【導(dǎo)讀】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于BC于G，過(guò)E作EF垂直于AD交AD的延長(zhǎng)線于F，∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°，又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC，，當(dāng)b從－1逐漸變化到1的過(guò)程中，它所對(duì)應(yīng)的拋物線位置也隨之變動(dòng)。下列關(guān)于拋物線的移動(dòng)方向的描述中，正確的是。C、先往右上方移動(dòng)，再往右下方移動(dòng);點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加。上下平移只改變點(diǎn)的縱坐標(biāo)，下減上加得出結(jié)論：。當(dāng)b=0時(shí)，此函數(shù)解析式為：2yx1??，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩。同樣可考慮第二、三、四象限的情形，得到同樣結(jié)論。表示圖中的弦CD的長(zhǎng)度，通過(guò)比較運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)x，∴當(dāng)兩圓相切時(shí)，⊙A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為12或32秒。當(dāng)P點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），求⊙O2的半徑r；

　　

【正文】 222 a? ? ? ? ? ? ?， ∴ S＝ 2 2 21 1 5 1 1(a 2 a 5 ) a a 2 a (a 2 )2 2 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ∴ 當(dāng) a＝ 2（在 0＜ a＜ 3）時(shí)， 1S 2?最 小 值。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)性質(zhì)，三角形 中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】 （ 1）根據(jù) OA、 AB、 OC 的長(zhǎng)，即可得到 A、 B、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。 （ 2）通過(guò)構(gòu)造全等三角形求 解：過(guò) B作 BM⊥ x軸于 M，由于 ∠ EBF 是由 ∠ DBC 旋轉(zhuǎn)而得，所以這兩角都是直角，那么 ∠ EBF=∠ ABM=90176。，根據(jù)同角的余角相等可得 ∠ EBA=∠ FBM；易知 BM=OA=AB=2，由此可證得 △ FBM≌△ EBA，則 AE=FM； CM的長(zhǎng)易求得，關(guān)鍵是 FM 即 AE 的長(zhǎng)；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 G，由于 G 點(diǎn)在線段 AB 的垂直平分線上，若過(guò) G 作 GH⊥ AB，則 GH是 △ ABE的中位線， G 點(diǎn)的坐標(biāo)易求得，即可得到 GH 的長(zhǎng)，從而可求出 AE 的長(zhǎng)，即可由 CF=CM+FM=AE+CM 求出 CF 的長(zhǎng)。 （ 3）由（ 2）的全等三角形易證得 BE=BF， 則 △ BEF 是等腰直角三角形，其面積為 BF平方的一半；△ BFC 中，以 CF 為底， BM 為高即可求出 △ BFC 的面積；可設(shè) CF 的長(zhǎng)為 a，進(jìn)而表示出 FM 的長(zhǎng)，由勾股定理即可求得 BF 的平方，根據(jù)上面得出的兩個(gè)三角形的面積計(jì)算方法，即可得到關(guān)于 S、 a 的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出 S 的最小值及對(duì)應(yīng)的 CF 的長(zhǎng)。 13.（ 2020 年 浙江金華 12 分） 如圖，把含有 30176。角的三角板 ABO 置入平面直角坐標(biāo)系中， A， B 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（ 3， 0）和 (0， 3 3 ） .動(dòng)點(diǎn) P 從 A點(diǎn)開(kāi)始沿折線 AOOBBA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 在 AO， OB， BA上運(yùn)動(dòng)的 速度 分別為 1， 3 ， 2 (長(zhǎng)度單位 /秒 )﹒一直尺的上邊緣 l從 x軸的位置開(kāi)始以 33 (長(zhǎng)度單位 /秒 )的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過(guò)程中保持 l∥ x軸），且分別與 OB， AB 交于 E， F 兩點(diǎn)﹒設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 與動(dòng)直線 l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，當(dāng)點(diǎn) P 沿折線 AOOBBA 運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線 l和動(dòng)點(diǎn) P 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)． 請(qǐng)解答下列問(wèn)題： （ 1） 過(guò) A， B 兩點(diǎn)的直線解析式是 ▲ ； （ 2）當(dāng) t﹦ 4 時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ▲ ；當(dāng) t ﹦ ▲ ，點(diǎn) P 與點(diǎn) E 重合； （ 3） ① 作點(diǎn) P 關(guān)于直線 EF 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P′. 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若形成的四邊形 PEP′F為菱形，則 t 的值是多少？ ② 當(dāng) t=2時(shí)，是否存在著點(diǎn) Q，使得 △ FEQ ∽△ BEP ?若存在 , 求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解：（ 1） y 3x 3 3?? ? 。 （ 2）（ 0, 3 ）， 9t 2? 。 （ 3） ① 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AO 上時(shí)，過(guò) F 作 FG⊥ x 軸， G 為垂足（如圖 1）， ∵ OE FG? , EP=FP , 0EOP= FGP=90?? ∴ ? ?E O P FG P H L??≌ 。 ∴ OP=PG 。 又 ∵ 3OE=FG= t3 , 0A=60? ， ∴0FG 1AG= = ttan 60 3。 而 AP=t ， ∴ OP=3 t? , 2PG=AP AG= t3? 由 23 t t3?? 得 9t5? 。 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 OB 上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形； 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 BA上時(shí)，過(guò) P 作 PH⊥ EF， PM⊥ OB， H、 M 分別為垂足（如圖 2） ∵ 3OE t3? ,∴ 3BE 3 3 t3??。 ∴0BE tEF 3tan 60 3? ? ?。 ∴ 1 9 tM P E H E F26?? ? ?。 又 ∵ BP 2(t 6)??， 在 Rt△ BMP 中， 0BP cos 60 MP??， 即 1 9 t2(t 6) 26?? ? ? ，解得 45t 7? 。 綜上所述，若形成的四邊形 PEP′F為菱形，則 t 的值是 95 或457 。 ② 存在。理由如下： ∵ t2? ， ∴ 2OE 33? , AP 2? ， OP 1? 。 將 △ BEP 繞點(diǎn) E 順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90176。，得到 △ BEC39。（如圖 3）。 ∵ OB⊥ EF， ∴ 點(diǎn) B39。 在直線 EF 上， C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 233 ， 2 313 ? ）， 過(guò) F 作 FQ∥ B39。 C，交 EC 于點(diǎn) Q, 則 △ FEQ∽ △ BEC39。 由 B E B E CE 3F E F E Q E39。? ? ?，可得 Q 的坐標(biāo)為（ 23? ， 33 ）。 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可 得， Q 關(guān)于直線 EF 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q39。 （ 23? ， 3 ）也符合條件。 【考點(diǎn)】 一次函數(shù)綜合題， 動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線和軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題， 待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值， 菱形的判定，分類(lèi)思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）已知 A， B 兩點(diǎn)坐標(biāo)，可用 待定系數(shù)法求一次函數(shù)； （ 2）掌握點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)路線，根據(jù)點(diǎn) P 在不同階段的運(yùn)動(dòng)速度， 即可求得。 （ 3） ① 此題需要分三種情況分析：點(diǎn) P 在線段 OA上，在線段 OB上，在線段 AB 上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段 EF 的垂直平分線上與 x軸的交點(diǎn)，可求的一個(gè)；當(dāng)點(diǎn) P 在線段 OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn) P 在線段 BA上時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得。 y ② 當(dāng) t﹦ 2 時(shí)，可求的點(diǎn) P 的坐標(biāo)，即可確定 △ BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn) Q的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意答案的不唯一性。 14.（ 2020年 浙江衢州、麗水 12 分） △ ABC 中， ∠ A=∠ B=30176。， AB=23．把 △ ABC 放在平面直角坐標(biāo) 系中，使 AB 的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn) O(如圖 )， △ ABC 可以繞點(diǎn) O 作任意角度的旋轉(zhuǎn)． （ 1）當(dāng)點(diǎn) B 在第一象限，縱坐標(biāo)是 62 時(shí)，求點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)； （ 2） 如果拋物線 2y ax bx c? ? ? （ a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，請(qǐng)你探究： ① 當(dāng) 5 1 3 5a b c4 2 5? ? ? ? ?， ，時(shí)， A， B 兩點(diǎn)是否都在這條拋物線上？并說(shuō)明理由； ② 設(shè) b=－ 2am，是否存在這樣的 m的值，使 A， B 兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上？若存在，直接寫(xiě)出 m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解：（ 1） ∵ 點(diǎn) O 是 AB 的中點(diǎn)， AB=23， ∴ 1OB AB 32??　 。 設(shè)點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)是 x(x0)，則根據(jù)勾股定理得 ? ?2 22 6x32???????? 　， 解得1266xx22? ? ?， (舍去 )。 ∴ 點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)是 62 。 （ 2） ① 當(dāng) 5 1 3 5a b c4 2 5? ? ? ? ?， ，時(shí)，拋物線為： 25 1 3 5y x x4 2 5? ? ?， 即 25 5 1 3 5yx4 5 2 0??? ? ?????。 ∴ 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為 5x=5 。 以下分兩種情況討論： 情況 1：設(shè)點(diǎn) C 在第一象限 (如圖 1)，則點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為 55 ， ∵ 0 3O C O B t a n 30 3 13? ? ? ? ?， ∴ 點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 22 5 2 51=55???????。 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 5 2 5,55?????? 。 如圖，過(guò)點(diǎn) A 作 AD⊥ x軸于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) C 作 CE⊥ y 軸于點(diǎn) E，則 由 △ ADO∽△ CEO 得： OD DA OAOE EC OC??，即 OD DA 312 5 555??。 ∴ 2 15 15O D D A55??， 。 ∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 2 15 1555??????? 。 ∵ A， B 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， ∴ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 2 15 1555??????? 。 將點(diǎn) A的橫坐標(biāo)代入 25 1 3 5y x x4 2 5? ? ?右邊，計(jì)算得 155 ，即等于點(diǎn) A的縱坐標(biāo)； 將點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)代入 25 1 3 5y x x4 2 5? ? ?右邊，計(jì)算得 155? ，即等于點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)?！?在這種情況下， A， B 兩點(diǎn)都在拋物線上。 情況 2：設(shè)點(diǎn) C 在第四象限 (如圖 2)，則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為5 2 5,55?????? ，點(diǎn) A 的 坐 標(biāo) 為 2 15 1555?????? ，點(diǎn) B 的 坐 標(biāo) 為2 15 1555???????? ，經(jīng)計(jì)算， A， B 兩點(diǎn)都不在這條拋物線上。 ② 存在。 m 的值是 1 或－ 1。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定 義， 特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類(lèi)思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1） 根據(jù)勾股定理即可求得點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)。 （ 2） ① 分點(diǎn) C 在第一象限和點(diǎn) C 在第四象限兩種情況討論即可。 ②∵ b=－ 2am， ∴ 拋物線為： ? ? 222y a x 2 a m x c a x m a m c? ? ? ? ? ? ?。 ∵ OC=1， ∴ － 1≤點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) ≤1。 又 ∵ 這條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn) C， ∴ － 1≤m≤1。 當(dāng) m=177。1 時(shí)，點(diǎn) C 在 x軸上，此時(shí) A， B 兩點(diǎn)都在 y 軸上， ∴ 當(dāng) m=177。1 時(shí)， A， B 兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上。 15.（ 2020年 浙江衢州 12分 ） 已知兩直線 l1， l2 分別經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 0），點(diǎn) B（﹣ 3， 0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于 y 正半軸的點(diǎn) C 時(shí)，恰好有 l1⊥ l2，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A、 B、 C 的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線 l2 交于點(diǎn) K，如圖所示． （ 1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸被直線 l1，拋物線，直線 l2 和 x 軸依次截得三條線段，問(wèn)這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）當(dāng)直線 l2 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 M，請(qǐng) 找出使 △ MCK為等腰三角形的點(diǎn) M，簡(jiǎn)述理由，并寫(xiě)出點(diǎn) M 的坐標(biāo)． 【答案】 解：（ 1）由題意易知： △ BOC∽△ COA， ∴ CO AOBO CO? ，即 CO 13 CO? ， ∴ CO= 3 。 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（ 0， 3 ）。 由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 2y ax bx 3? ? ? ， 把 A（ 1， 0）， B（﹣ 3， 0）的坐標(biāo)分別代入 2y ax bx 3? ? ? ，得 a b 3 09a 3b 3 0? ? ? ???? ? ???，解得3a323b3? ?????? ????。 ∴ 拋物線的函數(shù)解析式為 23 2 3y x x 333? ? ? ?。 （ 2）截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為 KD=DE=EF。理由如下： 可求得直線 l1 的解析式為 y 3x 3?? ? ，直線 l2 的解析式為 3y x 33??， ∵ 拋物線的函數(shù)解析式可化為 ? ?23 4 3y x 133? ? ? ?， ∴ 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x =－ 1，頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 433 ）； 把 x =－ 1 代入 y 3x 3?? ? 即可求得點(diǎn) K 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 23）； 把 x =－ 1 代入 3y x 33??即可求得點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 233 ）； 又點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 0）， ∴ KD= 233 ， DE= 233 ， EF=233 。 ∴ KD=DE=EF。 （ 3）當(dāng)點(diǎn) M的坐標(biāo)分別為（﹣ 2， 3 ），（﹣ 1， 433 ）時(shí)， △ MCK 為等腰三角形．理由如下： （ i）連接 BK，交拋物線于點(diǎn) G，連接 CG， 易知點(diǎn) G 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 3 ）， 又 ∵ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， 3 ）， ∴ GC∥ AB。 ∵ 可求得 AB=BK=4，且 ∠ ABK=60176。，即 △ ABK 為正三角形，