∴ y=8 8x75? ， （ 3） ①∵ 當 x=25 時， y=8 8 162575 3? ? ? （小時）， ∴ 船只往返 C、 B 兩處所用的時間為 163 小時。 ② 設船在靜水中的速度是 a 千米 ∕時，水流的速度是 b 千米 ∕時， 則 a b 25a b 15???? ???，解得 a 20b5??? ??。 ∴ 水流的速度是 5 千米 ∕時。 船到 B 碼頭的時間 t 1= 75 2525? =2 小時，此時橡皮艇漂流了 10 千米。 設船又過 t2 小時與漂流而下橡皮艇相遇， 則（ 5+15） t2=75–25–10， ∴ t2=2。 ∴ 船只離拍攝中心 C 距離 S=（ t 1+ t2） 5=20 千米 .。 【考點】 一次函數(shù)和二元 一次方程組的應用。 【分析】 （ 1）時間可從圖象直接獲得，速度 =路程 247。時間； 直接從圖得船只從碼頭 A→B ，航行的時間為 3 小時，航行的速度為 75247。3=25 千米 /時； 直接從圖得船只從碼頭 B→A ，航行的時間為 8－ 3=5 小時，航行的速度為 75247。5=15 千米 /時。 （ 2）因為 CH∥ t 軸，到 CH 的距離為 75－ x，所以可用等比性質列出等式，整理即可得到 y 與 x 的關系式。 （ 3） ① 代入函數(shù)值 25 千米即可求出自變量 t 的值。 ② 先求出水速，再求出船到 B碼頭的時間和返回時與漂流而下的橡皮艇相遇的時間，時間已得，與水速相乘就是船只離 拍攝中心 C 的距離。 8.（ 2020年 浙江 舟山、嘉興 12分） 如圖，已知拋物線 2y ax 4ax t? ? ?（ a0）交 x軸于 A、 B 兩點，交 y軸于點 C， 拋物線的對稱軸交 x軸于點 E，點 B 的坐標為 （ － 1， 0）． （ 1）求拋物線的對稱軸及點 A的坐標； （ 2）過點 C 作 x 軸的平行線交拋物線的對稱軸于點 P，你能判斷四邊形 ABCP 是什么四邊形？并證明你的結論； （ 3）連結 CA與拋物線的對稱軸交于點 D，當 ∠ APD=∠ ACP 時，求拋物線的解析式． 【答案】 解：（ 1） ∵ ? ? 22y a x 4 a x t a x 2 t 2? ? ? ? ? ? ?， ∴ 拋物線的對稱軸是直線 x=－ 2。 設點 A的坐標為（ x， 0）， ∵ 1x=22?? ?， ∴ x=－ 3。 ∴ A的坐標 （ － 3， 0） 。 （ 2）四邊形 ABCP 是平行四邊形 。證明如下： ∵ 拋物線的對稱軸是直線 x=－ 2， ∴ CP=2。 又 ∵ AB=2， ∴ CP=AB。 又 ∵ CP∥ AB， ∴ 四邊形 ABCP 是平行四邊形 。 （ 3） ∵ CP∥ AB ， ∴△ ADE∽△ CDP。 ∴ DE EAPD CP? ∵ CP=2， EA=1， ∴ DE 1PD 2? ① 。 ∵ CP∥ AB， ∴∠ DAE=∠ ACP。 ∵ ∠ APD=∠ ACP， ∴∠ DAE=∠ APD。 ∴ Rt△ ADE∽ Rt△ PAE。 ∴ DE AEAE PE? ，即 DE 11 DE+PD? ② 。 ① ② 聯(lián)立，得 3 2 3DE P D33??， 。 ∴ OC=PE= 3 ，即 t= 3 。 ∴ 拋物線 為 2y ax 4ax 3? ? ? 。 將 B（ － 1， 0）代入得 ， a= 33 。 ∴ 拋物線的解析式為 23 4 3y x x 333? ? ?。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質，曲線上點的坐標與方程的關系， 平行四邊形 的判定，相似三角形的判定和性質。 【分析】 （ 1） 將 拋物線 化為頂點式即可得到 拋物線的對稱軸方程，由于 A、 B 關于拋物線的對稱軸對稱，因此可根據(jù) B 點的坐標求出 A點的坐標 。 （ 2）已 知了 CP∥ AB，只需證 CP 是否與 AB 相等即可，根據(jù)拋物線對稱軸 x=－ 2可知 CP=2，根據(jù)A、 B 的坐標不難得出 AB=2，因此 AB 與 PC 平行且相等，四邊形 ABCP 是平行四邊形 。 （ 3）本題的關鍵是求出 C 點的坐標，即 OC 的長， 由 △ ADE∽△ CDP 可得 DE 1PD 2? ；由Rt△ ADE∽ Rt△ PAE可得 DE AEAE PE? ，即 DE 11 DE+PD? ，二者聯(lián)立可得 3 2 3DE P D33??， ，從而得到點 C的坐標 ，已知了 A、 B、 C 三點坐標后可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式 。 9.（ 2020年 浙江 舟山、嘉興 14分） 如圖 1，在直角坐標系中，點 A的坐標為（ 1， 0）， 以 OA 為邊在第四象限內作等邊 △ AOB，點 C為 x軸的正半軸上一動點（ OC1），連結 BC， 以 BC 為邊在第四象限內作等邊 △ CBD， 直線 DA交 y 軸于點 E． （ 1）試問 △ OBC 與 △ ABD 全等嗎？并證明你的結論． （ 2）隨著點 C 位置的變化，點 E 的位置是否會發(fā)生變化，若沒有變化，求出點 E 的坐標；若有變化，請說明理由． （ 3）如圖 2，以 OC 為直 徑作圓，與直線 DE分別交于點 F、 G，設 AC=m， AF=n，用含 n的代數(shù)式表示 m． 【答案】 解：（ 1）兩個三角形全等 。證明如下： ∵△ AOB、 △ CBD 都是等邊三角形 ， ∴ OBA=∠ CBD=60176。 。 ∴∠ OBA+∠ ABC=∠ CBD+∠ ABC， 即 ∠ OBC=∠ ABD。 ∵ OB=AB， BC=BD， ∴△ OBC≌△ ABD（ SAS）。 （ 2）點 E 位置不變 。理由如下： ∵△ OBC≌△ ABD， ∴∠ BAD=∠ BOC=60176。 ， ∠ OAE=180176。 － 60176。 － 60176。=60176。 。 在 Rt△ EOA中， EO=OAtan60176。= 3 。 ∴ 點 E 的坐標為（ 0， 3 ） ，即 點 E 位置不變 。 （ 3） ∵ AC=m， AF=n，由相交弦定理知 1m=nAG，即 AG=mn 。 又 ∵ OC 是直徑， ∴ OE 是圓的切線， ∴ OE2=EGEF。 在 Rt△ EOA中， AE= 31? =2， ∴ ? ? ? ?2 m3 2 2 nn??? ? ?????， 即 22n n 2m m n 0? ? ? ?。 解得 m= 22n nn2?? 。 【考點】 等邊三角形的性質 ，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)定義， 特殊角的三角函數(shù)值， 相交弦定理 ， 切線 的判定， 切割線定理 ，代數(shù)式化簡。 【分析】 （ 1）由等邊三角形的性質知， OBA=∠ CBD=60176。，易得 ∠ OBC=∠ ABD，又有 OB=AB， BC=BD故有△ OBC≌△ ABD。 （ 2）由 （ 1） 知， △ OBC≌△ ABD? ∠ BAD=∠ BOC=60176。，可得 ∠ OAE=60176。，在 Rt△ EOA 中，有EO=OA?tan60176。= 3 ，即可求得點 E 的坐標 ，即 點 E 位置不變 。 （ 3）由相交弦定理知 1?m=n?AG，即 AG=mn ，由切割線定理知， OE2=EG?EF，在 Rt△ EOA中，由勾股定理知， AE= 31? =2，故建立方程： ? ? ? ?2 m3 2 2 nn??? ? ????? ，即 可求得 m 與 n 關系 。 10.（ 2020年 浙江金華 14分） 如圖 ,平面直角坐標系中 ,直線 AB 與 x 軸 ,y 軸分別交于 A(3,0),B(0, 3 )兩點 , ,點C 為線段 AB 上的一動點 ,過點 C 作 CD⊥ x 軸于點 D. （ 1）求直線 AB 的解析式 。 （ 2）若 S 梯形 OBCD＝ 433 ,求點 C 的坐標 。 （ 3）在第一象限內是否存在點 P,使得以 P,O,B 為頂點的三角形與 △ OBA相似 .若存在 ,請求出所有符合 條件的點 P 的坐標 。若不存在 ,請說